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河北省2020年5月高三理科数学模拟试卷(含答案解析)

1、河北省河北省 2020 年年 5 月高三理科数学模拟试卷月高三理科数学模拟试卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1已知集合 Mx|x3,Nx|3,则( ) AMN BNM CN(RM)x|3x9 DMRN 2已知 aR,复数2: 1; + 1 1:为纯虚数,则 a( ) A3 B3 C2 D2 3设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1+a4+a52a3+7,则 S7( ) A63 B49 C35 D15 4若 x

2、,y 满足约束条件 4 5 + 20 0 4 + 5 + 20 0 0 ,则 z2x+3y1 的最大值为( ) A13 B13 C11 D11 5古代数学名著九章算术中记载: “今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八 尺,无深,袤七尺,问积几何?”羡除,即三个面是等腰梯形,两侧面是直角三角形的 五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除,又有所不同如图所示,ABCD 是 一个矩形,ABEF 和 CDFE 都是等腰梯形,且平面 ABCD平面 ABEF,AB30,BC 10,EF50,BE26则这个灰斗的体积是( ) A3600 B4000 C4400 D4800 6中兴、华为事件暴露了我

3、国计算机行业中芯片、软件两大短板,为防止“卡脖子”事件 的再发生,科技专业人才就成了决胜的关键为了解我国在芯片、软件方面的潜力,某 调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计,得到了这两个行业从业者的年龄分布 的饼形图和“90 后”从事这两个行业的岗位分布雷达图,则下列说法中不一定正确的是 ( ) A芯片、软件行业从业者中, “90 后”占总人数的比例超过 50% B芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90 后”人数超过总人数的 25% C芯片、软件行业从事技术岗位的人中, “90 后”比“80 后”多 D芯片、软件行业中, “90 后”从事市场岗位的人数比“80 前“的总人数多 7函数 f(

4、x)= 1 2 (x2+cosx|x2cosx|)的大致图象是( ) A B C D 8随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展,网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预 防措施的错误说法, 为了辟谣并宣讲正确的预防措施, 某社区拟从 5 名男志愿宣讲员和 3 名女志愿宣讲员中任选 3 人,参加本社区的宣讲服务,则选中的 3 人中至少有 2 名女宣 讲员的选法共有( ) A12 种 B14 种 C16 种 D32 种 9已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD,且BCF 是等边三角形,则异面直 线 AC 和 DF 所成角的余弦值为( ) A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 10

5、已知函数 f(x)= 3sin +cos (0) ,如果存在实数 x0,使得对任意的实数 x, 都有 f(x02020)f(x)f(x0)成立,则 的最大值为( ) A2020 B4040 C1010 D2020 3 11已知定义在 R 上的连续函数 f(x)满足 f(x)f(2x) ,导函数为 f(x) 当 x1 时,2f(x)+(x1)f(x)0,且 f(1)= 3 2,则不等式 f(x)6(x1) 2 的 解集为( ) A (1,1)(1,4) B (1,1)(1,3) C ( 1 2,1)(1,2) D ( 1 2,1)(1, 3 2) 12已知 F1(c,0) ,F2(c,0)分别为

6、双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的左、右 焦点,直线 l: + =1 与 C 交于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交于 T( 5c,0) ,则 C 的离心率为( ) A 6 2 B2 C3 D 5 2 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知an为递增的等比数列,a23,a3+a436,则此数列的公比 q 14已知非零向量 , 满足|2 | 3 |,且| |5| |,则与 的夹角为 15已知函数 f(x)x24x+3n若对任意 nN*,f

7、(x)0 在m,+)上恒成立,则实数 m 的取值范围是 16直线 l 过抛物线 C:y24x 的焦点 F 且与 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,则 y1y2 过 A,B 两点分别作抛物线 C 的准线的垂线,垂足分别为 P,Q,准线与 x 轴的交点为 M,四边形 FAPM 的面积记为 S1,四边形 FBQM 的面积记为 S2,则 S1S2 3|AF|BF| 三、 解答题: 共三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每道试题考生都必须作答第每道试题考生都必须作答

8、第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分 17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asinB+3bcosA+abcosC+ccosB (1)求 A; (2)若 a= 3,点 D 在 BC 上,且 ADAC,当ABC 的周长取得最大值时,求 BD 的 长 182020 年寒假期间,某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况,并将依据调 查结果对相应学生提出针对性学习建议现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随 机选取 30,45,75 人,然后再从这些学生中抽取 10 人,进行学情调查 (1)

