1、河北省河北省 2020 年年 5 月高三理科数学模拟试卷月高三理科数学模拟试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1已知集合 Mx|x3，Nx|3，则（ ） AMN BNM CN（RM）x|3x9 DMRN 2已知 aR，复数2: 1; + 1 1:为纯虚数，则 a（ ） A3 B3 C2 D2 3设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a4+a52a3+7，则 S7（ ） A63 B49 C35 D15 4若 x
2、，y 满足约束条件 4 5 + 20 0 4 + 5 + 20 0 0 ，则 z2x+3y1 的最大值为（ ） A13 B13 C11 D11 5古代数学名著九章算术中记载： “今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八 尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除，即三个面是等腰梯形，两侧面是直角三角形的 五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除，又有所不同如图所示，ABCD 是 一个矩形，ABEF 和 CDFE 都是等腰梯形，且平面 ABCD平面 ABEF，AB30，BC 10，EF50，BE26则这个灰斗的体积是（ ） A3600 B4000 C4400 D4800 6中兴、华为事件暴露了我
3、国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件 的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某 调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布 的饼形图和“90 后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是 （ ） A芯片、软件行业从业者中， “90 后”占总人数的比例超过 50% B芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90 后”人数超过总人数的 25% C芯片、软件行业从事技术岗位的人中， “90 后”比“80 后”多 D芯片、软件行业中， “90 后”从事市场岗位的人数比“80 前“的总人数多 7函数 f（
4、x）= 1 2 （x2+cosx|x2cosx|）的大致图象是（ ） A B C D 8随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预 防措施的错误说法， 为了辟谣并宣讲正确的预防措施， 某社区拟从 5 名男志愿宣讲员和 3 名女志愿宣讲员中任选 3 人，参加本社区的宣讲服务，则选中的 3 人中至少有 2 名女宣 讲员的选法共有（ ） A12 种 B14 种 C16 种 D32 种 9已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD，且BCF 是等边三角形，则异面直 线 AC 和 DF 所成角的余弦值为（ ） A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 10
5、已知函数 f（x）= 3sin +cos （0） ，如果存在实数 x0，使得对任意的实数 x， 都有 f（x02020）f（x）f（x0）成立，则 的最大值为（ ） A2020 B4040 C1010 D2020 3 11已知定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（2x） ，导函数为 f（x） 当 x1 时，2f（x）+（x1）f（x）0，且 f（1）= 3 2，则不等式 f（x）6（x1） 2 的 解集为（ ） A （1，1）（1，4） B （1，1）（1，3） C （ 1 2，1）（1，2） D （ 1 2，1）（1， 3 2） 12已知 F1（c，0） ，F2（c，0）分别为
6、双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右 焦点，直线 l： + =1 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交于 T（ 5c，0） ，则 C 的离心率为（ ） A 6 2 B2 C3 D 5 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知an为递增的等比数列，a23，a3+a436，则此数列的公比 q 14已知非零向量 ， 满足|2 | 3 |，且| |5| |，则与 的夹角为 15已知函数 f（x）x24x+3n若对任意 nN*，f
7、（x）0 在m，+）上恒成立，则实数 m 的取值范围是 16直线 l 过抛物线 C：y24x 的焦点 F 且与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，则 y1y2 过 A，B 两点分别作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为 P，Q，准线与 x 轴的交点为 M，四边形 FAPM 的面积记为 S1，四边形 FBQM 的面积记为 S2，则 S1S2 3|AF|BF| 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答第每道试题考生都必须作答
