高斯小学奥数四年级上册含答案第06讲_相遇问题

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1、第六讲 相遇问题 院子里两棵槐树之间的距离是 10 米, 一只小猫从一棵槐树跑到 10 米外的另 一棵槐树需要 5 秒,那么小猫每秒跑10 52 米 行程问题是研究路程、 时间和速度之间的关系 速度是衡量运动快慢的量 一 般我们选用 1 个单位的时间,如用 1 小时或 1 分钟或 1 秒,用 1 个单位的时间内 经过的路程的多少来表示速度的大小因此,我们有了速度的定义: 速度就是单位时间内所经过的路程 速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量,它们之间的关系如下: 路程速度 时间 速度 路程 时间 =时间路程速度 那么本文一开始提到的小猫跑过的距离 10 米就为路程,行程问题中常用的 路程单

2、位是米和千米而小猫跑了 5 秒就是时间,时间的常用单位有秒、分钟和 小时那么小猫的速度就是 2 米秒,行程问题中常用的速度单位有米秒、米 分和千米时 练一练 1. 汽车以每小时 15 千米的速度行驶,那么 5 小时内,它行驶了_千米 2. 长跑运动员每秒跑 4 米,如果按照这个速度跑完 10000 米,需要_秒 3. 一颗子弹射出后 2 秒钟,恰好击中 1800 米处的目标,那么它的速度是每秒_ 米 4. 一名长跑运动员以每秒 4 米的速度奔跑,那么 2 分钟内,他跑了_米 5. 小高每分钟骑 100 米,如果要骑完 6000 米的路程,需要_小时 例题 1 甲、乙两地相距 360 千米,一辆

3、汽车原计划用 8 小时从甲地到乙地, 那么汽车每小时应该行驶多少千米?实际上汽车行驶了一半路程后 发生了故障,在途中停留了 1 小时如果按照原定的时间到达乙地, 汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米? 分析分析要计算速度,找清楚对应对应 的路程和时间即可 练习 1 兔子和乌龟赛跑,从 A 地跑到 B 地,全程共 6000 米兔子计划 5 分钟跑完 全程, 结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程要比计划的要少 200 米那么兔子实 际跑完全程用了多长时间? 例题 2 A、B 两地相距 4800 米,甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相 向而行,如果甲每分钟走 60 米,乙每分钟走 100 米

4、,请问: (1)甲从 A 走到 B 需要多长时间? (2)两个人从出发到相遇需要多长时间? 分析分析从出发到相遇,两人一共走了多远?他俩每分钟一共走多远呢? 练习 2 阿呆和阿瓜从相距 5000 米的 A、B 两地同时出发,相向而行阿呆每分钟 走 150 米,阿瓜每分钟走 350 米,那么两人从出发到相遇需要多长时间? 在两个运动物体在一条直线上运动,行进的方向可能相同,也可能相反当 它们行进方向相反时,如果它们面对面地接近,我们就称为“相向而行” ;如果 它们背对背地远离,我们就称为“相背而行” 两人之间的“相遇问题”既可以 是“相向而行”也可以是“相背而行” ,其中“相向而行”的相遇问题更

5、常见一 些 相遇问题关心的是两个人的“速度和”以及“路程和” 根据行程问题基本 公式,我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式: 路程和 速度和 相遇时间 相遇时间 路程和 速度和 速度和 路程和 相遇时间 在使用上述公式的时侯一定要注意,两个运动物体必须同时行进如果整个 相遇过程中并不是同时行进的,这个公式就不能直接应用了,需要分段考虑 例题 3 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 350 千米的两地相向而行, 公 共汽车每小时行 40 千米,小轿车每小时行 60 千米,问: (1)2 小时后两车相距多少千米? (2)出发几小时后两车第一次相距 50 千米? (3)出发几小时后两车第二次相距

6、50 千米? 分析分析两辆车从两地出发相向而行, 为什么会有两次相距 50 千米呢?画出线段 图,试着找找相同时间内两辆车的路程和吧! 练习 3 A、B 两地相距 400 千米,甲、乙两车分别从 A、B 同时出发,相向而行甲 车的速度为每小时 60 千米,乙车的速度为每小时 40 千米,请问:出发几小时后 甲、乙两车第一次相距 100 千米?再过多长时间两车第二次相距 100 千米? 对一些复杂的行程问题,单靠凭空想象已经无能为力了,这时就需要用一种 形象的语言,把运动过程直观地表现出来,这就是我们解行程问题最得力的助手 线段图 画线段图时要特别注意: (1)专人专线专人专线:如果我们考虑的是

7、两个或多个对象的运动,可以把它们的 运动路线并排摆放,要注意不同人的运动路线不同; (2)同时性同时性:如果运动时间分为几个阶段,那么应该在运动路线上表示相 应的时刻 比如上图表示汽车 A 与汽车 B 分别从甲地、乙地同时出发,从开始时刻 到时刻两车相遇,从时刻到时刻表示两车相遇后各自的运动情况这样一 来,我们就可以借助线段图把整个行程过程看得更清楚 画线段图是解行程问题最基本的方法通过作图,可以将题目中的条件梳理 清楚,还可以通过对图形的观察,挖掘出很多字面上看不出来的隐藏条件,进而 找到解题的的突破口 例题 4 甲、乙两地相距 350 千米,一辆汽车在早上 8 点从甲地出发,以每小 时 4