9、若采用分层抽样抽取 10 人,分别求高一、高二、高三应抽取的人数 (2)若被抽取的 10 人中,有 6 人每天学时超过 7 小时,有 4 人每天学时不足 4 小时, 现从这 10 人中,再随机抽取 4 人做进一步调查 (i) 记事件 A 为 “被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时” , 求事件 A 发生的概率; (ii)用 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数,求随机变量 的分布列和数学期 望 19在四棱锥 PABCD 中,底面四边形 ABCD 是一个菱形,且ABC= 3,AB2,PA 平面 ABCD (1)若 Q 是线段 PC 上的任意一点,证明:平面 PAC平面 Q

10、BD (2)当平面 PBC 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为4 5时,求 PA 的长 20已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的右焦点为 F,离心率为 3 3 ,且有 3a24b2+1 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,过点 M 作直线 x3 的垂线,垂足为点 P,证明直线 NP 经过定点,并求出这个定点的坐标 21已知函数 f(x)= (1+) +1 + 1 +1(a0) (1)证明:当 x1,+)时,f(x)1 (2)当 0a1 时,对于任意的 x(0,+) ,f(x)m,求整数 m 的最大值 (二)选考题:共

11、(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一如果多做,则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为 = 2 2 = 2 (t 为参数) ,以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (3cos+sin) 8 (1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程; (2)若射线 m 的极坐标方程为 = 6(0) ,设 m 与 C 相交于点 M(非坐标原点) ,m 与 l 相交于点 N,点 P(

12、6,0) ,求PMN 的面积 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)2|x+2|+|x3| (1)求不等式 f(x)8 的解集; (2) 若a0, b0, 且函数F (x) f (x) 3a2b有唯一零点x0, 证明: 9 2: + 4 : f (x0) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1已知集合 Mx|x3,Nx|3,则( ) AMN BNM 来源:学科网 CN(RM)x|3x9 DMRN 由

13、集合 M,N 算出补集RMx|x3,RNx|x0 或 x9,再判断其包含关系和求 交集 因为集合 Mx|x3,Nx|3x|0x9RMx|x3,RNx|x0 或 x9, NRMx|3x9, 故选:C 本题考查的知识点是集合的交集,补集运算,集合的包含关系判断及应用,比较基础 2已知 aR,复数2: 1; + 1 1:为纯虚数,则 a( ) A3 B3 C2 D2 利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 2: 1; + 1 1: = 3;:(:1) 2 为纯虚数, 3 = 0 + 1 0,解得 a3 故选:A 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是

14、基础题 3设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1+a4+a52a3+7,则 S7( ) A63 B49 C35 D15 a1+a4+a52a3+7,可得 a47,于是 S77a4 a1+a4+a52a3+7, a47, 则 S77a47749 故选:B 本题考查了数列通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题 4若 x,y 满足约束条件 4 5 + 20 0 4 + 5 + 20 0 0 ,则 z2x+3y1 的最大值为( ) A13 B13 C11 D11 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最 优解的坐标代入目标函数得答

15、案 由 x,y 满足约束条件 4 5 + 20 0 4 + 5 + 20 0 0 ,作出可行域如图, A(5,0) B(0,4) , 由图可知,当 z2x+3y1 过 B 时,z 有最大值为 11 故选:D 本题考查线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题 5古代数学名著九章算术中记载: “今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八 尺,无深,袤七尺,问积几何?”羡除,即三个面是等腰梯形,两侧面是直角三角形的 五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除,又有所不同如图所示,ABCD 是 一个矩形,ABEF 和 CDFE 都是等腰梯形,且平面 ABCD平面 ABEF,AB30,BC 1

16、0,EF50,BE26则这个灰斗的体积是( ) A3600 B4000 C4400 D4800 分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足为 M,N,连接 DM,CN,则 FMEN10,又 BE AF26,可得 AMBN24,把多面体体积转化为棱柱与棱锥体积求解 分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足为 M,N,连接 DM,CN,则 FMEN10, 又 BEAF26,AMBN24, 多面体 ADMBCN 为三棱柱,体积为 2 = 1024 2 30 = 3600 三棱锥 DAFM 的体积为1 3 2 AD= 1 3 1024 2 10 = 400 这个灰斗的体积是 3600+24004400

