1、下列函数中是二次函数的是（ ） Ay By（x+3）2x2 Cy Dyx（x1） 2 （4 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 内有一点 A（2，3） ，那么 OA 与 x 轴正半轴的 夹角 的余切值是（ ） A B C D 3 （4 分） 将抛物线 y （x+1） 23 向右平移 2 个单位后得到的新抛物线的表达式为 （ ） Ay（x1）23 By（x+3）23 Cy（x+1）21 Dy（x+1）25 4 （4 分）下列命题正确的是（ ） A如果| | |，那么 B如果 、 都是单位向量，那么 C如果 k （k0） ，那么 D如果 m0 或 ，那么 m 0 5 （4 分）已知在矩形 AB
2、CD 中，AB5，对角线 AC13C 的半径长为 12，下列说法 正确的是（ ） AC 与直线 AB 相交 BC 与直线 AD 相切 C点 A 在C 上 D点 D 在C 内 6 （4 分）如果点 D、E，F 分别在ABC 的边 AB、BC，AC 上，联结 DE、EF，且 DE AC，那么下列说法错误的是（ ） A如果 EFAB，那么 AF：ACBD：AB 第 2 页（共 28 页） B如果 AD：ABCF：AC，那么 EFAB C如果EFCABC，那么 EFAB D如果 EFAB，那么EFCBDE 二、填空胞（本大剧共二、填空胞（本大剧共 12 题每题题每题 4 分满分分满分 48 分） 【在
3、答纸相应题号后的空格内宜接填写答分） 【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答 案】案】 7 （4 分）计算：2（ 2 ）+3（ + ） 8 （4 分）如果，那么的值等于 9 （4 分）已知点 P 在线段 AB 上，且满足 BP2ABAP，则的值等于 10 （4 分）已知抛物线 y（1+a）x2的开口向上，则 a 的取值范围是 11 （4 分）抛物线 y2x21 在 y 轴左侧的部分是 （填“上升”或“下降” ） 12 （4 分）如果一条抛物线经过点 A（2，5） ，B（3，5） ，那么它的对称轴是直线 13 （4 分）如图，传送带把物体从地面送到离地面 5 米高的地方，如果传送带与地面所成 的斜
4、坡的坡度 i1：2.4，那么物体所经过的路程 AB 为 米 14 （4 分）如图，AC 与 BE 交于点 D，AE90，若点 D 是线段 AC 的中点，且 ABAC10则 BE 的长等于 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，点 G 是重心，AC4，tanABG， 则 BG 的长是 16 （4 分）已知相交两圆的半径长分别为 8 与 15，圆心距为 17，则这两圆的公共弦长 为 第 3 页（共 28 页） 17 （4 分）如果直线 l 把ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直 线 l 叫做ABC 的“完美分割线” ，已知在ABC 中，ABAC，ABC 的一条
5、“完美分 割线”为直线 l，且直线 l 平行于 BC，若 AB2，则 BC 的长等于 18 （4 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC4，点 P 在边 BC 上，联结 AP， 将ABP 绕着点 A 旋转， 使得点 P 与边 AC 的中点 M 重合， 点 B 的对应点是点 B， 则 BB的长等于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位 置上】置上】 19 （10 分）计算： 20 （10 分）如图，在梯形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，CD
6、 上，ADEFBC，EF 与 BD 交于点 G，AD5，BC10， （1）求 EF 的长； （2）设 ， ，那么 ， （用向量 、 表示） 21 （10 分）如图，已知 AB 是O 的弦，点 C 在O 上，且，联结 AO，CO，并 延长 CO 交弦 AB 于点 D，AB4，CD6 （1）求OAB 的大小； （2）若点 E 在O 上，BEAO，求 BE 的长 第 4 页（共 28 页） 22 （10 分）图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 OABC 表示支架，支 架的一部分 OAB 是固定的，另一部分 BC 是可旋转的，线段 CD 表示投影探头，OM 表示水平桌面，AOOM，垂
7、足为点 O，且 AO7cm，BAO160，BCOM，CD 8cm 将图 2 中的 BC 绕点 B 向下旋转 45，使得 BCD 落在 BCD的位置（如图 3 所示） ， 此时 CDOM，ADOM，AD16cm，求点 B 到水平桌面 OM 的距离， （参考 数据：sin700.94，cos700.34，cot700.36，结果精确到 1cm） 23 （12 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，AE 与 CD 交于点 F，若 AE 平分BAC，ABAFACAE （1）求证：AFDAEC； （2）若 EGCD，交边 AC 的延长线于点 G，求证：CDCGFCBD 24 （1