8、0 千米的速度开往乙地2 小时后另一辆汽车以每小时 50 千米的 汽车 A 甲地 乙地 汽车 B 速度从乙地开往甲地问:什么时候两车在途中相遇? 分析分析两辆车不同时出发,可是不能直接用公式计算时间的还是画出线 段图,寻找相同时间内的路程和进行分析计算吧! 练习 4 小王和小许从相距 5000 米的各自的家里出发, 相向而行 小王每分钟走 300 米,小许每分钟走 200 米小王出发 10 分钟后小许才从家出发,那么小王走了 多长时间两人才相遇? 例题 5 (1)小高跑 400 米用 50 秒,旗鱼每小时能游 120 千米请问:谁的 速度更快? (2)一般情况下,成年人跑 100 米要用 14

9、 秒,河马奔跑的速度是 40 千米时,河马跑的比人快吗? 分析分析单位相同时,比较速度的大小即得谁快谁慢,这两小问中速度单位 都没办法统一,该怎么去比较快慢呢? 例题 6 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行,已知甲每分钟走 50 米,乙走完全程要 18 分钟,出发 3 分钟后,甲、乙仍相距 450 米请 问:还要过多少分钟,甲、乙两人才能相遇? 分析分析乙已经走了 3 分钟,那么走完剩下的路程就还需要多长时间?你能找到 这段时间的路程吗?画出线段图分析吧! 课堂内外 作业 1. 一名长跑运动员以每秒 4 米的速度奔跑,那么 5 分钟后,他跑了多少米? 2. 甲、乙两车从相距 700

10、 千米的两地同时出发,相向而行甲车每小时行 40 千米,乙车 每小时行 60 千米,出发几小时后两车相遇? 3. 甲、 乙两车从两地同时出发, 相向而行 甲车每小时行 60 千米, 乙车每小时行 75 千米, 出发 2 小时后两车相遇请问两地相距多少千米? 4. 一只大老鼠和一只小老鼠分别从一根长 1000 厘米的直面条的两端开始吃大老鼠每秒 钟吃 3 厘米,小老鼠每秒钟吃 1 厘米,请问多长时间后,大老鼠和小老鼠第一次相距 40 厘米? 5. 甲、乙两城相距 580 千米,从甲城开往乙城的客车每小时行驶 60 千米客车出发 1 小 时后,货车从乙城开往甲城,每小时行 70 千米货车开出多少小

11、时后两车相遇? 第六讲 相遇问题 1. 例题 1 答案:45 千米千米/小时;小时;60 千米千米/小时小时 详解: (1)行驶路程是)行驶路程是 360 千米,行驶时间是千米,行驶时间是 8 小时,所以行驶速度是小时,所以行驶速度是360845千米千米/小时;小时; (2)后一半路程是)后一半路程是3602180千米,行驶总时间仍然是千米,行驶总时间仍然是 8 小时,前半程花了小时,前半程花了415 小时,小时, 所以后半程行驶时间是所以后半程行驶时间是 3 小时,后半程的速度是小时,后半程的速度是180360千米千米/小时小时 2. 例题 2 答案:80 分钟;30 分钟 详解:(1) 甲

12、行驶的路程是) 甲行驶的路程是 4800 米, 行驶的速度是米, 行驶的速度是 60 米米/分钟, 所以行驶的时间是分钟, 所以行驶的时间是48006080 分钟; (分钟; (2) 两人从出发到相遇行驶的路程和是) 两人从出发到相遇行驶的路程和是 4800 米, 行驶的速度和是米, 行驶的速度和是60100160米米/分钟,分钟, 所以相遇时间是所以相遇时间是4800 16030分钟分钟 3. 例题 3 答案:150 千米;3 小时;4 小时 详解: (1)两车的速度和是)两车的速度和是4060100千米千米/小时,行驶时间是小时,行驶时间是 2 小时,所以两车的路程和是小时,所以两车的路程

13、和是 1002200千米,两车相距千米,两车相距350200150千米; (千米; (2)两车第一次相距)两车第一次相距 50 千米,两车还没有千米,两车还没有 相遇,两车行驶的路程和是相遇,两车行驶的路程和是35050300千米,两车的速度和是千米,两车的速度和是4060100千米千米/小时,行驶小时,行驶 时间是时间是300 1003小时; (小时; (3)两车相遇后继续行驶,第二次相距)两车相遇后继续行驶,第二次相距 50 千米时,两车行驶的路程千米时,两车行驶的路程 和是和是35050400千米,两车的速度和是千米,两车的速度和是4060100千米千米/小时,行驶时间是小时,行驶时间是

