1、在正ABC 中，若 AB6，则 11 （3 分）已知，数列an满足，对于任意 nN*都满足 an+2f（an） ， 且 an0，若 a20a18，则 a2018+a2019 12 （3 分）在直角ABC 中，AB2，AC4，M 是ABC 内一点，且， 若（，R） ，则 +2 的最大值为 二二.选择题选择题 13 （3 分）等差数列an中，公差 d1，且 a1、a3、a4成等比数列，则 a1（ ） A4 B6 C8 D10 14 （3 分）数列an中，（kN*） ，则数列an的极限为（ ） 第 2 页（共 18 页） A0 B2 C0 或 2 D不存在 15 （3 分）有下列命题：若 与 是非零
2、向量，则； 若且， 则； 若 ， ， 则 ； ； 其中正确命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 16（3 分） 已知 和 是互相垂直的单位向量， 向量满足：， nN*， 设 n为 和的夹角，则（ ） An随着 n 的增大而增大 Bn随着 n 的增大而减小 C随着 n 的增大，n先增大后减小 D随着 n 的增大，n先减小后增大 三三.解答题解答题 17已知，其中 、 分别是 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量 （1）若 ，求 k 的值； （2）若，求 k 的值； （3）若 与 的夹角为锐角，求 k 的取值范围 18已知数列an满足：， （1）计算数列的前 4 项； （2）求an的通项公式
3、19 已知平行四边形 OABC 中， 若 P 是该平面上任意一点， 则满足（， R） （1）若 P 是 BC 的中点，求 + 的值； （2）若 A、B、P 三点共线，求证：+1 20如图，已知点列 B1（1，y1） 、B2（2，y2） 、B3（3，y3） 、Bn（n，yn） （nN*）依次 第 3 页（共 18 页） 为函数 y图象上的点，点列 A1（x1，0） 、A2（x2，0） 、An（xn，0） （nN*） 依次为 x 轴正半轴上的点，其中 x1a（0a1） ，对于任意 nN*，点 An、Bn、An+1构 成一个顶角的顶点为 Bn的等腰三角形 （1）证明：数列yn是等差数列； （2）证明
4、：xn+2xn为常数，并求出数列xn的前 2n 项和 S2n； （3）在上述等腰三角形 AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若存在，求出 a 值，若不存 在，请说明理由 21已知 （Sn，2） ， （1，1an） ，对任意 nN*，有 成立 （1）求an的通项公式； （2） 设 bn+12bn2n+1， b18， Tn是数列bn的前 n 项和， 求正整数 k， 使得对任意 nN*， TkTn恒成立； （3）设 cn，Rn是数列cn的前 n 项和，若对任意 nN*均有 Rn 恒成立，求 的最小值 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年上海市闵行区七校高二（上）期中数学试卷学年上
5、海市闵行区七校高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分） 0 【分析】直接根据极限的概念和运算法则计算即可 【解答】解：依题意，当 n时，0， 所以0， 故答案为：0 【点评】本题考查了极限的概念，主要考查对极限的理解和计算能力，属于基础题 2 （3 分）已知，则与它同向的单位向量 （用坐标表示） 【分析】根据题意，设要求的向量为（3t，4t） ，由单位向量的定义可得（3t）2+ （4t）21，解可得 t 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，已知，设与它同向的单位向量（3t，4t） ， （t 0） ， 则有（3t）2+（4t）21， 解
6、可得：t， 则（，） ； 故答案为： （，） 【点评】本题考查平面向量的坐标计算，涉及向量平行的坐标表示方法，属于基础题 3 （3 分）经过点（1，2）且平行于直线的直线方程是 【分析】根据条件先求出直线的方向向量，结合直线平行的关系，利用点向式进行求解 即可 【解答】解：由得 3x2y70， 直线和 3x2y+70 平行，设直线方程为 3x2y+c0， 直线过点（1，2） ， 第 5 页（共 18 页） 34+c0，得 c1， 即直线方程为 3x2y+10， 法 2：直线的方向向量为（2，3） ， 经过点（1，2）且平行于直线， 直线的点向式方程为， 故答案为： 【点评】本题主要考查直线方程
