2019-2020学年上海市闵行区七校高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、在正ABC 中,若 AB6,则 11 (3 分)已知,数列an满足,对于任意 nN*都满足 an+2f(an) , 且 an0,若 a20a18,则 a2018+a2019 12 (3 分)在直角ABC 中,AB2,AC4,M 是ABC 内一点,且, 若(,R) ,则 +2 的最大值为 二二.选择题选择题 13 (3 分)等差数列an中,公差 d1,且 a1、a3、a4成等比数列,则 a1( ) A4 B6 C8 D10 14 (3 分)数列an中,(kN*) ,则数列an的极限为( ) 第 2 页(共 18 页) A0 B2 C0 或 2 D不存在 15 (3 分)有下列命题:若 与 是非零

2、向量,则; 若且, 则; 若 , , 则 ; ; 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 16(3 分) 已知 和 是互相垂直的单位向量, 向量满足:, nN*, 设 n为 和的夹角,则( ) An随着 n 的增大而增大 Bn随着 n 的增大而减小 C随着 n 的增大,n先增大后减小 D随着 n 的增大,n先减小后增大 三三.解答题解答题 17已知,其中 、 分别是 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量 (1)若 ,求 k 的值; (2)若,求 k 的值; (3)若 与 的夹角为锐角,求 k 的取值范围 18已知数列an满足:, (1)计算数列的前 4 项; (2)求an的通项公式

3、19 已知平行四边形 OABC 中, 若 P 是该平面上任意一点, 则满足(, R) (1)若 P 是 BC 的中点,求 + 的值; (2)若 A、B、P 三点共线,求证:+1 20如图,已知点列 B1(1,y1) 、B2(2,y2) 、B3(3,y3) 、Bn(n,yn) (nN*)依次 第 3 页(共 18 页) 为函数 y图象上的点,点列 A1(x1,0) 、A2(x2,0) 、An(xn,0) (nN*) 依次为 x 轴正半轴上的点,其中 x1a(0a1) ,对于任意 nN*,点 An、Bn、An+1构 成一个顶角的顶点为 Bn的等腰三角形 (1)证明:数列yn是等差数列; (2)证明

4、:xn+2xn为常数,并求出数列xn的前 2n 项和 S2n; (3)在上述等腰三角形 AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若存在,求出 a 值,若不存 在,请说明理由 21已知 (Sn,2) , (1,1an) ,对任意 nN*,有 成立 (1)求an的通项公式; (2) 设 bn+12bn2n+1, b18, Tn是数列bn的前 n 项和, 求正整数 k, 使得对任意 nN*, TkTn恒成立; (3)设 cn,Rn是数列cn的前 n 项和,若对任意 nN*均有 Rn 恒成立,求 的最小值 第 4 页(共 18 页) 2019-2020 学年上海市闵行区七校高二(上)期中数学试卷学年上

5、海市闵行区七校高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 (3 分) 0 【分析】直接根据极限的概念和运算法则计算即可 【解答】解:依题意,当 n时,0, 所以0, 故答案为:0 【点评】本题考查了极限的概念,主要考查对极限的理解和计算能力,属于基础题 2 (3 分)已知,则与它同向的单位向量 (用坐标表示) 【分析】根据题意,设要求的向量为(3t,4t) ,由单位向量的定义可得(3t)2+ (4t)21,解可得 t 的值,即可得答案 【解答】解:根据题意,已知,设与它同向的单位向量(3t,4t) , (t 0) , 则有(3t)2+(4t)21, 解

6、可得:t, 则(,) ; 故答案为: (,) 【点评】本题考查平面向量的坐标计算,涉及向量平行的坐标表示方法,属于基础题 3 (3 分)经过点(1,2)且平行于直线的直线方程是 【分析】根据条件先求出直线的方向向量,结合直线平行的关系,利用点向式进行求解 即可 【解答】解:由得 3x2y70, 直线和 3x2y+70 平行,设直线方程为 3x2y+c0, 直线过点(1,2) , 第 5 页(共 18 页) 34+c0,得 c1, 即直线方程为 3x2y+10, 法 2:直线的方向向量为(2,3) , 经过点(1,2)且平行于直线, 直线的点向式方程为, 故答案为: 【点评】本题主要考查直线方程

