1、第七讲 追及问题 开篇漫画： （都是旧版课本中的人物） 早晨，卡莉娅卡莉娅出门去上学，与小山羊小山羊打招呼再见过了一 会，小山羊小山羊突然发现卡莉娅卡莉娅把红领巾落家里了，连忙飞出去去 追，最后终于在学校门口追上了卡莉娅卡莉娅 上一讲我们学习了基本行程问题中的相遇问题， 这一讲我们来学习行程中的 另一类重要问题追及问题追及问题 基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题， 主要分为两种 情况：一种是后面的人速度快，经过一段时间追上了另一个人；还有一种是前面 的人速度快，两人的距离越来越远 相遇问题考虑的是 “路程和” 与 “速度和” ， 而追及问题中两人是同向而行， 因此我们考虑的是
2、两人的“路程差”以及“速度差” 仿照行程问题基本公式， 我们同样可以得到追及问题的三个基本公式： 路程差速度差 追及时间 追及时间路程差速度差 速度差路程差 追及时间 例题 1 A、B 两地相距 260 米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，同 向而行（甲是往 B 方向出发的） 已知甲每秒钟走 5 米，乙每秒钟走 3 米，那么甲出发多长时间后可以追上乙？ 分析分析从出发到追上，甲一共比乙多走了多远？甲每分钟比乙多走多远呢？ 练习 1 京、津两地相距 120 千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发，同向而 行， 客车在前， 货车在后 已知客车每小时行 100 千米， 货车每小时行 120
3、 千米 那 么出发后多长时间货车追上客车？ 例题 2 墨莫步行上学，每分钟行 75 米墨莫离家 12 分钟后，爸爸发现他忘 了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行 375 米求爸爸追上墨莫 所需要的时间 分析分析画出线段图，注意两人不是同时出发的哦！试着找找两人相同时间内的 路程差吧！ 练习 2 龟、兔赛跑，龟比兔先出发 100 分钟，龟每分钟爬 30 米，兔每分钟跑 330 米请问兔出发后多久追上乌龟？ 画线段图是解决行程问题的基本方法，通过画图，比较不同对象在相同时间 内的路程关系，挖掘出解题的突破口 例题 3 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距 100 千米的两地同时出发， 同向而 行，公共
4、汽车在前，每小时行 40 千米；小轿车在后，每小时行 60 千 米那么： （1）经过 2 小时后两车相距多少千米？ （2）出发几个小时后小轿车会领先公共汽车 100 千米？ 分析分析画出线段图，试着找找相同时间内两辆车的路程差吧！ 练习 3 阿呆和阿瓜沿着同一条路线上学， 阿呆每秒钟跑 3 米， 阿瓜每秒钟跑 7 米 现 在阿瓜落后阿呆 50 米，那么再过多长时间阿瓜会领先阿呆 50 米？ 例题 4 一辆公共汽车早上 6 点从 A 城出发，以每小时 40 千米的速度向 B 城 驶去 3 小时后一辆小轿车以每小时 75 千米的速度也从 A 城出发到 B 城当小轿车到达 B 城后，公共汽车离 B
5、城还有 160 千米问：小 轿车什么时刻到达 B 城？ 分析分析两辆车不同时出发，可是不能直接用公式计算时间的还是画出线 段图，寻找相同时间内的路程差进行分析计算吧！ 练习 4 高速路上自西向东分布着 A、B、C、D 四个加油站，其中 A、B 之间的距离 是 20 千米，C、D 之间的距离是 40 千米上午 6:00 快、慢两车分别从 A、B 两 地出发向东前进， 快车的速度是每小时 80 千米， 慢车的速度是每小时 60 千米 当 快车到达 D 加油站的时候，慢车正好到达 C那么快车从 A 到达 D 一共开了几 个小时？ 例题 5 甲、 乙两车同时从东、 西两地出发， 相向而行 甲每小时行