8、2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+mx+n 经过点 B（6，1） ，C （5，0） ，且与 y 轴交于点 A 第 5 页（共 28 页） （1）求抛物线的表达式及点 A 的坐标； （2） 点 P 是 y 轴右侧抛物线上的一点， 过点 P 作 PQOA， 交线段 OA 的延长线于点 Q， 如果PAB45求证：PQAACB； （3）若点 F 是线段 AB（不包含端点）上的一点，且点 F 关于 AC 的对称点 F恰好在 上述抛物线上，求 FF的长 25 （14 分）如图，已知在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，点 P、Q 分别在边 AC、射线 CB 上，且 APCQ
9、，过点 P 作 PMAB，垂足为点 M，联结 PQ，以 PM、PQ 为邻边作平行四边形 PQNM，设 APx，平行四边形 PQNM 的面积为 y （1）当平行四边形 PQNM 为矩形时，求PQM 的正切值； （2）当点 N 在ABC 内，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过平行四边形 PQNM 一边的中点时，直接写出 x 的值 第 6 页（共 28 页） 2020 年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题
10、，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【每题只有一个正确选项，在答题纸分） 【每题只有一个正确选项，在答题纸 相应题号的选项上用相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂】铅笔正确填涂】 1 （4 分）下列函数中是二次函数的是（ ） Ay By（x+3）2x2 Cy Dyx（x1） 【分析】由二次函数的解析式为 yax2+bx+c（a0） ，对选项中的解析式进行判断即可 【解答】解：二次函数的解析式为 yax2+bx+c（a0） ， yx（x1）x2x， 故选：D 【点评】本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的形式是解题的关键 2 （4 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 内有一
11、点 A（2，3） ，那么 OA 与 x 轴正半轴的 夹角 的余切值是（ ） A B C D 【分析】过点 A 作 ABx 轴，构造直角三角形，由坐标得出 OB2，AB3，再根据余 切的意义求出结果即可 【解答】解：过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，则 OB2，AB3， 在 RtOAB 中，cotAOBcot， 故选：B 第 7 页（共 28 页） 【点评】考查直角三角形的边角关系，将坐标转化为线段的长是解答的前提，利用余切 的意义是解决问题的关键 3 （4 分） 将抛物线 y （x+1） 23 向右平移 2 个单位后得到的新抛物线的表达式为 （ ） Ay（x1）23 By（x+3）23 C
12、y（x+1）21 Dy（x+1）25 【分析】根据平移的规律即可求得答案 【解答】解：将抛物线 y（x+1）23 向右平移 2 个单位， 新抛物线的表达式为 y（x+12）23（x1）23， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即 “左加右减，上加下减” 4 （4 分）下列命题正确的是（ ） A如果| | |，那么 B如果 、 都是单位向量，那么 C如果 k （k0） ，那么 D如果 m0 或 ，那么 m 0 【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断 【解答】解：A向量是既有大小又有方向， | | |表示有向线段的长度， 表示长度相等，方向相同，
13、 所以 A 选项不正确； B长度等于 1 的向量是单位向量， 所以 B 选项不正确； C. k （k0） ， 第 8 页（共 28 页） 所以 C 选项正确； D如果 m0 或 ，那么 m 0，不正确 故选：C 【点评】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握向量的定义和要素 5 （4 分）已知在矩形 ABCD 中，AB5，对角线 AC13C 的半径长为 12，下列说法 正确的是（ ） AC 与直线 AB 相交 BC 与直线 AD 相切 C点 A 在C 上 D点 D 在C 内 【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可 【解答】解：在ABC 中，ACB90，AC13，AB5，
14、BC12， C 的半径长为 12， C 与直线 AB 相切， 故 A 选项不正确， CDAB512， C 与直线 AD 相交， 故 B 选项不正确， AC1312， 点 A 在C 外， 故 C 选项不正确， CD512， 点 D 在C 内， 故 D 选项正确， 故选：D 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及 点与圆的位置关系是解题的关键 6 （4 分）如果点 D、E，F 分别在ABC 的边 AB、BC，AC 上，联结 DE、EF，且 DE AC，那么下列说法错误的是（ ） A如果 EFAB，那么 AF：ACBD：AB 第 9 页（共 28 页） B如果