7、的求解，利用直线平行以及点向式进行求解是解决本题 的关键 4 （3 分）已知数列an为等差数列，a95，则 S17 85 【分析】等差数列的性质可得：a1+a172a9再利用求和公式即可得出 【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a172a9 S1717a917585 故答案为：85 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 5 （3 分）已知向量，则 在 方向上的投影为 【分析】利用 在 方向上的投影为 乘以 的单位向量，代入坐标求出即可 【解答】解：根据投影的定义： 在 方向上的投影为 乘以 的单位向量， 由， 故答案为： 【点评】考查
8、向量投影的概念，向量的坐标运算，基础题 6（3 分） 若数列an为等比数列， 且 a12， 则 a1+a3+a5+a2n1 4 （1） 【分析】利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】解：数列an为等比数列，a12，可得 q2 第 6 页（共 18 页） 则 a1+a3+a5+a2n14（1） 故答案为：4（1） 【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 7 （3 分）若数列an的所有项都是正数，且（nN*） ，则该数 列的通项公式 an 4n2 【分析】根据数列的递推公式得到，从而解得 an 【解答】解：由题意得：， n2 时，有， 得：，
9、 化简得：， n2 时，有 而当 n1 时，有，a14，满足 从而综上，该数列的通项公式 故答案为：4n2 【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，考查推理能力，解题时要注意 n 的取值 8 （3 分）已知坐标平面内两个不同的点 P1（1，1） ，（aR） ，若直 线 P1P2的倾斜角是钝角，则 a 的取值范围是 （1，1）（1，2） 【分析】由两点坐标求得直线的斜率，结合直线 P1P2的倾斜角是钝角可得关于 a 的不等 式组，求解得答案 【解答】解：P1（1，1） ，（aR） ， （a1） ， 直线 P1P2的倾斜角是钝角， 第 7 页（共 18 页） ，解得1a2 且 a1 a 的取值范围
10、是（1，1）（1，2） 故答案为： （1，1）（1，2） 【点评】本题考查直线斜率的求法，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题 9 （3 分）已知无穷等比数列an的前 n 项和为 Sn，所有项的和为 S，且， 则其首项 a1的取值范围 （2，1）（1，0） 【分析】由 S，SnS （1qn） ，SnS （1qn） ，知 Sn2SS（1+qn） ，由 ，可知 0|q|1，由此能求出首项 a1的取值范围 【解答】解：由 S，SnS （1qn） ， Sn2SS（1+qn） ， ， ， 无穷等比数列， 0|q|1，0， S1， q1+a1， 0|1+a1|1， 解可得，2a10 且 a11， 故答案为
11、： （2，1）（1，0） 【点评】本题考查数列的极限的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的 前 n 项和公式的灵活运用 10 （3 分）在正ABC 中，若 AB6，则 6 【分析】由，由三点共线定理，代入求出即可 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：如图，由三点共线定理， 所以12+6 6 故答案为：6 【点评】考查了平面向量数量积的运算，三点共线定理，向量的夹角，基础题 11 （3 分）已知，数列an满足，对于任意 nN*都满足 an+2f（an） ， 且 an0，若 a20a18，则 a2018+a2019 【分析】根据递推关系得到数列的奇数项之间的关系，先求出 a2019
12、的值；再利用数列各 项之间的函数关系解得数列的周期为 4，从而求得 a2018相加得到结论 【解答】解：， ， 同理得： ， 又：an+2f（an） ，an+4f（an+2） ， ，从而该数列周期为 4， 又令 a20a18t0，则，t，解得 t2+2t10，t， 且， ， 第 9 页（共 18 页） 故答案为： 【点评】本题考察数列的项的求解，难度较大，能够利用周期求 a2018的值是一个难点 12 （3 分）在直角ABC 中，AB2，AC4，M 是ABC 内一点，且， 若（，R） ，则 +2 的最大值为 【分析】建立平面直角坐标系，求出 A，B，C 坐标，表示出 M（cos，sin） ，
13、（0 ） ，把坐标带入到（，R） ，找到 +2 与 的关系，利用辅 助角公式，结合 的取值范围，求出 +2 的最大值 【解答】解：建立如图平面直角坐标系，则 A（0，0） ，B（0，2） ，C（4，0） ， M（cos，sin） ， （0） ， （，R） ，（cos，sin）（0，2）+（4，0） ， cos4，sin2， +2（sin+cos）sin（+） ， 由 0得+， sin（+）1， +2， 则 +2 的最大值为， 故答案为： 第 10 页（共 18 页） 【点评】本题考查了平面向量的线性运算，考查了利用数形结合、辅助角公式、三角函 数的性质求最值的问题，属于中档题 二二.选择题选择