6、36 千米， 乙每小时行 30 千米，两车在距离中点 9 千米处相遇，求东、西两地 间的距离 分析分析两车相遇，两地距离是两车的路程和，我们容易算出两车速度和， 但是不知道两车的相遇时间，你能通过“在距离中点 9 千米处相遇”这个条件算 出相遇时间吗？大家试着画出线段图进行分析 例题 6 萱萱一家开车去外地旅游，预计每小时行驶 45 千米实际上，由于 高速公路堵车，汽车每小时只行驶 30 千米，因此比预计时间晚到了 2 小时请问：萱萱一家在路上实际花了几个小时？ 分析分析实际行驶的速度比预计的慢，那么在预计时间内，还差多远到达目的地 呢？你能算出预计行驶的时间吗？画出线段图试试寻找两次相同时间
7、内的路程 差进行分析吧！ 课堂内外 阿基里斯追不上龟？ 阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄，芝诺是一名古希腊哲学家芝诺认为，如 果阿基里斯在乌龟后 100 米追乌龟，阿基里斯永远追不上乌龟他的论证简要说来是这 样的，阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起跑点可他跑到乌龟的起跑点 需要一定时间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已经前进了一段路了，于是他又必 须花一定的时间赶到乌龟的新的所在的点而当他赶到乌龟新的所在的点时，乌龟又已 经前进了一段路了因而如此下去，阿基里斯永远也追不上乌龟 聪明的小朋友你同意芝诺的看法吗？ 作业 1. 甲、 乙两镇相距 100 千米 上午 7 点， 一辆汽车和一
8、辆马车分别从甲、 乙两镇同时出发， 同向而行，马车在前，汽车在后汽车的速度是每小时行 50 千米，马车的速度是每小 时行 30 千米那么经过多长时间，汽车会追上马车？ 2. 甲、乙两车分别从相距 600 千米的 A、B 两地同时出发，同向而行乙车在前，甲车在 后 20 小时后甲车追上了乙 已知乙车每小时行 50 千米， 那么甲车每小时行多少千米？ 3. 甲从 A 出发，每分钟走 50 米，甲出发 30 分钟后，乙也从 A 出发，去追甲，乙每分钟 走 80 米那么乙出发多长时间后追上了甲？ 4. 甲、乙两车分别从相距 300 千米的 A、B 两地同时出发，同向而行乙车在前，甲车在 后已知甲车每小
9、时行 60 千米，乙车每小时行 30 千米那么出发多长时间后，甲车会 领先乙车 300 千米？ 5. 甲、乙两车分别从东、西两地同时出发相向而行已知甲车较快，每小时行 45 千米， 乙车每小时行 37 千米那么出发后经过多长时间，两车会在距离东、西两地中点 12 千米处相遇？ 第七讲 追及问题 1. 例题 1 答案：130 秒秒 详解：从出发到追上，甲、乙的路程差是从出发到追上，甲、乙的路程差是 A、B 两地的全程即两地的全程即 260 米，速度差是米，速度差是532米米/秒，秒， 所以追及时间是所以追及时间是2602130秒秒 2. 例题 2 答案：3 分钟 详解：墨莫先出发了墨莫先出发了
10、12 分钟，速度是分钟，速度是 75 米米/分，所以墨莫行驶的路程是分，所以墨莫行驶的路程是75 12900米米所以所以 爸爸从出发到追上墨莫，两人的路程差就是爸爸从出发到追上墨莫，两人的路程差就是 900 米，速度差是米，速度差是37575300米米/分，追及时间是分，追及时间是 9003003分钟分钟 3. 例题 3 答案：60 千米；10 小时 详解： （1）两车的速度差是）两车的速度差是604020千米千米/小时，小时，2 小时内两车的路程差是小时内两车的路程差是20 240千米，千米， 此时小轿车还没有追上公车，两车相距此时小轿车还没有追上公车，两车相距1004060千米； （千米；
11、 （2）小轿车领先公车）小轿车领先公车 100 千米，两车千米，两车 的路程差是的路程差是100 100200千米，两车的速度差是千米，两车的速度差是604020千米千米/小时，追及时间是小时，追及时间是 2002010小时小时 4. 例题 4 答案：17 点 详解：公车提前出发公车提前出发 3 小时，速度是小时，速度是 40 千米千米/小时，所以公车行驶的路程是小时，所以公车行驶的路程是40 3120 千米，千米， 小轿车和公车在相同时间内所行驶的路程差是小轿车和公车在相同时间内所行驶的路程差是120160280千米（即图中实线部分的路程千米（即图中实线部分的路程 差）差） 两车的速度差是两