17、故选:C 本题考查数学文化与几何体的体积,考查空间想象能力和运算求解能力,是中档题 6中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板,为防止“卡脖子”事件 的再发生,科技专业人才就成了决胜的关键为了解我国在芯片、软件方面的潜力,某 调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计,得到了这两个行业从业者的年龄分布 的饼形图和“90 后”从事这两个行业的岗位分布雷达图,则下列说法中不一定正确的是 ( ) A芯片、软件行业从业者中, “90 后”占总人数的比例超过 50% B芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90 后”人数超过总人数的 25% C芯片、软件行业从事技术岗位的人中, “90 后”

18、比“80 后”多 D芯片、软件行业中, “90 后”从事市场岗位的人数比“80 前“的总人数多 根据图表,整合数据,判断选项 对于选项 A,芯片,软件行业从业者中 90 后占总人数的 55%,故连项 A 正确; 对于选项 B,芯片,软件行业中从事技术、设计岗位的 90 后占总人数的(37%+12.6%) 55%27.28%,故选项 B 正确; 对于选项 C, 芯心, 软件行业中从事技术岗位的 90 后 占总人数的 37%55%20.35%, “80 后“占总人数的 40%、 但从从事技术的 80 后 “占总人数的百分比不知道, 无法确定二者人数多少, 战选项 C 错; 对于选项 D, 芯片软件

19、行业中从事市场岗位的 90 后占总人数的 14.4%55%7.92%、“80 前“占总人数的 5%,故选项 D 正确, 故选:C 本题考查根据图表进行简单的合情推理,属于基础题 7函数 f(x)= 1 2(x 2+cosx|x2cosx|)的大致图象是( ) A B C D 将函数化为分段函数的形式,再结合选项直接判断即可 因为() = 1 2 (2+ |2 |) = , 2 2,2 , 故选:B 本题考查函数的图象,考查识图能力与推理论证能力,属于基础题 8随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展,网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预 防措施的错误说法, 为了辟谣并宣讲正确的预防措施, 某社区

20、拟从 5 名男志愿宣讲员和 3 名女志愿宣讲员中任选 3 人,参加本社区的宣讲服务,则选中的 3 人中至少有 2 名女宣 讲员的选法共有( ) A12 种 B14 种 C16 种 D32 种 根据题意,分 2 种情况讨论:选出的宣讲员中有 3 名女宣讲员,选出的宣讲员中有 2 名女宣讲员和 1 名男宣讲员,由加法原理计算可得答案 根据题意,分 2 种情况讨论: 选出的宣讲员中有 3 名女宣讲员,有 C331 种选法, 选出的宣讲员中有 2 名女宣讲员和 1 名男宣讲员,有 C51C3215 种选法, 则一共有 1+1516 种选法, 故选:C 本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理的应用,

21、属于基础题 9已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD,且BCF 是等边三角形,则异面直 线 AC 和 DF 所成角的余弦值为( ) A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 取 CD 的中点 M,CF 的中点 N, 连接 MN,可得 MNDF延长 BC 到 P, 使 CP= 1 2BC, 连接 MP,NP异面直线 AC 和 DF 所成角为NMP,NMP 中,利用余弦定理即可得 出 取 CD 的中点 M,CF 的中点 N,连接 MN,则 MNDF延长 BC 到 P,使 CP= 1 2BC, 连接 MP,NP,则 MPAC令 AB2,则 MPMN= 2, 又BCF 是等边三角形,

22、NCPC1,由余弦定理可得:NP= 3, 异面直线 AC 和 DF 所成角为NMP,cosNMP= 2+23 222 = 1 4 故选:B 本题考查了异面直线所成的角、余弦定理、等边三角形的性质,考查了推理能力与计算 能力,属于基础题 10已知函数 f(x)= 3sin +cos (0) ,如果存在实数 x0,使得对任意的实数 x, 都有 f(x02020)f(x)f(x0)成立,则 的最大值为( ) A2020 B4040 C1010 D2020 3 利用辅助角公式对函数化解可得 f(x)= 3sin +cos =2sin( x+ 6) ,由对任意的 实数 x,都有 f(x02020)f(x

