1、2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知复数z1+i，其中i为虚数单位，则|z|（）ABCD22（4分）设P是椭圆+1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于（）A2B3C5D73（4分）用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）ABCD4（4分）f（x）xlnx，若f（x0）2，则x0（）Aln2Bln2CeDe25（4分）函数yx2lnx的单调递减区间为（）A（1，1B（0，1C1，+）D（0，+）6（4分）曲线yxex+1在点（0，1）处的切线方程是（）A
2、xy+10B2xy+10Cxy10Dx2y+207（4分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（）ABy4xCDy2x8（4分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，直线y4与C的交点为P，与y轴的交点为Q，且，则点P的坐标为（）A（2，4）BC（4，4）D9（4分）设椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，A是两曲线的一个公共点，则|AF1|AF2|的值等于（）A3B4C5D610（4分）已知a，b（0，e），且ab，则下列式子中正确的是（）AalnbblnaBalnbblnaCalnablnbDalnablnb二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每
3、题4分，共36分11（6分）双曲线x21的离心率是 ，渐近线方程是 12（6分）已知函数f（x）4lnx+ax26x（a为常数），若x2为f（x）的一个极值点，则f（2） a 13（6分）已知a，bR且（a+bi）23+4i（i是虚数单位）则a2b2 ，ab 14（6分）若M是抛物线x24y上一点，且|MF|5，O为坐标原点，则该抛物线的准线方程为 线段|MO| ，15（4分）已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 16（4分）已知函数f（x）xex+c有两个零点，则c的取值范围是 17（4分）已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1
4、且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知复数，其中i为虚数单位，aR（）若zR，求实数a的值；（）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围19（15分）已知函数（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数f（x）在区间0，2上的值域20（15分）如图，已知抛物线C：y24x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点（）若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；（）若|AB|20，求直线l的方程21（15分
5、）已知函数f（x）xlnx+ax21，且f（1）1（1）求a的值；（2）若对于任意x（0，+），都有f（x）mx1，求m的最小值22（15分）在RtABC中，CAB90，AB2，AC，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）直线l：yx+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知复数z1+i，其中i为虚数单位，则|z|（）ABCD2【分析】利用复数模的计算公式求解
6、即可【解答】解：由z1+i，得|z|故选：C【点评】本题考查了复数模的计算，属基础题2（4分）设P是椭圆+1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于（）A2B3C5D7【分析】根据题意，由椭圆的标准方程求出a的值，结合椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a10，变形解可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的方程为+1，有a5，则|PF1|+|PF2|2a10，则|PF2|2a|PF1|1037；故选：D【点评】本题考查椭圆的定义，注意有椭圆的标准方程求出a的值3（4分）用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）ABCD【分析】直接利用数学归纳法写出
7、n2时左边的表达式即可【解答】解：用数学归纳法证明（nN+，n1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B【点评】在数学归纳法中，第一步是论证n1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误4（4分）f（x）xlnx，若f（x0）2，则x0（）Aln2Bln2CeDe2【分析】先求导函数，再解方程即可得解【解答】解：f（x）x lnx（x0）f（x）lnx+1又f（x0）2，即lnx0+12lnx01x0e故选：C【点评】本题考查倒导数运算，要求熟练掌握求导的运算律和基本初等函数的导数属简单题5（4分）函数yx2lnx的单调递减区间为（）A（1，1B（0，
8、1C1，+）D（0，+）【分析】由yx2lnx得y，由y0即可求得函数yx2lnx的单调递减区间【解答】解：yx2lnx的定义域为（0，+），y，由y0得：0x1，函数yx2lnx的单调递减区间为（0，1故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题6（4分）曲线yxex+1在点（0，1）处的切线方程是（）Axy+10B2xy+10Cxy10Dx2y+20【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：yxex+1，f（x）xex+ex，当x0时，f（0）1得切线
9、的斜率为1，所以k1；所以曲线yf（x）在点（0，1）处的切线方程为：y11（x0），即xy+10故选：A【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题7（4分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（）ABy4xCDy2x【分析】由已知条件推导出b2a，由此能求出此双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，b2a，双曲线的渐近线方程为：y2x故选：D【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线基本性质的合理运用8（4分）已知抛物线C：y22px
10、（p0）的焦点为F，直线y4与C的交点为P，与y轴的交点为Q，且，则点P的坐标为（）A（2，4）BC（4，4）D【分析】根据抛物线的性质以及已知可得P（p，4）再将其代入抛物线可得【解答】解：如图：由抛物线的性质可得：|PF|PQ|+，|PQ|+|PQ|，|PQ|p，P（p，4），将其代入y22px可得162p2，解得p2，所以P（2，4）故选：B【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题9（4分）设椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，A是两曲线的一个公共点，则|AF1|AF2|的值等于（）A3B4C5D6【分析】分别求得椭圆和双曲线的a，a，运用椭圆和双曲线的定义，解方程即可得到所求值【解答】
11、解：椭圆的a，和双曲线的a，设|AF1|m，|AF2|n，由椭圆的定义可得m+n2，由双曲线的定义可得|mn|2，由22，可得mn3，故选：A【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和运用，考查运算能力，属于基础题10（4分）已知a，b（0，e），且ab，则下列式子中正确的是（）AalnbblnaBalnbblnaCalnablnbDalnablnb【分析】先构造函数，利用导数判断函数在（0，e）上的单调性，即可得到alnbblna，再构造函数g（x）xlnx，判断函数的单调性，即可解决【解答】解：设，则，在（0，e）上，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（a）f（b），即；设g（x）xln
12、x，则g（x）1+lnx，当时，g（x）0，g（x）单调递减，当时，g（x）0，g（x）单调递增，C，D均不正确，故选：B【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及导数的应用，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）双曲线x21的离心率是2，渐近线方程是y【分析】双曲线x21中，a1，b，c2，即可求出双曲线的离心率与渐近线方程【解答】解：双曲线x21中，a1，b，c2，e2，渐近线方程是yx故答案为：2，y【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础12（6分）已知函数f（x）4lnx+ax26x（a为常数），若x2