8、第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinB+3bcosA+abcosC+ccosB （1）求 A； （2）若 a= 3，点 D 在 BC 上，且 ADAC，当ABC 的周长取得最大值时，求 BD 的 长 182020 年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调 查结果对相应学生提出针对性学习建议现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随 机选取 30，45，75 人，然后再从这些学生中抽取 10 人，进行学情调查 （1）
9、若采用分层抽样抽取 10 人，分别求高一、高二、高三应抽取的人数 （2）若被抽取的 10 人中，有 6 人每天学时超过 7 小时，有 4 人每天学时不足 4 小时， 现从这 10 人中，再随机抽取 4 人做进一步调查 （i） 记事件 A 为 “被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时” ， 求事件 A 发生的概率； （ii）用 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数，求随机变量 的分布列和数学期 望 19在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是一个菱形，且ABC= 3，AB2，PA 平面 ABCD （1）若 Q 是线段 PC 上的任意一点，证明：平面 PAC平面 Q
10、BD （2）当平面 PBC 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为4 5时，求 PA 的长 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F，离心率为 3 3 ，且有 3a24b2+1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 M 作直线 x3 的垂线，垂足为点 P，证明直线 NP 经过定点，并求出这个定点的坐标 21已知函数 f（x）= (1+) +1 + 1 +1（a0） （1）证明：当 x1，+）时，f（x）1 （2）当 0a1 时，对于任意的 x（0，+） ，f（x）m，求整数 m 的最大值 （二）选考题：共
11、（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 = 2 2 = 2 （t 为参数） ，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （3cos+sin） 8 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若射线 m 的极坐标方程为 = 6（0） ，设 m 与 C 相交于点 M（非坐标原点） ，m 与 l 相交于点 N，点 P（
12、6，0） ，求PMN 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）2|x+2|+|x3| （1）求不等式 f（x）8 的解集； （2） 若a0， b0， 且函数F （x） f （x） 3a2b有唯一零点x0， 证明： 9 2: + 4 : f （x0） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1已知集合 Mx|x3，Nx|3，则（ ） AMN BNM 来源:学科网 CN（RM）x|3x9 DMRN 由
13、集合 M，N 算出补集RMx|x3，RNx|x0 或 x9，再判断其包含关系和求 交集 因为集合 Mx|x3，Nx|3x|0x9RMx|x3，RNx|x0 或 x9， NRMx|3x9， 故选：C 本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，比较基础 2已知 aR，复数2: 1; + 1 1:为纯虚数，则 a（ ） A3 B3 C2 D2 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 2: 1; + 1 1: = 3;:(:1) 2 为纯虚数， 3 = 0 + 1 0，解得 a3 故选：A 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是
14、基础题 3设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a4+a52a3+7，则 S7（ ） A63 B49 C35 D15 a1+a4+a52a3+7，可得 a47，于是 S77a4 a1+a4+a52a3+7， a47， 则 S77a47749 故选：B 本题考查了数列通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 4若 x，y 满足约束条件 4 5 + 20 0 4 + 5 + 20 0 0 ，则 z2x+3y1 的最大值为（ ） A13 B13 C11 D11 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最 优解的坐标代入目标函数得答