23、)f(x0)成立可得,两端点值分别为函数的最小值 和最大值,要使得 最大,只要周期 T= 2 =2 最大,当 2 =2020,周期最大,代入 可求得结果 利用辅助角公式对函数化解可得 f(x)= 3sin +cos =2sin( x+ 6) , 由对任意的实数 x,对任意的实数 x,都有 f(x02020)f(x)f(x0)成立; 可得 f(x0) ,f(x02020) ,分别为函数的最大值和最小值, 要使得 最大,只要周期 T= 2 =2 最大, 当 2 =2020 即 T40402,周期最大,此时 2020; 故选:A 本题目主要考查了三角函数的辅助角公式的应用,三角函数的性质的应用,周期

24、公式的 应用,解题的关键是根据条件求得函数的最小值和最大值,属于中档题 11已知定义在 R 上的连续函数 f(x)满足 f(x)f(2x) ,导函数为 f(x) 当 x1 时,2f(x)+(x1)f(x)0,且 f(1)= 3 2,则不等式 f(x)6(x1) 2 的 解集为( ) A (1,1)(1,4) B (1,1)(1,3) C ( 1 2,1)(1,2) D ( 1 2,1)(1, 3 2) 利用已知条件,结合函数的性质,构造函数 g(x) ,通过函数的导数判断函数的单调性, 然后转化求解即可 定义在 R 上的连续函数 f(x)满足 f(x)f(2x) ,导函数为 f(x) 当 x1

25、 时,2f(x)+(x1)f(x)0,且 f(1)= 3 2, 令 g(x)(x1)2f(x) ,则 g(x)2(x1)f(x)+(x)2f(x)(x1) 2f(x)+(x1)f(x), 所以当 x1 时,g(x)0,且 g(1)g(3)6, 结合函数的图象,可知不等式 f(x)6(x1) 2 的解集为(1,1)(1,3) 故选:B 本题考查函数的导数的综合应用, 考查数形结合以及转化与化归思想的应用, 是中档题 12已知 F1(c,0) ,F2(c,0)分别为双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的左、右 焦点,直线 l: + =1 与 C 交于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平

26、分线与 x 轴交于 T( 5c,0) ,则 C 的离心率为( ) A 6 2 B2 C3 D 5 2 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点为 S(x0,y0) ,运用点满足双曲线方程, 作差,结合中点坐标公式和平方差公式,以及直线的斜率公式,两直线垂直的条件,以 及双曲线的离心率公式,计算可得所求值 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点为 S(x0,y0) , 联立方程组 212 212= 22 222 222= 22, 两式相减可得 b2(x12x22)a2(y12y22) , 可得 b2(x1x2) (x1+x2)a2(y1y2) (y1

27、+y2) , 可得 2b2(x1x2)x02a2(y1y2)y0, 所以 kMN= = 12 12 = 20 20,即 0 0 = 2 2(1) , 由 kMNkST1,可得 0 0:5 = 1(2) , 由(1) (2)可得 x0= 52 ,y05b,即 S( 52 ,5b) ,又 S 在直线 l 上, 所以 52 2 +51, 解得 e= = 5 2 故选:D 本题考查双曲线的方程和性质,考查点差法和方程思想、运算求解能力,属于中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 1

28、3已知an为递增的等比数列,a23,a3+a436,则此数列的公比 q 3 利用等比数列的通项公式列出方程,能求出此数列的公比 an为递增的等比数列,a23,a3+a436, 3q+3q236,且 q0, 解得此数列的公比 q3 故答案为:3 本题考查等比数列的公比的求法, 考查等比数列的性质等基础知识, 考查运算求解能力, 是基础题 14已知非零向量 , 满足|2 | 3 |,且| |5| |,则与 的夹角为 3 根据题意,设 与 的夹角为 ,由|2 | 3 |,整理变形可得 522 ,又由| | 5| |,由数量积的计算公式可得 cos= | | |= 5 2 2 5| |2= 1 2,据

29、此分析可得答案 根据题意,设 与 的夹角为 ,0, 若|2 | 3 |,则有(2 )2( 3 )2,变形可得:424 + 2 9 2 6 + 2 , 化简可得:5 22 , 又由| |5| |,则 cos= | | |= 5 2 2 5| |2= 1 2, 则 = 3; 故答案为: 3 本题考查向量数量积的计算,注意向量数量积的运算律,属于基础题 15已知函数 f(x)x24x+3n若对任意 nN*,f(x)0 在m,+)上恒成立,则实数 m 的取值范围是 3,+) 由题意可得 x24x3n,求得3n3,所以 x24x3,由二次不等式的解法可 得 x 的范围,进而得到 m 的范围 若对任意 n