7、的求解,利用直线平行以及点向式进行求解是解决本题 的关键 4 (3 分)已知数列an为等差数列,a95,则 S17 85 【分析】等差数列的性质可得:a1+a172a9再利用求和公式即可得出 【解答】解:由等差数列的性质可得:a1+a172a9 S1717a917585 故答案为:85 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题 5 (3 分)已知向量,则 在 方向上的投影为 【分析】利用 在 方向上的投影为 乘以 的单位向量,代入坐标求出即可 【解答】解:根据投影的定义: 在 方向上的投影为 乘以 的单位向量, 由, 故答案为: 【点评】考查

8、向量投影的概念,向量的坐标运算,基础题 6(3 分) 若数列an为等比数列, 且 a12, 则 a1+a3+a5+a2n1 4 (1) 【分析】利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】解:数列an为等比数列,a12,可得 q2 第 6 页(共 18 页) 则 a1+a3+a5+a2n14(1) 故答案为:4(1) 【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题 7 (3 分)若数列an的所有项都是正数,且(nN*) ,则该数 列的通项公式 an 4n2 【分析】根据数列的递推公式得到,从而解得 an 【解答】解:由题意得:, n2 时,有, 得:,

9、 化简得:, n2 时,有 而当 n1 时,有,a14,满足 从而综上,该数列的通项公式 故答案为:4n2 【点评】本题主要考查数列通项公式的求解,考查推理能力,解题时要注意 n 的取值 8 (3 分)已知坐标平面内两个不同的点 P1(1,1) ,(aR) ,若直 线 P1P2的倾斜角是钝角,则 a 的取值范围是 (1,1)(1,2) 【分析】由两点坐标求得直线的斜率,结合直线 P1P2的倾斜角是钝角可得关于 a 的不等 式组,求解得答案 【解答】解:P1(1,1) ,(aR) , (a1) , 直线 P1P2的倾斜角是钝角, 第 7 页(共 18 页) ,解得1a2 且 a1 a 的取值范围

10、是(1,1)(1,2) 故答案为: (1,1)(1,2) 【点评】本题考查直线斜率的求法,考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础题 9 (3 分)已知无穷等比数列an的前 n 项和为 Sn,所有项的和为 S,且, 则其首项 a1的取值范围 (2,1)(1,0) 【分析】由 S,SnS (1qn) ,SnS (1qn) ,知 Sn2SS(1+qn) ,由 ,可知 0|q|1,由此能求出首项 a1的取值范围 【解答】解:由 S,SnS (1qn) , Sn2SS(1+qn) , , , 无穷等比数列, 0|q|1,0, S1, q1+a1, 0|1+a1|1, 解可得,2a10 且 a11, 故答案为

11、: (2,1)(1,0) 【点评】本题考查数列的极限的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等比数列的 前 n 项和公式的灵活运用 10 (3 分)在正ABC 中,若 AB6,则 6 【分析】由,由三点共线定理,代入求出即可 第 8 页(共 18 页) 【解答】解:如图,由三点共线定理, 所以12+6 6 故答案为:6 【点评】考查了平面向量数量积的运算,三点共线定理,向量的夹角,基础题 11 (3 分)已知,数列an满足,对于任意 nN*都满足 an+2f(an) , 且 an0,若 a20a18,则 a2018+a2019 【分析】根据递推关系得到数列的奇数项之间的关系,先求出 a2019

12、的值;再利用数列各 项之间的函数关系解得数列的周期为 4,从而求得 a2018相加得到结论 【解答】解:, , 同理得: , 又:an+2f(an) ,an+4f(an+2) , ,从而该数列周期为 4, 又令 a20a18t0,则,t,解得 t2+2t10,t, 且, , 第 9 页(共 18 页) 故答案为: 【点评】本题考察数列的项的求解,难度较大,能够利用周期求 a2018的值是一个难点 12 (3 分)在直角ABC 中,AB2,AC4,M 是ABC 内一点,且, 若(,R) ,则 +2 的最大值为 【分析】建立平面直角坐标系,求出 A,B,C 坐标,表示出 M(cos,sin) ,

13、(0 ) ,把坐标带入到(,R) ,找到 +2 与 的关系,利用辅 助角公式,结合 的取值范围,求出 +2 的最大值 【解答】解:建立如图平面直角坐标系,则 A(0,0) ,B(0,2) ,C(4,0) , M(cos,sin) , (0) , (,R) ,(cos,sin)(0,2)+(4,0) , cos4,sin2, +2(sin+cos)sin(+) , 由 0得+, sin(+)1, +2, 则 +2 的最大值为, 故答案为: 第 10 页(共 18 页) 【点评】本题考查了平面向量的线性运算,考查了利用数形结合、辅助角公式、三角函 数的性质求最值的问题,属于中档题 二二.选择题选择