15、AD：ABCF：AC，那么 EFAB C如果EFCABC，那么 EFAB D如果 EFAB，那么EFCBDE 【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项 A 不符合题意；由平 行线分线段成比例定理和已知条件得出选项 B 不符合题意； 由相似三角形的性质得出 EF 与 AB 不平行，选项 C 符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项 D 不符 合题意；即可得出答案 【解答】解：如图所示： A、DEAC，EFAB， 四边形 ADEF 是平行四边形，BDEBAC， DEAF， AF：ACBD：AB；选项 A 不符合题意； B、DEAC， AD：ABCE：BC， AD：ABC
16、F：AC， CE：BCCF：AC， EFAB，选项 B 不符合题意； C、EFCABC， CFECBA， EF 与 AB 不平行，选项 C 符合题意； D、DEAC，EFAB， CBED，CEFB， EFCBDE，选项 D 不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性 质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 第 10 页（共 28 页） 二、填空胞（本大剧共二、填空胞（本大剧共 12 题每题题每题 4 分满分分满分 48 分） 【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答分） 【在答纸相应题号后的空格内宜接填
17、写答 案】案】 7 （4 分）计算：2（ 2 ）+3（ + ） 5 【分析】根据平面向量的加法法则计算即可 【解答】解： ：2（ 2 ）+3（ + ）2 4 +3 +3 5 ， 故答案为 5 【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 8 （4 分）如果，那么的值等于 3 【分析】直接利用已知得出 x，y 之间的关系进而得出答案 【解答】解：， 3x3y2x， 故 x3y 3 故答案为：3 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键 9 （4 分）已知点 P 在线段 AB 上，且满足 BP2ABAP，则的值等于 【分析】根据黄
18、金分割的定义： 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 BP（BPAP） ，且使 BP 是 AB 和 AP 的比例中项，叫做 把线段 AB 黄金分割，点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点 【解答】解：根据黄金分割定义可知： BP2ABAP， 设 AB 为 1，则 AP1BP， BP21 （1BP） BP2+BP10， 解得 BP（舍去） 第 11 页（共 28 页） BP 故答案为 【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义 10 （4 分）已知抛物线 y（1+a）x2的开口向上，则 a 的取值范围是 a1 【分析】利用二次函数的性质得到 1+a0，然后解关于 a 的不等式即可
19、 【解答】解：抛物线 y（1+a）x2的开口向上， 1+a0， a1 故答案为 a1 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向 和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口 11 （4 分）抛物线 y2x21 在 y 轴左侧的部分是 下降 （填“上升”或“下降” ） 【分析】抛物线 y2x21 的对称轴 x0，抛物线开口向上，所以在 y 轴左侧的部分 y 随 x 的增加而减小 【解答】解：抛物线 y2x21 的对称轴 x0，抛物线开口向上， 在对称轴左侧 y 随 x 的增加而减小， 故答案为下降 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；
20、熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关 键 12 （4 分）如果一条抛物线经过点 A（2，5） ，B（3，5） ，那么它的对称轴是直线 x 【分析】因为 A（2，5） ，B（3，5）的纵坐标相同，A、B 关于 x对称， 即可求抛物线的对称轴 【解答】解：因为 A（2，5） ，B（3，5）的纵坐标相同， A、B 关于 x对称， 抛物线的对称轴 x， 故答案为 x 第 12 页（共 28 页） 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关 键 13 （4 分）如图，传送带把物体从地面送到离地面 5 米高的地方，如果传送带与地面所成 的斜坡的坡度 i1：2.4，那么物