14、题 13 （3 分）等差数列an中，公差 d1，且 a1、a3、a4成等比数列，则 a1（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】由已知列关于 a1的方程，求解得答案 【解答】解：由 a1、a3、a4成等比数列， 得，即， 解得 a14 故选：A 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，是基础题 14 （3 分）数列an中，（kN*） ，则数列an的极限为（ ） A0 B2 C0 或 2 D不存在 【分析】直接利用极限的应用求出结果 【解答】解：当 n2k1 时， 当 n2k 时 所以数列an的极限不存在 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：极限的应用，主要考查学生的运算能力
15、和转换能力及思 维能力，属于基础题型 15 （3 分）有下列命题：若 与 是非零向量，则； 若且， 则； 若 ， ， 则 ； ； 其中正确命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】 用， 判断即可； 若且， 第 11 页（共 18 页） 则，检验即可； 利用向量平行不具有传递性；利用，向量不满足结合律判断 【解答】解：若与是非零向量，则，所以 成立； 若且，则，则垂直，则不一定成立； 若 ， ，若 是零向量， 与 不一定平行，所以则 不成立； 不成立，不满足向量的结合律 正确的有 1 个 故选：B 【点评】考查了向量的运算，模、向量的平行，向量的运算律等问题，对基础性的知识 进行辨析
16、，基础题 16（3 分） 已知 和 是互相垂直的单位向量， 向量满足：， nN*， 设 n为 和的夹角，则（ ） An随着 n 的增大而增大 Bn随着 n 的增大而减小 C随着 n 的增大，n先增大后减小 D随着 n 的增大，n先减小后增大 【分析】分别以 和 所在的直线为 x 轴，y 轴建立坐标系，则 （1，0） ， （0，1） ， 设（xn，yn） ，进而可求出 tann，结合函数的单调性即可判断 【解答】解：分别以 和 所在的直线为 x 轴，y 轴建立坐标系，则 （1，0） ， （0， 1） ， 设（xn，yn） ， ，nN*， xnn，yn2n+1，nN*， （n，2n+1） ，nN*
17、， 第 12 页（共 18 页） n为 和的夹角， tann2+ ytann为减函数， n随着 n 的增大而减小 故选：B 【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求 问题坐标化 三三.解答题解答题 17已知，其中 、 分别是 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量 （1）若 ，求 k 的值； （2）若，求 k 的值； （3）若 与 的夹角为锐角，求 k 的取值范围 【分析】 （1）由题意利用两个向量共线的性质，求出 k 的值 （2）先求出 2 的坐标，再根据，求出 k 的值 （3）由题意可得0，且 与 不共线，由此求得 k 的范围 【解答】解： （1）已知，其中
18、 、 分别是 x 轴、y 轴正方向同 向的单位向量， 若 ，则，求得 k4 （2） 2 （22k） 3 ，若，则3，求得 k 1 （3）若 与 的夹角为锐角，则0，且 与 不共线， 2k+20，且则，求得 k1，且 k4， 故 k 的范围是（，4）（4，1） 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，两个向量的数 量积的运算，属于中档题 第 13 页（共 18 页） 18已知数列an满足：， （1）计算数列的前 4 项； （2）求an的通项公式 【分析】 （1）根据数列的递推关系得到数列的前 4 项； （2）根据数列的递推关系得到数列是等差数列，从而得到的表达式，再去求解
19、 an的通项公式 【解答】解： （1）， ， ， 总之，数列an的前 4 项为：、 （2）， 两边取倒数得：， ， 数列是以为首项，公差为 1 的等差数列， ， 【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列的递推公式求得通项公式是解决 本题的关键 第 14 页（共 18 页） 19 已知平行四边形 OABC 中， 若 P 是该平面上任意一点， 则满足（， R） （1）若 P 是 BC 的中点，求 + 的值； （2）若 A、B、P 三点共线，求证：+1 【分析】 （1）P 是 BC 的中点时，可得出，从而根据平面向量基本定理得 出； （2）根据 A，B，P 三点共线可得出与共线，从而得出，进