14、题 13 (3 分)等差数列an中,公差 d1,且 a1、a3、a4成等比数列,则 a1( ) A4 B6 C8 D10 【分析】由已知列关于 a1的方程,求解得答案 【解答】解:由 a1、a3、a4成等比数列, 得,即, 解得 a14 故选:A 【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的性质,是基础题 14 (3 分)数列an中,(kN*) ,则数列an的极限为( ) A0 B2 C0 或 2 D不存在 【分析】直接利用极限的应用求出结果 【解答】解:当 n2k1 时, 当 n2k 时 所以数列an的极限不存在 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:极限的应用,主要考查学生的运算能力

15、和转换能力及思 维能力,属于基础题型 15 (3 分)有下列命题:若 与 是非零向量,则; 若且, 则; 若 , , 则 ; ; 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【分析】 用, 判断即可; 若且, 第 11 页(共 18 页) 则,检验即可; 利用向量平行不具有传递性;利用,向量不满足结合律判断 【解答】解:若与是非零向量,则,所以 成立; 若且,则,则垂直,则不一定成立; 若 , ,若 是零向量, 与 不一定平行,所以则 不成立; 不成立,不满足向量的结合律 正确的有 1 个 故选:B 【点评】考查了向量的运算,模、向量的平行,向量的运算律等问题,对基础性的知识 进行辨析

16、,基础题 16(3 分) 已知 和 是互相垂直的单位向量, 向量满足:, nN*, 设 n为 和的夹角,则( ) An随着 n 的增大而增大 Bn随着 n 的增大而减小 C随着 n 的增大,n先增大后减小 D随着 n 的增大,n先减小后增大 【分析】分别以 和 所在的直线为 x 轴,y 轴建立坐标系,则 (1,0) , (0,1) , 设(xn,yn) ,进而可求出 tann,结合函数的单调性即可判断 【解答】解:分别以 和 所在的直线为 x 轴,y 轴建立坐标系,则 (1,0) , (0, 1) , 设(xn,yn) , ,nN*, xnn,yn2n+1,nN*, (n,2n+1) ,nN*

17、, 第 12 页(共 18 页) n为 和的夹角, tann2+ ytann为减函数, n随着 n 的增大而减小 故选:B 【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示,解题的关键是根据已知条件把所求 问题坐标化 三三.解答题解答题 17已知,其中 、 分别是 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量 (1)若 ,求 k 的值; (2)若,求 k 的值; (3)若 与 的夹角为锐角,求 k 的取值范围 【分析】 (1)由题意利用两个向量共线的性质,求出 k 的值 (2)先求出 2 的坐标,再根据,求出 k 的值 (3)由题意可得0,且 与 不共线,由此求得 k 的范围 【解答】解: (1)已知,其中

18、 、 分别是 x 轴、y 轴正方向同 向的单位向量, 若 ,则,求得 k4 (2) 2 (22k) 3 ,若,则3,求得 k 1 (3)若 与 的夹角为锐角,则0,且 与 不共线, 2k+20,且则,求得 k1,且 k4, 故 k 的范围是(,4)(4,1) 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量共线的性质,两个向量的数 量积的运算,属于中档题 第 13 页(共 18 页) 18已知数列an满足:, (1)计算数列的前 4 项; (2)求an的通项公式 【分析】 (1)根据数列的递推关系得到数列的前 4 项; (2)根据数列的递推关系得到数列是等差数列,从而得到的表达式,再去求解

19、 an的通项公式 【解答】解: (1), , , 总之,数列an的前 4 项为:、 (2), 两边取倒数得:, , 数列是以为首项,公差为 1 的等差数列, , 【点评】本题主要考查数列通项公式的求解,根据数列的递推公式求得通项公式是解决 本题的关键 第 14 页(共 18 页) 19 已知平行四边形 OABC 中, 若 P 是该平面上任意一点, 则满足(, R) (1)若 P 是 BC 的中点,求 + 的值; (2)若 A、B、P 三点共线,求证:+1 【分析】 (1)P 是 BC 的中点时,可得出,从而根据平面向量基本定理得 出; (2)根据 A,B,P 三点共线可得出与共线,从而得出,进