21、体所经过的路程 AB 为 13 米 【分析】根据坡度的概念求出 AC，根据勾股定理求出 AB 【解答】解：传送带与地面所成的斜坡的坡度 i1：2.4， ，即， 解得，AC12， 由勾股定理得，AB13， 故答案为：13 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高 度 h 和水平宽度 l 的比是解题的关键 14 （4 分）如图，AC 与 BE 交于点 D，AE90，若点 D 是线段 AC 的中点，且 ABAC10则 BE 的长等于 6 【分析】利用勾股定理求出 BD，再利用相似三角形的性质求出 DE 即可解决问题 【解答】解：ADDC5，AB10，A90， BD5
22、， ADBCDE，AE90， ABDECD， 第 13 页（共 28 页） ， ， DE， BEBD+DE6， 故答案为 6 【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，点 G 是重心，AC4，tanABG， 则 BG 的长是 【分析】延长 BG 交 AC 于 E易知 AH2，根据三角函数计算 AB 的长，由勾股定理可 得 BH 的长，由三角形重心的性质：三角形重心到顶点的距离是到对应中点距离的二倍， 可得结论 【解答】解：延长 BG 交 AC 于 H G 是ABC 的重心， AHAC
23、2， BAC90，tanABG， ， AB6， 由勾股定理得：BH2， G 是ABC 的重心， 第 14 页（共 28 页） BG2GH， BG； 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的定义，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中考常考题型 16 （4 分）已知相交两圆的半径长分别为 8 与 15，圆心距为 17，则这两圆的公共弦长为 【分析】根据相交两圆的性质，两圆的公共弦垂直于两圆心连接的直线上，又知两圆的 半径，进而可以在直角三角形中解得公共弦长 【解答】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中， 其三边分别为 8，15，17， 由于 172152+82， 这
24、个三角形是以 17 为斜边的直角三角形， 斜边上的高， 故公共弦长2， 故答案为 【点评】本题考查相交两圆的性质，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的 关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 17 （4 分）如果直线 l 把ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直 线 l 叫做ABC 的“完美分割线” ，已知在ABC 中，ABAC，ABC 的一条“完美分 割线”为直线 l，且直线 l 平行于 BC，若 AB2，则 BC 的长等于 44 【分析】设直线 l 与 AB、CD 分别交于点 E、D，由“完美分割线”的定义可知，SAED S四边形BCDE，设 AEADx，证A
25、EDABC，可求 x 的值，进一步可求出 BC 的长 【解答】解：如图，设直线 l 与 AB、CD 分别交于点 E、D， 则由“完美分割线”的定义可知，SAEDS四边形BCDE， ， 第 15 页（共 28 页） lBC， AEDABC， ， 设 AEADx， 则， x， BECD2， BC22（2）44 【点评】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够领悟新定义 的性质，并进行运用 18 （4 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC4，点 P 在边 BC 上，联结 AP， 将ABP 绕着点 A 旋转， 使得点 P 与边 AC 的中点 M 重合， 点 B 的对
26、应点是点 B， 则 BB的长等于 【分析】如图，延长 AB交 BC 于 E，过点 B作 BDAB 于点 D，由勾股定理可求 AC 的 长，由旋转的性质可求 APAM，PABCAE，ABAB2，通过证明ABP CBA，可得PABC，可得 CEAE，由勾股定理可求 CE，BE 的长，由相似三 角形的性质可求 BD，BD 的长，即可求解 【解答】解：如图，延长 AB交 BC 于 E，过点 B作 BDAB 于点 D， 第 16 页（共 28 页） ABC90，AB2，BC4， AC2， 点 M 是 AC 中点， AM， 将ABP 绕着点 A 旋转，使得点 P 与边 AC 的中点 M 重合， APAM，
27、PABCAE，ABAB2， AP2AB2+PB2， PB1， 2，且ABPABC90， ABPCBA， PABC， CCAE， CEAE， AE2AB2+BE2， CE24+（4CE）2， CEAE， BE， BDBC， ABDAEB， ， ， AD，BD， 第 17 页（共 28 页） BD， BB， 故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股 定理等知识，求出 CE 的长是本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相