20、而得出 ，这样根据平面向量基本定理即可得出 +1 【解答】 解：（1） 若P是BC的中点， 则， 又， 根据平面向量基本定理得， ； （2）证明：A，B，P 三点共线， 和共线， 存在实数 k，使， ， ， 又， 根据平面向量基本定理得，+1k+k1 【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及 向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题 20如图，已知点列 B1（1，y1） 、B2（2，y2） 、B3（3，y3） 、Bn（n，yn） （nN*）依次 第 15 页（共 18 页） 为函数 y图象上的点，点列 A1（x1，0） 、A2（x
21、2，0） 、An（xn，0） （nN*） 依次为 x 轴正半轴上的点，其中 x1a（0a1） ，对于任意 nN*，点 An、Bn、An+1构 成一个顶角的顶点为 Bn的等腰三角形 （1）证明：数列yn是等差数列； （2）证明：xn+2xn为常数，并求出数列xn的前 2n 项和 S2n； （3）在上述等腰三角形 AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若存在，求出 a 值，若不存 在，请说明理由 【分析】 （1）利用点列 B1（1，y1） 、B2（2，y2） 、Bn（n，yn） （nN）顺次为一次函 数，可得数列yn的通项公式，进而有yn是等差数列； （2）根据AnBnAn+1与An+1Bn+1
22、An+2为等腰三角形，可得，两式相 减，即可求出数列xn的通项公式； （3）要使AnBnAn+1为直角三角形，则，根据（2）分 n 为奇数、 偶数时，进行讨论，可求此时 a 值 【解答】解： （1）点列 B1（1，y1） 、B2（2，y2） 、Bn（n，yn） （nN）顺次为一次 函数 yn是等差数列； （2）AnBnAn+1与An+1Bn+1An+2为等腰三角形 第 16 页（共 18 页） xn+2xn2 （3）要使AnBnAn+1为直角三角形，则 当 n 为奇数时，xn+1xn2（1a） ， n1，得，n3 得，n5，则无解； 当 n 为偶数时，同理得 n2，得 ，n4，则无解； 存在直
23、角三角形，此时 a 值为 【点评】本题以函数为载体，考查数列知识，考查数列的通项，考查分类讨论思想，有 较强的综合性 21已知 （Sn，2） ， （1，1an） ，对任意 nN*，有 成立 （1）求an的通项公式； （2） 设 bn+12bn2n+1， b18， Tn是数列bn的前 n 项和， 求正整数 k， 使得对任意 nN*， TkTn恒成立； （3）设 cn，Rn是数列cn的前 n 项和，若对任意 nN*均有 Rn 恒成立，求 的最小值 【分析】 （1）由向量垂直的条件：数量积为 0， 运用数列的递推式， 结合等比数列的定义、 通项公式可得所求； （2）将等式两边同除以 2n+1，由等差
24、数列的定义和通项公式、数列的错位相减法求和， 等比数列的求和公式，结合恒成立思想，求得最大值可得所求 k； （3）求得 cn2（） ，由 第 17 页（共 18 页） 数列的裂项相消求和和不等式的性质，恒成立思想，可得所求最小值 【解答】解： （1）由 （Sn，2） ， （1，1an） ，对任意 nN*，有 成立， 得 Sn+22an0， n2 时，Sn1+22an10， 两式相减，得 an2an+2an10，故 an2an1（n2） 又 n1 时，a1+22a10，a12 所以数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 数列an的通项公式为 ； （2）b18，bn+12bn2n+1，即
25、为1， 可得为首项为 4，公差为1 的等差数列， 则4（n1）5n，即有 bn（5n） 2n， Tn42+34+28+（5n） 2n， 2Tn44+38+216+（5n） 2n+1， 两式相减可得Tn848+2n（5n） 2n+1 8（5n） 2n+1， 化简可得 Tn12+（6n） 2n+1， 由 f（n）（6n） 2n+1，当 1n6 时，f（n）0，n7 时，f（n）0， 可得 f（1）20，f（2）32，f（3）48，f（4）64，f（5）64，f（6）0，则 n 4，f（n）取得最大值 64， 可得 Tn的最大值为 641252， 则存在正整数 k，且为 4，使得对任意 nN*，TkTn恒成立； （3）cn2（） ， 可得 Rn2（+）2（） 第 18 页（共 18 页） ， 对任意 nN*均有 Rn 恒成立，可得 ， 即 的最小值为 【点评】本题考查数列递推式的运用，考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求 和公式的运用，数列的错位相减法求和、裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力， 属于中档题