13、为f（x）的一个极值点，则f（2）0a1【分析】函数f（x）4lnx+ax26x（a为常数），f（x）+2ax6根据x2为f（x）的一个极值点，可得f（2）0，解得a【解答】解：函数f（x）4lnx+ax26x（a为常数），f（x）+2ax6x2为f（x）的一个极值点，f（2）2+4a60，解得a1故答案为：0，1【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（6分）已知a，bR且（a+bi）23+4i（i是虚数单位）则a2b23，ab2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解【解答】解：由（a+bi）2a2b2+2a
14、bi3+4i，得a2b23，2ab4，即ab2故答案为：3，2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题14（6分）若M是抛物线x24y上一点，且|MF|5，O为坐标原点，则该抛物线的准线方程为y1线段|MO|，【分析】根据抛物线的性质可得M的坐标，再用两点间的距离公式可得【解答】解：根据抛物线的方程可得p2，该抛物线的准线方程为y1；yM（1）|MF|5，yM4，xM4，|MO|4故答案为：y1，4【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题15（4分）已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是【分析】先根据题意a2b，c并且a
15、2b2+c2求出a，b，c的值，代入标准方程得到答案【解答】解：根据题意知a2b，c又a2b2+c2a24 b211故答案为：1【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，要注意双曲线与椭圆a、b、c三者关系的不同属基础题16（4分）已知函数f（x）xex+c有两个零点，则c的取值范围是（0，）【分析】求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论【解答】解：函数f（x）xex+c的导函数f（x）（x+1）ex，令f（x）0，则x1，当x（，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；故当x1时，函数取最小值f（1）e1+c，
16、若函数f（x）xex+c有两个零点，则f（1）e1+c0，即c，又c0时，x（，1）时，f（x）xex+c0恒成立，不存在零点，故c0综上0c，故答案为：（0，）【点评】本题考查函数方程转化问题的解法，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，利用导数是解决本题的关键17（4分）已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为【分析】由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值【解答】解：如图，由题意，A（c，），F2（c，0），C（x，
17、y），即为（x+c，y+）3（xc，y），3yy+，x+c3x3cC（2c，），代入椭圆+1，可得+1，由b2a2c2，整理得5c2a2，解得e故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量的坐标运算在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知复数，其中i为虚数单位，aR（）若zR，求实数a的值；（）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围【分析】（）先进行化简，结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可（）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（），若zR，则，（）
18、若z在复平面内对应的点位于第一象限，则对应点的坐标为（，），则且，解得，即a的取值范围为【点评】本题主要考查复数的计算以及复数几何意义的应用，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键19（15分）已知函数（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数f（x）在区间0，2上的值域【分析】（）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（）求得f（x）的导数，可得单调性和极值，求得区间端点处的函数值，可得所求值域【解答】解：（），f（x）3x2x，而，故切点为，斜率为2，所以曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y2（x1），即为4x2y30；
19、（）由f（x）3x2xx（3x1），令f（x）0，解得x0或，当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表：x02g（x）00+g（x）0 减极小值增6所以函数f（x）在区间0，2上的值域为【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和极值、最值，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题20（15分）如图，已知抛物线C：y24x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点（）若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；（）若|AB|20，求直线l的方程【分析】（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（II）设直线l的方程为yk（x1），与抛物线方程联立化为k2x2（4+2
20、k2）x+k20，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|x1+x2+p即可得到k【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，由，可得（y1+y2）（y1y2）4（x1x2），4kl4，解得kl1由y24x得焦点F（1，0）直线l的方程为：yx1（II）设直线l的方程为yk（x1），联立化为k2x2（4+2k2）x+k20，|AB|x1+x2+p，解得k直线l的方程为【点评】本题考查了“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式|AB|x1+x2+p等基础知识与基本技能方法，属于难题21（1
21、5分）已知函数f（x）xlnx+ax21，且f（1）1（1）求a的值；（2）若对于任意x（0，+），都有f（x）mx1，求m的最小值【分析】（1）求出导数，利用f（1）1，求解即可（2）设g（x）lnxx，则，判断函数的单调性，求出最值即可得到结果【解答】解：（1）对f（x）求导，得f（x）1+lnx+2ax，所以f（1）1+2a1，解得a1（2）由f（x）mx1，得xlnxx2mx0，因为x（0，+），所以对于任意x（0，+），都有lnxxm设g（x）lnxx，则，令g（x）0，解得x1，当x变化时，g（x）与g（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）g（x）+0g（x）增极大值减所
22、以当x1时，g（x）maxg（1）1，因为对于任意x（0，+），都有g（x）m成立，所以m1，所以m的最小值为1【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力22（15分）在RtABC中，CAB90，AB2，AC，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）直线l：yx+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值【分析】（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系由|PA|+|PB|CA|+|CB|+2，知动点轨迹为椭圆，由此能求出其方程（2）将yx+t代入方程+y21，得3x2+4tx+2t220设M（x1，y1）、N（x2，y2），再由根的判别式和根与系数的关系进行求解【解答】解：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系|PA|+|PB|CA|+|CB|+2，动点轨迹为椭圆，且a，c1，从而b1方程为+y21（2）将yx+t代入方程+y21，得3x2+4tx+2t220设M（x1，y1）、N（x2，y2），16t243（2t22）0，x1+x2，x1x2，由得t23，SMANB|AB|y1y2|y1y2|x1x2|【点评】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和应用，解题时要注意公式的灵活运用