28、应位 置上】置上】 19 （10 分）计算： 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案 【解答】解：原式 +1 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 20 （10 分）如图，在梯形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，ADEFBC，EF 与 BD 交于点 G，AD5，BC10， （1）求 EF 的长； （2）设 ， ，那么 ， + （用向量 、 表 示） 【分析】 （1）由平行线得出，BEGBAD，DFGDCB，得出 ，即，解得 EG3，GF4，即可得出答案； 第 18 页（共 28 页） （2）求出，得出+ ，得出+ + +，证出
29、 FCDC，得出（ +）+ 【解答】解： （1） ， ADEFBC， ，BEGBAD，DFGDCB， ， 即， 解得：EG3，GF4， EFEG+GF7； （2）AD5，BC10， ADBC， ADEFBC， ， + ， + + +， ， ， FCDC， （ +）+； 故答案为： ，+ 【点评】考查了相似三角形的判定与性质、平面向量和平行线分线段成比例定理等知识； 解答（2）题时，求出是解题的关键 21 （10 分）如图，已知 AB 是O 的弦，点 C 在O 上，且，联结 AO，CO，并 第 19 页（共 28 页） 延长 CO 交弦 AB 于点 D，AB4，CD6 （1）求OAB 的大小；
30、（2）若点 E 在O 上，BEAO，求 BE 的长 【分析】 （1）连接 OB，证 OD 垂直平分 AB，在 RtAOD 中通过解直角三角形可求出 OAB 的度数； （2）连接 OE，证OBE 是等边三角形，即可知 BE 的长度等于半径 【解答】解： （1）如图 1，连接 OB， ， AOCBOC， 180AOC180BOC， AODBOD， OAOB， OD 垂直平分 AB， ADBDAB2， 设O 的半径为 r，则 OD6r， 在 RtAOD 中，AO2AD2+OD2， r2（2）2+（6r）2， 解得，r4， cosOAD， OAD30， 即OAB30； （2）如图 2，连接 OE， 第
31、 20 页（共 28 页） 由（1）知，OAB30， OBOA， OBAOAB30， EBAO， EBDOAB30， EBOEBD+OBA60， OEOB， OEB 是等边三角形， BEr4 【点评】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是牢固掌握 并熟练运用圆的有关性质 22 （10 分）图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 OABC 表示支架，支 架的一部分 OAB 是固定的，另一部分 BC 是可旋转的，线段 CD 表示投影探头，OM 表示水平桌面，AOOM，垂足为点 O，且 AO7cm，BAO160，BCOM，CD 8cm 第 21 页（共 28 页）
32、 将图 2 中的 BC 绕点 B 向下旋转 45，使得 BCD 落在 BCD的位置（如图 3 所示） ， 此时 CDOM，ADOM，AD16cm，求点 B 到水平桌面 OM 的距离， （参考 数据：sin700.94，cos700.34，cot700.36，结果精确到 1cm） 【分析】过 B 作 BGOM 于 G，过 C作 CHBG 于 H，延长 DA 交 BG 于 E，则 CHDE，HECD8，设 AEx，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 B 作 BGOM 于 G， 过 C作 CHBG 于 H，延长 DA 交 BG 于 E， 则 CHDE，HECD8， 设 AEx， CHDE16+
33、x， BCH45， BHCH16+x， BE16+x+824+x， BAO160， BAE70， tan70， 解得：x13.5， BE37.5， BGBE+EGBE+AO37.5+744.545cm， 答：B 到水平桌面 OM 的距离为 45cm 第 22 页（共 28 页） 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系， 解题的关键是构造直角三角形 23 （12 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，AE 与 CD 交于点 F，若 AE 平分BAC，ABAFACAE （1）求证：AFDAEC； （2）若 EGCD，交边 AC 的延长线
34、于点 G，求证：CDCGFCBD 【分析】 （1）先证BAECAF，推出AEBAFC，由等角的补角相等可得出结论； （2）先后证明DCBCEG，GACFB，推出BDCGCE，由相似三角 形的性质可得出结论 【解答】 （1）证明：ABAFACAE， ， AE 平分BAC， BAECAE， BAECAF， AEBAFC， 180AEB180AFC， AECAFD； （2）证明：CFEAFDCEF， 第 23 页（共 28 页） CECF， DCEG， DCBCEG，GACFB， BDCGCE， ， CDCGFCBD 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的 判定