12、车的速度差是754035千米千米/小时，所以追及时间是小时，所以追及时间是280358小时，即小轿车行驶小时，即小轿车行驶 了了 8 小时，小轿车是小时，小轿车是 9 点出发，所以点出发，所以9817点到达点到达 B 城城 5. 例题 5 答案：198 千米 详解：甲行驶的路程比一半的路程多甲行驶的路程比一半的路程多 9 千米，乙行驶的路程比一半的路程少千米，乙行驶的路程比一半的路程少 9 千米，所以甲、千米，所以甲、 乙行驶的路程差是乙行驶的路程差是 18 千米，速度差是千米，速度差是36306千米千米/小时，所以追及时间是小时，所以追及时间是1863小时，这小时，这 也是两车的相遇时间，
13、速度和是也是两车的相遇时间， 速度和是363066千米， 所以千米， 所以 3小时行驶的路程和是小时行驶的路程和是66 3198 千米，千米， A 公车 40 千米/小时 B 3 小时 轿车 75 千米/小时 160 千米 即东、西两地间的距离是即东、西两地间的距离是 198 千米千米 6. 例题 6 答案：6 小时 详解：萱萱预计和实际的路程差即实际萱萱预计和实际的路程差即实际 2 小时所行驶的路程，实际的速度是小时所行驶的路程，实际的速度是 30 千米千米/小时，所以小时，所以 路程差是路程差是30 260千米千米预计和实际的速度差是预计和实际的速度差是453015 千米千米/小时，所以追
14、及时间是小时，所以追及时间是60 154小时小时所以萱萱一家在路上实际花了所以萱萱一家在路上实际花了426小时小时 7. 练习 1 答案：6 小时 详解：从出发到追上，甲、乙的路程差是从出发到追上，甲、乙的路程差是京、津京、津两地的两地的距离距离即即 120 千千米，速度差是米，速度差是120 10020 千米米/小时小时，所以追及时间是，所以追及时间是120206小时小时 8. 练习 2 答案：10 分钟 详解：乌龟先出发了乌龟先出发了 100 分钟，速度是分钟，速度是 30 米米/分，所以乌龟爬行的路程是分，所以乌龟爬行的路程是30 1003000米米所所 以兔子从出发到追上乌龟，路程差就
15、是以兔子从出发到追上乌龟，路程差就是 3000 米，速度差是米，速度差是33030300米米/分，追及时间是分，追及时间是 300030010分钟分钟 9. 练习 3 答案：25 秒 简答：阿瓜从落后阿呆阿瓜从落后阿呆 50 米到领先米到领先 50 米，两人的路程差是米，两人的路程差是5050100米，两人的速度差是米，两人的速度差是 734米米/秒，追及时间是秒，追及时间是100425秒秒 10. 练习 4 答案：3 小时 简答：两车同时出发，当快车到达两车同时出发，当快车到达 D、慢车到达、慢车到达 C 时，两车的路程差即时，两车的路程差即204060千米，而速 度差为806020千米/时
16、，所以时间为所以时间为60203小时 西 乙 30 千米/小时 东 甲 36 千米/小时 9 千米 中点 家 预计 45 千米/小时 外地 实际 30 千米/小时 2 小时 11. 作业 1 答案：5 小时 简答： 两车的路程差是 100 千米， 速度差是503020千米/小时， 追及时间是100205小时 12. 作业 2 答案：80 千米 简答：甲从相距乙车 600 千米到最后追上，用了 20 小时，那么甲每小时追上乙6002030千 米，乙每小时走 50 千米，那么甲每小时会走503080千米 13. 作业 3 答案：50 分钟 简答：甲早出发 30 分钟，当乙出发时，甲已经走了30 501500米乙每分钟走 80 米，乙每 分钟追上甲805030米，那么经过15003050分钟，乙会追上甲 14. 作业 4 答案：20 小时 简答：甲车从落后乙车 300 千米到领先乙车 300 千米，两车的路程差是 600 千米速度差是 603030千米/小时，追及时间是6003020小时 15. 作业 5 答案：3 小时 简答：两车路程差为12 224 千米，速度差为45378千米/小时，时间为2483小时，即 两车相遇的时间是 3 小时
