1、第二十一讲 等积变形 三角形和平行四边形的关系非常紧密 回想它们的面积公式， 如果我们把一个平行四边 形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图： 除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积 也是平行四边形的一半 （注意：长方形也是平行四边形） 底 底 底 底 例题 1 如图，已知平行四边形 ABCD 的面积是 100 平方 厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积 是多少平方厘米？ 分析分析辅助线把整个图形分成了左右两个平行 四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关 系呢？ 练习 1 如图， E 是平行四边形 ABCD 中的
2、任意一点， 已 知AED 与EBC 的面积和是 40 平方厘米， 那么图 中阴影部分的面积是多少？ 下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形 OAB、三角形 PAB、三角形 MAB 和三角 形 NAB，它们的底相同，都是 AB；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形 的面积是相等的进一步，我们可以在直线 ON 上任取若干个点，这些点分别与 A、B 两点 形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的 我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高” “同底等高”是我们最早碰 到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等 如果两个三角形同底等高，那么
3、它们的面积相等 利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形 A B C D E A B C D E 底 高 O A B P M N 例题 2 如图， 平行四边形ABCD的底边AD长20厘米， 高 CH 为 9 厘米；E 是底边 BC 上任意的一点，那 么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 分析分析能否通过等积变形，把两个三角形变 成一个三角形呢？ 练习 2 如图， 平行四边形 ABCD 的面积是 100 平方 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 例题 3 如图所示，ABFE 和 CDEF 都是长方形，AB 的长是 4 厘 米， BC 的长是 3 厘米 那
4、么图中阴影部分的面积是多少平方 厘米？ 分析分析能否通过等积变形，把上层与下层的三角形 分别变成一个三角形呢？ 练习 3 如图，ABCD 和 CDEF 都是平行四边 形，四边形 ABFE 面积为 60 平方厘米请 问：阴影部分面积是多少平方厘米？ 在利用同底等高三角形计算面积的题目中， 最重要的一步就是去寻找其中的平行线， 进 而寻找同底等高 、面积相等 的三角形 B C D E F H A A D C B F C D E A B A B D C F E 例题 4 如图，梯形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上的一点， 已知 DE 和 AB 平行， 那么与ADC 面积相等的三角形 一共有哪几
5、个？ 分析分析要找同底等高面积相等的三角形， 首先必须找到平行线哦！ 练习 4 如图，梯形 ABCD 中，共有几个三角形？其中面积相 等的三角形共有哪几对？ 画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从 下手的复杂题目变得非常简单一般我们习惯把辅助线画成虚线 在上一讲中， 我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目， 在利用同底等高三角形 计算面积的题目中， 我们往往需要自己画出平行线 去构造、 寻找同底等高的三角形进而进行 面积转化 例题 5 如图，大正方形的边长是 10 厘米，小正方形的边长是 8 厘米求阴影部分的面积 分析分析图中的三角形底、高都是未知并且
6、不可求的，能否通过等积变形，寻找 与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦！ A B C D E A D B C O 如右图，梯形 ABCD 中，对角线相交于 O 点，由于 AD 与 BC 平行，那么就有ABC 与DBC 同底等高、面 积相等，ABD 与ACD 同底等高、面积相等 那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？ 我们观察一下，ABC 与BCD 都包含有OBC，而 ABC 与BCD 面积相等，那么就有ABO 与CDO 面积相等 我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等” ，因为ABO 与 CDO 恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”
7、 “蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶 模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单 例题 6 如图所示， 长方形 ABCD 内的阴影部分的面 积之和为 70，AB=8，AD=15，四边形 EFGO 的 面积是多少？ 分析分析能否应用“蝴蝶模型” ，使得三块 分离的三角形合并呢？ 课堂内外 蝴蝶定理蝴蝶定理 蝴蝶定理蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一 这个命题最早出现在 1815 年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在美国数学 月刊1944 年 2 月号，1985 年，在河南省数学教师创刊号上，杜锡
8、录同志以平 面几何中的名题及妙解为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地 到处传开 这个定理最基本的叙述为：设 M 为圆内弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD，设 AD 和 BC 分别相交 PQ 于点 X 和 Y，则 M 是 XY 的中点 从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字 由此而得 实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压 扁”即可 A B C D O A B C D O E G F 这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时 有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花” 混沌论中的“蝴蝶定理”：混沌论中的“