20、而得出 ,这样根据平面向量基本定理即可得出 +1 【解答】 解:(1) 若P是BC的中点, 则, 又, 根据平面向量基本定理得, ; (2)证明:A,B,P 三点共线, 和共线, 存在实数 k,使, , , 又, 根据平面向量基本定理得,+1k+k1 【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则,共线向量和平面向量基本定理,以及 向量减法的几何意义,向量的数乘运算,考查了计算和推理能力,属于基础题 20如图,已知点列 B1(1,y1) 、B2(2,y2) 、B3(3,y3) 、Bn(n,yn) (nN*)依次 第 15 页(共 18 页) 为函数 y图象上的点,点列 A1(x1,0) 、A2(x

21、2,0) 、An(xn,0) (nN*) 依次为 x 轴正半轴上的点,其中 x1a(0a1) ,对于任意 nN*,点 An、Bn、An+1构 成一个顶角的顶点为 Bn的等腰三角形 (1)证明:数列yn是等差数列; (2)证明:xn+2xn为常数,并求出数列xn的前 2n 项和 S2n; (3)在上述等腰三角形 AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若存在,求出 a 值,若不存 在,请说明理由 【分析】 (1)利用点列 B1(1,y1) 、B2(2,y2) 、Bn(n,yn) (nN)顺次为一次函 数,可得数列yn的通项公式,进而有yn是等差数列; (2)根据AnBnAn+1与An+1Bn+1

22、An+2为等腰三角形,可得,两式相 减,即可求出数列xn的通项公式; (3)要使AnBnAn+1为直角三角形,则,根据(2)分 n 为奇数、 偶数时,进行讨论,可求此时 a 值 【解答】解: (1)点列 B1(1,y1) 、B2(2,y2) 、Bn(n,yn) (nN)顺次为一次 函数 yn是等差数列; (2)AnBnAn+1与An+1Bn+1An+2为等腰三角形 第 16 页(共 18 页) xn+2xn2 (3)要使AnBnAn+1为直角三角形,则 当 n 为奇数时,xn+1xn2(1a) , n1,得,n3 得,n5,则无解; 当 n 为偶数时,同理得 n2,得 ,n4,则无解; 存在直

23、角三角形,此时 a 值为 【点评】本题以函数为载体,考查数列知识,考查数列的通项,考查分类讨论思想,有 较强的综合性 21已知 (Sn,2) , (1,1an) ,对任意 nN*,有 成立 (1)求an的通项公式; (2) 设 bn+12bn2n+1, b18, Tn是数列bn的前 n 项和, 求正整数 k, 使得对任意 nN*, TkTn恒成立; (3)设 cn,Rn是数列cn的前 n 项和,若对任意 nN*均有 Rn 恒成立,求 的最小值 【分析】 (1)由向量垂直的条件:数量积为 0, 运用数列的递推式, 结合等比数列的定义、 通项公式可得所求; (2)将等式两边同除以 2n+1,由等差

24、数列的定义和通项公式、数列的错位相减法求和, 等比数列的求和公式,结合恒成立思想,求得最大值可得所求 k; (3)求得 cn2() ,由 第 17 页(共 18 页) 数列的裂项相消求和和不等式的性质,恒成立思想,可得所求最小值 【解答】解: (1)由 (Sn,2) , (1,1an) ,对任意 nN*,有 成立, 得 Sn+22an0, n2 时,Sn1+22an10, 两式相减,得 an2an+2an10,故 an2an1(n2) 又 n1 时,a1+22a10,a12 所以数列an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 数列an的通项公式为 ; (2)b18,bn+12bn2n+1,即

25、为1, 可得为首项为 4,公差为1 的等差数列, 则4(n1)5n,即有 bn(5n) 2n, Tn42+34+28+(5n) 2n, 2Tn44+38+216+(5n) 2n+1, 两式相减可得Tn848+2n(5n) 2n+1 8(5n) 2n+1, 化简可得 Tn12+(6n) 2n+1, 由 f(n)(6n) 2n+1,当 1n6 时,f(n)0,n7 时,f(n)0, 可得 f(1)20,f(2)32,f(3)48,f(4)64,f(5)64,f(6)0,则 n 4,f(n)取得最大值 64, 可得 Tn的最大值为 641252, 则存在正整数 k,且为 4,使得对任意 nN*,TkTn恒成立; (3)cn2() , 可得 Rn2(+)2() 第 18 页(共 18 页) , 对任意 nN*均有 Rn 恒成立,可得 , 即 的最小值为 【点评】本题考查数列递推式的运用,考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求 和公式的运用,数列的错位相减法求和、裂项相消求和,考查化简运算能力和推理能力, 属于中档题

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