15、案 由 x，y 满足约束条件 4 5 + 20 0 4 + 5 + 20 0 0 ，作出可行域如图， A（5，0） B（0，4） ， 由图可知，当 z2x+3y1 过 B 时，z 有最大值为 11 故选：D 本题考查线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 5古代数学名著九章算术中记载： “今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八 尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除，即三个面是等腰梯形，两侧面是直角三角形的 五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除，又有所不同如图所示，ABCD 是 一个矩形，ABEF 和 CDFE 都是等腰梯形，且平面 ABCD平面 ABEF，AB30，BC 1
16、0，EF50，BE26则这个灰斗的体积是（ ） A3600 B4000 C4400 D4800 分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足为 M，N，连接 DM，CN，则 FMEN10，又 BE AF26，可得 AMBN24，把多面体体积转化为棱柱与棱锥体积求解 分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足为 M，N，连接 DM，CN，则 FMEN10， 又 BEAF26，AMBN24， 多面体 ADMBCN 为三棱柱，体积为 2 = 1024 2 30 = 3600 三棱锥 DAFM 的体积为1 3 2 AD= 1 3 1024 2 10 = 400 这个灰斗的体积是 3600+24004400
17、故选：C 本题考查数学文化与几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题 6中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件 的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某 调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布 的饼形图和“90 后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是 （ ） A芯片、软件行业从业者中， “90 后”占总人数的比例超过 50% B芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90 后”人数超过总人数的 25% C芯片、软件行业从事技术岗位的人中， “90 后”
18、比“80 后”多 D芯片、软件行业中， “90 后”从事市场岗位的人数比“80 前“的总人数多 根据图表，整合数据，判断选项 对于选项 A，芯片，软件行业从业者中 90 后占总人数的 55%，故连项 A 正确； 对于选项 B，芯片，软件行业中从事技术、设计岗位的 90 后占总人数的（37%+12.6%） 55%27.28%，故选项 B 正确； 对于选项 C， 芯心， 软件行业中从事技术岗位的 90 后 占总人数的 37%55%20.35%， “80 后“占总人数的 40%、 但从从事技术的 80 后 “占总人数的百分比不知道， 无法确定二者人数多少， 战选项 C 错； 对于选项 D， 芯片软件
19、行业中从事市场岗位的 90 后占总人数的 14.4%55%7.92%、“80 前“占总人数的 5%，故选项 D 正确， 故选：C 本题考查根据图表进行简单的合情推理，属于基础题 7函数 f（x）= 1 2（x 2+cosx|x2cosx|）的大致图象是（ ） A B C D 将函数化为分段函数的形式，再结合选项直接判断即可 因为() = 1 2 (2+ |2 |) = ， 2 2，2 ， 故选：B 本题考查函数的图象，考查识图能力与推理论证能力，属于基础题 8随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预 防措施的错误说法， 为了辟谣并宣讲正确的预防措施， 某社区
20、拟从 5 名男志愿宣讲员和 3 名女志愿宣讲员中任选 3 人，参加本社区的宣讲服务，则选中的 3 人中至少有 2 名女宣 讲员的选法共有（ ） A12 种 B14 种 C16 种 D32 种 根据题意，分 2 种情况讨论：选出的宣讲员中有 3 名女宣讲员，选出的宣讲员中有 2 名女宣讲员和 1 名男宣讲员，由加法原理计算可得答案 根据题意，分 2 种情况讨论： 选出的宣讲员中有 3 名女宣讲员，有 C331 种选法， 选出的宣讲员中有 2 名女宣讲员和 1 名男宣讲员，有 C51C3215 种选法， 则一共有 1+1516 种选法， 故选：C 本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，
21、属于基础题 9已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD，且BCF 是等边三角形，则异面直 线 AC 和 DF 所成角的余弦值为（ ） A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 取 CD 的中点 M，CF 的中点 N， 连接 MN，可得 MNDF延长 BC 到 P， 使 CP= 1 2BC， 连接 MP，NP异面直线 AC 和 DF 所成角为NMP，NMP 中，利用余弦定理即可得 出 取 CD 的中点 M，CF 的中点 N，连接 MN，则 MNDF延长 BC 到 P，使 CP= 1 2BC， 连接 MP，NP，则 MPAC令 AB2，则 MPMN= 2， 又BCF 是等边三角形，