30、N*,f(x)0 在m,+)上恒成立, 可得 x24x3n, 对任意 nN*,都有3n3,当 n1 时取得等号, 所以 x24x3,即 x1 或 x3, 由题意可得m,+)3,+) ,从而 m3, 故答案为:3,+) 本题考查函数的单调性以及恒成立问题解法,考查化归与转化思想和运算求解能力,属 于中档题 16直线 l 过抛物线 C:y24x 的焦点 F 且与 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,则 y1y2 4 过 A,B 两点分别作抛物线 C 的准线的垂线,垂足分别为 P,Q,准线与 x 轴的交点为 M,四边形 FAPM 的面积记为 S1,四边形 FBQM 的面积记为 S2,

31、则 S1S2 3|AF|BF| 4 先设直线 l: xay+1, 由 = + 1 2= 4 , 联立可得 y1y2与 y1+y2, 再计算 S1, S2, |AF1|, |BF2|, 从而求出结果 如右图所示,直线 l 过抛物线 C:y24x 的焦点 F(1,0)且与 C 交于 A(x1,y1) , B(x2,y2)两点,设直线 l:xay+1,由 = + 1 2= 4 联立可得: y24ay40,1 + 2= 4 12= 4 S1= 1 2(x1+3) |y1|,S2= 1 2(x2+3)|y2|, S1S2= 1 4|y1y2|(x1+3) (x2+3)(ay1+4) (ay2+4)16+

32、12a 2, 又|AF|BF|(x1+1) (x2+1)(ay1+2) (ay2+2)4+4a2, S1S23|AF|BF4 故填:4,4 本题主要考查直线与抛物线的综合,考查了计算能力,属于基础题 三、 解答题: 共三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每道试题考生都必须作答第每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分 17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

33、且 asinB+3bcosA+abcosC+ccosB (1)求 A; (2)若 a= 3,点 D 在 BC 上,且 ADAC,当ABC 的周长取得最大值时,求 BD 的 长 (1)利用正弦定理边化角可得 + 3 = 0,进而求得 = 3, = 2 3 ; (2)利用余弦定理可得 3(b+c)2bc,进而利用基本不等式可知 b+c2,由此得出 此时ABC 的周长取得最大值2 + 3, = 6,进而求得 BD 的长 (1) + 3 + = + , + 3 + = + , 整理可得, + 3 = 0, sinB0, = 3, 又 A(0,) , = 2 3 ; (2)由(1)及 = 3,知 3b2

34、+c2+bc, 3(b+c)2bc,从而( + )2 3 = (+ 2 )2, b+c2, 当且仅当 bc1 时取等号, 即ABC 的周长取得最大值2 + 3, 此时 = 6, ADAC, = 6, 又 b1, = 23 3 , = = 3 3 本题涉及了正余弦定理,三角恒等变换,基本不等式等基础知识点,考查计算能力,属 于中档题 182020 年寒假期间,某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况,并将依据调 查结果对相应学生提出针对性学习建议现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随 机选取 30,45,75 人,然后再从这些学生中抽取 10 人,进行学情调查 (1)若采用分层抽样抽取

35、10 人,分别求高一、高二、高三应抽取的人数 (2)若被抽取的 10 人中,有 6 人每天学时超过 7 小时,有 4 人每天学时不足 4 小时, 现从这 10 人中,再随机抽取 4 人做进一步调查 (i) 记事件 A 为 “被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时” , 求事件 A 发生的概率; (ii)用 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数,求随机变量 的分布列和数学期 望 (1)总数为 30+45+75150,从这些学生中抽取 10 人,根据分层抽样法求出高一、高 二、高三应抽取的人数即可; (2) (i)记事件 A 为“被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4