35、与性质 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+mx+n 经过点 B（6，1） ，C （5，0） ，且与 y 轴交于点 A （1）求抛物线的表达式及点 A 的坐标； （2） 点 P 是 y 轴右侧抛物线上的一点， 过点 P 作 PQOA， 交线段 OA 的延长线于点 Q， 如果PAB45求证：PQAACB； （3）若点 F 是线段 AB（不包含端点）上的一点，且点 F 关于 AC 的对称点 F恰好在 上述抛物线上，求 FF的长 【分析】 （1）将点 B、C 代入抛物线解析式 yx2+mx+n 即可； （2） 先证ABC 为直角三角形， 再证QAP+CAB90， 又
36、因AQPACB90， 即可证PQAACB； （3）做点 B 关于 AC 的对称点 B，求出 BB的坐标，直线 AB的解析式，即可求出点 F 的坐标，接着求直线 FF的解析式，求出其与 AB 的交点即可 【解答】解： （1）将 B（6，1） ，C（5，0）代入抛物线解析式 yx2+mx+n， 第 24 页（共 28 页） 得， 解得，m，n5， 则抛物线的解析式为：yx2x+5，点 A 坐标为（0，5） ； （2）AC5，BC，AB2， AC2+BC2AB2， ABC 为直角三角形，且ACB90， 当PAB45时，点 P 只能在点 B 右侧，过点 P 作 PQy 轴于点 Q， QAB+OAB18
37、0PAB135， QAP+CAB135OAC90， QAP+QPA90， QPACAB， 又AQPACB90， PQAACB； （3）做点 B 关于 AC 的对称点 B，则 A，F，B三点共线， 由于 ACBC，根据对称性知点 B（4，1） ， 将 B（4，1）代入直线 ykx+5， k， yABx+5， 联立， 解得，x1，x20（舍去） ， 则 F（，） ， 将 B（6，1） ，B（4，1）代入直线 ymx+n， 第 25 页（共 28 页） 得， 解得，k1，b5， yBBx5， 由题意知，kFFKBB， 设 yFFx+b， 将点 F（，）代入， 得，b， yFFx， 联立， 解得，x，
38、y， F（，） ， 则 FF 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐 标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用 第 26 页（共 28 页） 25 （14 分）如图，已知在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，点 P、Q 分别在边 AC、射线 CB 上，且 APCQ，过点 P 作 PMAB，垂足为点 M，联结 PQ，以 PM、PQ 为邻边作平行四边形 PQNM，设 APx，平行四边形 PQNM 的面积为 y （1）当平行四边形 PQNM 为矩形时，求PQM 的正切值； （2）当点 N 在ABC 内，求 y 关于 x 的函数解析式，并写
39、出它的定义域； （3）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过平行四边形 PQNM 一边的中点时，直接写出 x 的值 【分析】 （1）当四边形 PQMN 是矩形时，PQAB根据 tanPQM求解即可 （2）如图 1 中，延长 QN 交 AB 于 K求出 MK，PM，根据 yPMMK 求解即可 （3）分两种情形：如图 31 中，当平分 MN 时，D 为 MN 的中点，作 NEBC 交 PQ 于 E， 作 NHCB 交 CB 的延长线于 H， EGBC 于 G 根据 EGPC 构建方程求解 如图 32 中，当平分 NQ 时，D 是 NQ 的中点，作 DHCB 交 CB 的延长线于 H根据 PCGH
40、构建方程求解即可 【解答】解： （1）在 RtACB 中，C90，AC8，BC6， AB10， 当四边形 PQMN 是矩形时，PQAB tanPQM （2）如图 1 中，延长 QN 交 AB 于 K 第 27 页（共 28 页） 由题意 BQ6x， QNPMx， AMx， KQBQ， BKBQ， MKABAMBK， QNQK， x， x， yPMMK（0x） （3）如图 31 中，当平分 MN 时，D 为 MN 的中点，作 NEBC 交 PQ 于 E，作 NH CB 交 CB 的延长线于 H，EGBC 于 G PDBC，ENBC， PDNE， PEDN， 四边形 PDNE 是平行四边形， PEDN， DNDM，PQMN， 第 28 页（共 28 页） PEEQ， EGPC， CGGQ， EGPC， 四边形 EGHN 是矩形， NHEGNQPMx，PC8x， x （8x） ， 解得 x 如图 32 中，当平分 NQ 时，D 是 NQ 的中点，作 DHCB 交 CB 的延长线于 H DHPC， 8xx， 解得 x， 综上所述，满足条件 x 的值为或 【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解 题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解 决问题，属于中考压轴题