22、NCPC1，由余弦定理可得：NP= 3， 异面直线 AC 和 DF 所成角为NMP，cosNMP= 2+23 222 = 1 4 故选：B 本题考查了异面直线所成的角、余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 10已知函数 f（x）= 3sin +cos （0） ，如果存在实数 x0，使得对任意的实数 x， 都有 f（x02020）f（x）f（x0）成立，则 的最大值为（ ） A2020 B4040 C1010 D2020 3 利用辅助角公式对函数化解可得 f（x）= 3sin +cos =2sin（ x+ 6） ，由对任意的 实数 x，都有 f（x02020）f（x
23、）f（x0）成立可得，两端点值分别为函数的最小值 和最大值，要使得 最大，只要周期 T= 2 =2 最大，当 2 =2020，周期最大，代入 可求得结果 利用辅助角公式对函数化解可得 f（x）= 3sin +cos =2sin（ x+ 6） ， 由对任意的实数 x，对任意的实数 x，都有 f（x02020）f（x）f（x0）成立； 可得 f（x0） ，f（x02020） ，分别为函数的最大值和最小值， 要使得 最大，只要周期 T= 2 =2 最大， 当 2 =2020 即 T40402，周期最大，此时 2020； 故选：A 本题目主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，三角函数的性质的应用，周期
24、公式的 应用，解题的关键是根据条件求得函数的最小值和最大值，属于中档题 11已知定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（2x） ，导函数为 f（x） 当 x1 时，2f（x）+（x1）f（x）0，且 f（1）= 3 2，则不等式 f（x）6（x1） 2 的 解集为（ ） A （1，1）（1，4） B （1，1）（1，3） C （ 1 2，1）（1，2） D （ 1 2，1）（1， 3 2） 利用已知条件，结合函数的性质，构造函数 g（x） ，通过函数的导数判断函数的单调性， 然后转化求解即可 定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（2x） ，导函数为 f（x） 当 x1
25、 时，2f（x）+（x1）f（x）0，且 f（1）= 3 2， 令 g（x）（x1）2f（x） ，则 g（x）2（x1）f（x）+（x）2f（x）（x1） 2f（x）+（x1）f（x）， 所以当 x1 时，g（x）0，且 g（1）g（3）6， 结合函数的图象，可知不等式 f（x）6（x1） 2 的解集为（1，1）（1，3） 故选：B 本题考查函数的导数的综合应用， 考查数形结合以及转化与化归思想的应用， 是中档题 12已知 F1（c，0） ，F2（c，0）分别为双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右 焦点，直线 l： + =1 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平
26、分线与 x 轴交于 T（ 5c，0） ，则 C 的离心率为（ ） A 6 2 B2 C3 D 5 2 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，线段 MN 的中点为 S（x0，y0） ，运用点满足双曲线方程， 作差，结合中点坐标公式和平方差公式，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件，以 及双曲线的离心率公式，计算可得所求值 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，线段 MN 的中点为 S（x0，y0） ， 联立方程组 212 212= 22 222 222= 22， 两式相减可得 b2（x12x22）a2（y12y22） ， 可得 b2（x1x2） （x1+x2）a2（y1y2） （y1
27、+y2） ， 可得 2b2（x1x2）x02a2（y1y2）y0， 所以 kMN= = 12 12 = 20 20，即 0 0 = 2 2（1） ， 由 kMNkST1，可得 0 0:5 = 1（2） ， 由（1） （2）可得 x0= 52 ，y05b，即 S（ 52 ，5b） ，又 S 在直线 l 上， 所以 52 2 +51， 解得 e= = 5 2 故选：D 本题考查双曲线的方程和性质，考查点差法和方程思想、运算求解能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 1
28、3已知an为递增的等比数列，a23，a3+a436，则此数列的公比 q 3 利用等比数列的通项公式列出方程，能求出此数列的公比 an为递增的等比数列，a23，a3+a436， 3q+3q236，且 q0， 解得此数列的公比 q3 故答案为：3 本题考查等比数列的公比的求法， 考查等比数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力， 是基础题 14已知非零向量 ， 满足|2 | 3 |，且| |5| |，则与 的夹角为 3 根据题意，设 与 的夹角为 ，由|2 | 3 |，整理变形可得 522 ，又由| | 5| |，由数量积的计算公式可得 cos= | | |= 5 2 2 5| |2= 1 2，据