14、400 1004小小 时时 4. 例题 4 答案:13 点 详解:画行程图,如下图所示, “车画行程图,如下图所示, “车 1”提前出发”提前出发 2 小时所行驶的路程是小时所行驶的路程是40 280千米,剩下千米,剩下 的路程是两辆汽车在相同时间内行驶的路程和,路程和是的路程是两辆汽车在相同时间内行驶的路程和,路程和是35080270千米,速度和是千米,速度和是 405090千米千米/小时, 所以相遇时间是小时, 所以相遇时间是270903小时,“车小时,“车 2” 从” 从 10 点出发, 行驶了点出发, 行驶了 3 小时,小时, 所以所以 13 点两车在途中相遇点两车在途中相遇 5. 例

15、题 5 答案:旗鱼快;河马比人快 详解: (1)小高的速度是)小高的速度是400508米米/秒,单位不一样,无法比较,所以把小高的速度变成米秒,单位不一样,无法比较,所以把小高的速度变成米 /小时,小时, 1 小时小高跑小时小高跑8 360028800米, 速度即米, 速度即 28800 米米/小时; 旗鱼的速度是小时; 旗鱼的速度是 120000 米米/小时,小时, 所以旗鱼的速度更快; (所以旗鱼的速度更快; (2)成年人成年人 14 秒跑秒跑 100 米,所以米,所以 1 秒跑秒跑 7 米多;河马米多;河马 1 小时跑小时跑 40 千米,千米, 所以所以 1 秒跑秒跑 11 米多,所以河

16、马跑的比人快;或者可以统一路程比速度:河马跑米多,所以河马跑的比人快;或者可以统一路程比速度:河马跑 40000 米用米用 1 小小 时即时即 3600 秒,而成人跑秒,而成人跑 40000 米需要米需要144005600秒,路程相同,河马用时短,所以更快 6. 例题 6 答案:5 分钟 车 1 40km/h 车 2 50km/h 2h 350km 乙 甲 详解:甲甲 3 分钟所行驶的路程是分钟所行驶的路程是50 3150 米,乙距离米,乙距离 A 地还有地还有150450600米米乙行驶全乙行驶全 程要程要 18 分钟,已经行驶了分钟,已经行驶了 3 分钟,还需要行驶分钟,还需要行驶 15

17、分钟才能走完分钟才能走完 600 米,所以乙的速度是米,所以乙的速度是 600 1540米米/分,分,450 米是两人之后的路程和,速度和是米是两人之后的路程和,速度和是504090米米/分,所以还需要分,所以还需要 450905分钟,甲、乙两人才能相遇分钟,甲、乙两人才能相遇 7. 练习 1 答案:6 分钟 详解:原计划原计划 5 分钟跑完分钟跑完 6000 米,所以原计划速度为米,所以原计划速度为600051200米/分,实际每分钟跑 12002001000米,所以实际时间为6000 10006分钟 8. 练习 2 答案:10 分钟 详解:从出发到相遇,路程和为从出发到相遇,路程和为 50

18、00 米,速度和为米,速度和为150350500米/分,所以时间为 500050010分钟 9. 练习 3 答案:3 小时;5 小时 简答: (1)两车第一次相距)两车第一次相距 100 千米,两车还没有相遇,两车行驶的路程和是千米,两车还没有相遇,两车行驶的路程和是400 100300千千 米,两车的速度和是米,两车的速度和是4060100千米千米/小时,行驶时间是小时,行驶时间是300 1003小时; (小时; (2)两车相遇后继)两车相遇后继 续行驶,第二次相距续行驶,第二次相距 100 千米时,两车行驶的路程和是千米时,两车行驶的路程和是400 100500千米,两车的速度和是千米,两

19、车的速度和是 4060100千米千米/小时,行驶时间是小时,行驶时间是500 1005小时小时 10. 练习 4 答案:14 分钟 简答:画行程图,如下图所示,小王提前出发画行程图,如下图所示,小王提前出发 10 分钟所行驶的路程是分钟所行驶的路程是300 103000米,剩下米,剩下 的路程是两人在相同时间内行驶的路程和,路程和是的路程是两人在相同时间内行驶的路程和,路程和是500030002000米,速度和是米,速度和是 300200500米米/分,相遇时间是分,相遇时间是20005004分钟,所以小王一共走了分钟,所以小王一共走了10414分钟两人 才相遇 11. 作业 1 答案:120

20、0 米 简答:4 5 601200 米注意单位换算 12. 作业 2 答案:7 小时 甲 50 米/分 乙 450 米 B A 3 分钟 3 分钟 王 300 许 200 10 分 5000 简答:相遇时间为70040607小时 13. 作业 3 答案:270 千米 简答:两地距离即为两车路程和,为60752270千米 14. 作业 4 答案:240 秒 简答:第一次相距 40 厘米,两只老鼠共同吃的面条长度和为100040960厘米,用时 96031240秒 15. 作业 5 答案:4 小时 简答:客车 1 小时行 60 千米,货车出发时两车相距58060520千米,相遇时间为 52060704小时所以货车出发后 4 小时两车相遇了

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