36、小时” ,记事件 B 为“被 抽取的 4 人中恰有 1 人学时不足 4 小时” , 记事件 C 为 “被抽取的 4 人中恰有 0 人学时不 足 4 小时” , 则由 P(A)P(BC)P(B)+P(C) ,求出概率即可; (ii)随机变量 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数,则 0,1,2,3,4,求 出随机变量 的分布列和数学期望即可 (1) 从本校高一、 高二、 高三三个年级中分别随机选取 30, 45, 75 人, 30+45+75150, 从这些学生中抽取 10 人, 根据分层抽样法, 高一应抽取 10 30 150 =2 人, 高二应抽取 10 45 150 = 3人,高

37、三应抽取 10 75 150 = 5人, 故高一、高二、高三应抽取的人数分别为 2 人,3 人,5 人; (2) (i)记事件 A 为“被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时” ,记事件 B 为“被 抽取的 4 人中恰有 1 人学时不足 4 小时” , 记事件 C 为 “被抽取的 4 人中恰有 0 人学时不 足 4 小时” , 则 P(A)P(BC)P(B)+P(C)= 4 1 6 3 10 4 + 4 0 6 4 10 4 = 19 42; 来源:学科网 ZXXK (ii)随机变量 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数,则 0,1,2,3,4, 则( = 0) = 4

38、0 6 1 10 4 = 1 14, ( = 1) = 4 1 6 3 10 4 = 8 21, ( = 2) = 4 2 6 2 10 4 = 3 7, ( = 3) = 4 3 6 1 10 4 = 4 35, ( = 4) = 4 4 10 4 = 1 210, 随机变量 的分布列如下: 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 E= 0 1 14 + 1 8 21 + 2 3 7 + 3 4 35 + 4 1 210 = 8 5 本题考查了分层抽样,离散型随机变量求分布列和数学期望,还考查了互斥事件求概率 等,考查运算能力,中档题 19在四棱锥 PABC

39、D 中,底面四边形 ABCD 是一个菱形,且ABC= 3,AB2,PA 平面 ABCD (1)若 Q 是线段 PC 上的任意一点,证明:平面 PAC平面 QBD (2)当平面 PBC 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为4 5时,求 PA 的长 (1)先证明 BD平面 PAC,再由面面垂直的判定定理即可得证; (2)建立空间直角坐标系,设 P(0,1,a) (a0) ,求出平面 PBC 与平面 PDC 的法 向量,利用向量夹角公式建立关于 a 的方程,解出即可 (1)证明:四边形 ABCD 是一个菱形, ACBD, 又 PA平面 ABCD, PABD, 又 ACPAA,则 BD平面 PAC

40、, BD 在平面 QBD 内, 平面 PAC平面 QBD; (2)设 AC,BD 交于点 O,分别以 OB,OC 所在直线为 x 轴,y 轴,以平行于 AP 的直 线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则(3,0,0),(0,1,0),( 3,0,0),设 P(0,1,a) (a0) ,则 = (3, 1,0), = (0, 2,), 设平面 PBC 的一个法向量为 = (,),则 = 3 = 0 = 2 + = 0 ,可取 = (,3,23), 同理可求平面 PDC 的一个法向量为 = (,3,23), | ,| = | | | = 2+32+12 (42+12)2 = 4 5,解得

41、a 22, = 2 本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题, 考查推理能力及计算能力, 属于中档题 20已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的右焦点为 F,离心率为 3 3 ,且有 3a24b2+1 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,过点 M 作直线 x3 的垂线,垂足为点 P,证明直线 NP 经过定点,并求出这个定点的坐标 (1)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,结合条件,解方程可得 a,b,进而得到 椭圆方程; (2)求得 F 的坐标,讨论直线 l 不与 x 轴重合,设出直线 l 的方程,联立椭

42、圆方程,运 用韦达定理和直线恒过定点的求法,可得所求定点;讨论当直线 l 与 x 轴重合也成立 (1)由 e= = 3 3 ,所以 2 2 =1 2 2 =1 1 3 = 2 3, 联立方程组3 2 = 22 32= 42+ 1,解得 a 23,b22, 所以椭圆的方程为 2 3 + 2 2 =1;来源:学,科,网 (2)证明:由(1)可得 F(1,0) , 当直线 l 不与 x 轴重合时,设直线 l 的方程为 xmy+1, 联立椭圆方程 2x2+3y26,消去 x 可得(3+2m2)y2+4my40, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,可得 y1+y2= 4 3+22,y1y2= 4 3+22, 且点 P(3,y1) ,则 NP 的方程为(x23)y(y2y1) (x3)+y1(x23) ,又 x