29、此分析可得答案 根据题意，设 与 的夹角为 ，0， 若|2 | 3 |，则有（2 ）2（ 3 ）2，变形可得：424 + 2 9 2 6 + 2 ， 化简可得：5 22 ， 又由| |5| |，则 cos= | | |= 5 2 2 5| |2= 1 2， 则 = 3； 故答案为： 3 本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的运算律，属于基础题 15已知函数 f（x）x24x+3n若对任意 nN*，f（x）0 在m，+）上恒成立，则实数 m 的取值范围是 3，+） 由题意可得 x24x3n，求得3n3，所以 x24x3，由二次不等式的解法可 得 x 的范围，进而得到 m 的范围 若对任意 n
30、N*，f（x）0 在m，+）上恒成立， 可得 x24x3n， 对任意 nN*，都有3n3，当 n1 时取得等号， 所以 x24x3，即 x1 或 x3， 由题意可得m，+）3，+） ，从而 m3， 故答案为：3，+） 本题考查函数的单调性以及恒成立问题解法，考查化归与转化思想和运算求解能力，属 于中档题 16直线 l 过抛物线 C：y24x 的焦点 F 且与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，则 y1y2 4 过 A，B 两点分别作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为 P，Q，准线与 x 轴的交点为 M，四边形 FAPM 的面积记为 S1，四边形 FBQM 的面积记为 S2，
31、则 S1S2 3|AF|BF| 4 先设直线 l： xay+1， 由 = + 1 2= 4 ， 联立可得 y1y2与 y1+y2， 再计算 S1， S2， |AF1|， |BF2|， 从而求出结果 如右图所示，直线 l 过抛物线 C：y24x 的焦点 F（1，0）且与 C 交于 A（x1，y1） ， B（x2，y2）两点，设直线 l：xay+1，由 = + 1 2= 4 联立可得： y24ay40，1 + 2= 4 12= 4 S1= 1 2（x1+3） |y1|，S2= 1 2（x2+3）|y2|， S1S2= 1 4|y1y2|（x1+3） （x2+3）（ay1+4） （ay2+4）16+
32、12a 2， 又|AF|BF|（x1+1） （x2+1）（ay1+2） （ay2+2）4+4a2， S1S23|AF|BF4 故填：4，4 本题主要考查直线与抛物线的综合，考查了计算能力，属于基础题 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答第每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
33、且 asinB+3bcosA+abcosC+ccosB （1）求 A； （2）若 a= 3，点 D 在 BC 上，且 ADAC，当ABC 的周长取得最大值时，求 BD 的 长 （1）利用正弦定理边化角可得 + 3 = 0，进而求得 = 3， = 2 3 ； （2）利用余弦定理可得 3（b+c）2bc，进而利用基本不等式可知 b+c2，由此得出 此时ABC 的周长取得最大值2 + 3， = 6，进而求得 BD 的长 （1） + 3 + = + ， + 3 + = + ， 整理可得， + 3 = 0， sinB0， = 3， 又 A（0，） ， = 2 3 ； （2）由（1）及 = 3，知 3b2
34、+c2+bc， 3（b+c）2bc，从而( + )2 3 = (+ 2 )2， b+c2， 当且仅当 bc1 时取等号， 即ABC 的周长取得最大值2 + 3， 此时 = 6， ADAC， = 6， 又 b1， = 23 3 ， = = 3 3 本题涉及了正余弦定理，三角恒等变换，基本不等式等基础知识点，考查计算能力，属 于中档题 182020 年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调 查结果对相应学生提出针对性学习建议现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随 机选取 30，45，75 人，然后再从这些学生中抽取 10 人，进行学情调查 （1）若采用分层抽样抽取
35、10 人，分别求高一、高二、高三应抽取的人数 （2）若被抽取的 10 人中，有 6 人每天学时超过 7 小时，有 4 人每天学时不足 4 小时， 现从这 10 人中，再随机抽取 4 人做进一步调查 （i） 记事件 A 为 “被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时” ， 求事件 A 发生的概率； （ii）用 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数，求随机变量 的分布列和数学期 望 （1）总数为 30+45+75150，从这些学生中抽取 10 人，根据分层抽样法求出高一、高 二、高三应抽取的人数即可； （2） （i）记事件 A 为“被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4