9、蝴蝶定理”： 数学的一门分支是混沌论混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述： 初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别 混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林 中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风 西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国 作业 1. 如图所示，梯形 ABCE 是由正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CDE 构成的，已知等腰直 角
10、三角形的斜边是 10 厘米，那么BCE 的面积是多少平方厘米？ 2. 如图，长方形 ABCD 的面积为 6，平行四边形 BECF 的面积为多少？ A B C E D A B C D E F 3. 如图所示，一个长方形被分成 4 个不同的三角形，红色三角形的面积是 9 平方厘米，黄 色三角形的面积是 21 平方厘米， 绿色三角形的面积是 10 平方厘米， 那么蓝色三角形的 面积是多少平方厘米？ 4. 如图，长方形的长为 16，宽为 5阴影三角形的面积 和为多少？ 5. 如图，直角梯形 ABCD 中， ， BD 和 CD 垂直那么三角形 ABC 的面积是多少？ 40BD 30CD 黄 红 蓝 绿
11、A B C D 第二十一讲 等积变形 1. 例题 1 答案：50 平方厘米 详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行 四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为 50 平方厘米 2. 例题 2 答案：90 平方厘米 详解：平行四边形面积是 180 平方厘米狗牙模型，通过同底等高可以将 F 拉到 A 点，把两个 三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为 90 平方厘米 3. 例题 3 答案：6 平方厘米 详解：双层犬牙模型，可以把双层犬牙模型，可以把 ABFE 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是中的阴影面积转化成一个大的三角形，
12、是 ABFE 面积的一面积的一 半；半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 CDEF 面积的一半所面积的一半所以阴影部分的面积以阴影部分的面积 是长方形是长方形 ABCD 面积的一半，即面积的一半，即 6 平方厘米平方厘米 4. 例题 4 答案：ABD 和和ABE 详解：观察图中哪些线段平行，观察图中哪些线段平行，AD 平行于平行于 BC，AB 平行于平行于 DE根据根据 AD 平行于平行于 BC，可以知，可以知 道道ADC 的面积等于的面积等于ABD；根据；根据 AB 平行于平行于 DE，可以知道，可以知道ABD 的面积等于的面积等于ABE所以
13、所以 与与ADC 面积相等的三角形有面积相等的三角形有ABD 和和ABE 5. 例题 5 答案：50 平方厘米；32 平方厘米 详解： （1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以 阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底 为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一 半，为 50 平方厘米 （2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等 腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积 相等，等于小正方形面积的一半，为 32 平方厘米 6. 例题 6 答案：10 详解： 梯形 ADCF 中， 阴影 CDG 与 A
14、FG 面积相等， 所以阴影总面积可以转换为ABD 与四边形 OEFG， 其中ABD 面积为长方形一半 60，所以四边形 OEFG 面积为706010 7. 练习 1 答案：40 平方厘米 详解： 平行四边形中任意一点， 与四个顶点连线， 分成的四个小三角形面积关系：平行四边形中任意一点， 与四个顶点连线， 分成的四个小三角形面积关系：上 下左右 8. 练习 2 答案：50 平方厘米 详解：单层犬牙模型，通过同底等高可以将阴影部分的面积转化成一个大的三角形这个三角单层犬牙模型，通过同底等高可以将阴影部分的面积转化成一个大的三角形这个三角 形的面积是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积是形的面
15、积是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积是 50 平方厘米平方厘米 9. 练习 3 答案：30 平方厘米 简答：双层犬牙模型，可以把双层犬牙模型，可以把 ABCD 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 ABCD 面积的一面积的一 半；半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 CDEF 面积的一半所以阴影部分的面积面积的一半所以阴影部分的面积 是平行四边形是平行四边形 ABFE 面积的一半，即面积的一半，即 30 平方厘米平方厘米 10. 练习 4 答案：共 8 个三角形；ABC 与DBC、ABD 与ACD、A
16、BO 与CDO 简答：这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等根据这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等根据 AD 平行于平行于 BC，可以知道，可以知道 ABC 的面积等于的面积等于BCD 的面积；的面积；ABD 的面积等于的面积等于ACD 的面积的面积 ABD 和和ACD 有一个共同的有一个共同的AOD，所以，所以ABO 和和OCD 的面积相等，我们称梯形的两翼的面积相等，我们称梯形的两翼 面积相等面积相等 11. 作业 1 答案：25 平方厘米 简答：根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是 25 平方厘 米和 50 平方厘米方法一：BCE 的面
17、积是正方形面积的一半，所以BCE 的面积是 25 平方 厘米；方法二：连接 BD，BCE 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等， 则BCE 的面积也是 25 平方厘米 12. 作业 2 答案：6 简答：三角形 BCF 的面积为长方形的一半，同时也是平行四边形的一半，所以平行四边形面积 A B C D O E G F 就等于长方形的面积，为 6 13. 作业 3 答案：22 平方厘米 简答：红蓝面积之和等于黄绿面积之和，都是长方形的一半所以蓝色面积为：21 10922 平方厘米 14. 作业 4 答案：40 简答：“狗牙”模型，阴影部分多个三角形根据同底等高三角形的转化可以转变为一个大三角 形，面积为长方形的一半，面积为：16 5240 15. 作业 5 答案：600 简答： ABC 与BCD 同底等高， 所以两个三角形面积相等， BCD 底 CD 长 30、 高 BD 长 40， 面积为30402600