36、小时” ，记事件 B 为“被 抽取的 4 人中恰有 1 人学时不足 4 小时” ， 记事件 C 为 “被抽取的 4 人中恰有 0 人学时不 足 4 小时” ， 则由 P（A）P（BC）P（B）+P（C） ，求出概率即可； （ii）随机变量 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数，则 0，1，2，3，4，求 出随机变量 的分布列和数学期望即可 （1） 从本校高一、 高二、 高三三个年级中分别随机选取 30， 45， 75 人， 30+45+75150， 从这些学生中抽取 10 人， 根据分层抽样法， 高一应抽取 10 30 150 =2 人， 高二应抽取 10 45 150 = 3人，高
37、三应抽取 10 75 150 = 5人， 故高一、高二、高三应抽取的人数分别为 2 人，3 人，5 人； （2） （i）记事件 A 为“被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时” ，记事件 B 为“被 抽取的 4 人中恰有 1 人学时不足 4 小时” ， 记事件 C 为 “被抽取的 4 人中恰有 0 人学时不 足 4 小时” ， 则 P（A）P（BC）P（B）+P（C）= 4 1 6 3 10 4 + 4 0 6 4 10 4 = 19 42； 来源:学科网 ZXXK （ii）随机变量 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数，则 0，1，2，3，4， 则( = 0) = 4
38、0 6 1 10 4 = 1 14， ( = 1) = 4 1 6 3 10 4 = 8 21， ( = 2) = 4 2 6 2 10 4 = 3 7， ( = 3) = 4 3 6 1 10 4 = 4 35， ( = 4) = 4 4 10 4 = 1 210， 随机变量 的分布列如下： 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 E= 0 1 14 + 1 8 21 + 2 3 7 + 3 4 35 + 4 1 210 = 8 5 本题考查了分层抽样，离散型随机变量求分布列和数学期望，还考查了互斥事件求概率 等，考查运算能力，中档题 19在四棱锥 PABC
39、D 中，底面四边形 ABCD 是一个菱形，且ABC= 3，AB2，PA 平面 ABCD （1）若 Q 是线段 PC 上的任意一点，证明：平面 PAC平面 QBD （2）当平面 PBC 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为4 5时，求 PA 的长 （1）先证明 BD平面 PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设 P（0，1，a） （a0） ，求出平面 PBC 与平面 PDC 的法 向量，利用向量夹角公式建立关于 a 的方程，解出即可 （1）证明：四边形 ABCD 是一个菱形， ACBD， 又 PA平面 ABCD， PABD， 又 ACPAA，则 BD平面 PAC
40、， BD 在平面 QBD 内， 平面 PAC平面 QBD； （2）设 AC，BD 交于点 O，分别以 OB，OC 所在直线为 x 轴，y 轴，以平行于 AP 的直 线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(3，0，0)，(0，1，0)，( 3，0，0)，设 P（0，1，a） （a0） ，则 = (3， 1，0)， = (0， 2，)， 设平面 PBC 的一个法向量为 = (，)，则 = 3 = 0 = 2 + = 0 ，可取 = (，3，23)， 同理可求平面 PDC 的一个法向量为 = (，3，23)， | ，| = | | | = 2+32+12 (42+12)2 = 4 5，解得
41、a 22， = 2 本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题， 考查推理能力及计算能力， 属于中档题 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F，离心率为 3 3 ，且有 3a24b2+1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 M 作直线 x3 的垂线，垂足为点 P，证明直线 NP 经过定点，并求出这个定点的坐标 （1）运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，结合条件，解方程可得 a，b，进而得到 椭圆方程； （2）求得 F 的坐标，讨论直线 l 不与 x 轴重合，设出直线 l 的方程，联立椭
42、圆方程，运 用韦达定理和直线恒过定点的求法，可得所求定点；讨论当直线 l 与 x 轴重合也成立 （1）由 e= = 3 3 ，所以 2 2 =1 2 2 =1 1 3 = 2 3， 联立方程组3 2 = 22 32= 42+ 1，解得 a 23，b22， 所以椭圆的方程为 2 3 + 2 2 =1；来源:学,科,网 （2）证明：由（1）可得 F（1，0） ， 当直线 l 不与 x 轴重合时，设直线 l 的方程为 xmy+1， 联立椭圆方程 2x2+3y26，消去 x 可得（3+2m2）y2+4my40， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，可得 y1+y2= 4 3+22，y1y2= 4 3+22， 且点 P（3，y1） ，则 NP 的方程为（x23）y（y2y1） （x3）+y1（x23） ，又 x
