1、2018-2019 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|yln（12x），Bx|ex1，则（ ） AABx|x0 BABx|0x CARBx|x D （RA）BR 2 （5 分）已知，若 f（x）xa为奇函数，且在（0，+）上单 调递增，则实数 a 的取值是（ ） A1，3 B，3 C1，3 D，3 3 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在（
2、0，+）上单调递增的是（ ） Ayx3 Bycosx C Dyln|x| 4 （5 分）若 alog38，b21.2，c0.33.1，则（ ） Acab Babc Cbac Dacb 5 （5 分）已知 aR，则“a2”是“a22a”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）已知函数 f（x）loga（4ax）在0，2上是单调递减函数，则实数 a 的取值范 围为（ ） A （0，1） B （1，+） C （1，2） D （2，+） 7 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x+1）f（x3） ，当 x（2，0） 时，
3、f（x）2x，则 f（1）+f（4）等于（ ） A1 B C D1 8 （5 分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭， 得到如下统计数据表： 收入 x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 第 2 页（共 21 页） 支出 y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一 户收入为 15 万元家庭年支出为（ ） A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元 9 （5 分）已知定义在1a，2a5上的偶函数 f（x）在0，2a5上单调递增，则函数 f （x）的解析式
4、不可能是（ ） Af（x）x2+a Bf（x）a|x| Cf（x）xa Df（x）loga（|x|+2） 10 （5 分）已知函数 yf（x）在区间（，0）内单调递增，且 f（x）f（x） ，若 a f（）bf（2 1.2） ，cf（ ） ，则 abc 的大小关系为（ ） Abca Bacb Cbac Dabc 11 （5 分）数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f（x） ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了 这个函数的一条性质： 甲：在（，0上函数单调递减；乙：在0，+）上函数单调递增； 丙：函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称；丁：f（0）不是函数的最小值 老师说： 你们四个同学中恰好有
5、三个人说的正确， 那么， 你认为说法错误的同学是 （ ） A甲 B乙 C丙 D丁 12 （5 分）已知 f（x）x2，g（x）（）xm，若对任意的 x11，3，存在 x20， 1，使 f（x1）g（x2） ，则 m 的取值范围是（ ） A，+） B8，+） C1，+） D，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数，则 f（f（1） ） 14 （5 分）已知命题 p：x0R，ax02+x0+0若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围 是 15 （5 分）函数 f（x）是周期为 4 的偶函数，当 x0，2时
6、，f（x）log2（x+1）1，则 不等式 xf（x）0 在1，3上的解集为 16 （5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB底面 ABCD，O 为对 第 3 页（共 21 页） 角线 AC 与 BD 的交点，若 PB1，APBBAD，则三棱锥 PAOB 的外接球 的体积是 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）设函数 f（x）|2x+1|x4| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若存在 xR 使得 f（x）m 成立，求实数 m
7、 的最小值 18 （12 分）设函数 ylg（x2+4x3）的定义域为 A，函数 y，x（0，m）的值域 为 B （1）当 m2 时，求 AB； （2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 19 （12 分） “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友 参与了“微信运动” ，他随机选取了其中的 40 人（男、女各 20 人） ，记录了他们某一天 的走路步数，并将数据整理如下： 积极型 懈怠型 总计 男 女 总计 02000 2001 5000 5001 8000 8001 10000 10000 男 1 2 3 6 8 女 0 2 10 6 2
8、 第 4 页（共 21 页） （） 若采用样本估计总体的方式， 试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过 5000 步的概率； （）已知某人一天的走路步数超过 8000 步被系统评定“积极型” ，否则为“懈怠型” ， 根据题意完成下面的 22 列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为“评定类型” 与“性别”有关？ 附：， P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 20 （12 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx+c 满足：，且 f（x）2x 的解集为 （1）求 f（x）的解析式； （2）设 g（x）f（x）mx
9、（mR） ，若 g（x）在 x1，2上的最小值为4，求 m 的值 21 （12 分）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1，侧面 ABB1A1为菱形，侧面 ACC1A1为正方 形，侧面 ABB1A1侧面 ACC1A1 （）求证：A1B平面 AB1C； （）若 AB2，ABB160，求三棱锥 C1COB1的体积 22 （12 分）已知函数 f（x） （1）当 a4，b2 时，求满足 f（x）2x的 x 的值； （2）若函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数 存在 t1，1，使得不等式 f（t2t）f（2t2k）有解，求实数 k 的取值范围； 第 5 页（共 21 页） 若函数 g（x）满足 f（x
10、） g（x）+22x2 x，若对任意 xR 且 x0，不等式 g（2x） mg（x）10 恒成立，求实数 m 的最大值 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省南昌市八一中学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等学、洪都中学、麻丘高中等 七校高二（下）期末数学试卷（文科）七校高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合
11、Ax|yln（12x），Bx|ex1，则（ ） AABx|x0 BABx|0x CARBx|x D （RA）BR 【分析】求解函数定义域化简 A，求解指数不等式化简 B，再由交、并、补集的混合运算 得答案 【解答】解：Ax|yln（12x）x|x，Bx|ex1x|x0， ABR， ABx|0x， ARBx|x0， （RA）Bx|x0 故选：B 【点评】本题考查函数定义域的求法，考查指数不等式的解法，考查交、并、补集的混 合运算，是基础题 2 （5 分）已知，若 f（x）xa为奇函数，且在（0，+）上单 调递增，则实数 a 的取值是（ ） A1，3 B，3 C1，3 D，3 【分析】根据幂函数的
12、性质分别进行判断即可 【解答】解：若 f（x）在（0，+）上单调递增，则 0，排除 A，C， 当 2 时，f（x）x2为偶函数，不满足条件 当 时，f（x）为非奇非偶函数，不满足条件 第 7 页（共 21 页） 当 3 时，f（x）x3为奇函数，满足条件 当 时，f（x）为奇函数，满足条件 故选：B 【点评】本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性的性质的判断，结合幂函数的定义和性 质是解决本题的关键 3 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx3 Bycosx C Dyln|x| 【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性 【解答】解：A函数 yx3为奇函数，在（0
13、，+）上单调递增，所以 A 不合适 B函数 ycosx 为偶数，但在（0，+）上不单调，所以 B 不合适 C函数 y为偶函数，在（0，+）上单调递减，所以 C 不合适 D函数 yln|x|为偶函数，在（0，+）上单调递增，所以 D 合适 故选：D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见基本函数的奇偶 性和单调性 4 （5 分）若 alog38，b21.2，c0.33.1，则（ ） Acab Babc Cbac Dacb 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小 【解答】解：1log33log38log392，21.2212，00.33.10.301， 1a2，b2
14、，0c1， bac 故选：C 【点评】本题考查了指数函数，对数函数单调性应用，属于中档题 5 （5 分）已知 aR，则“a2”是“a22a”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】当 aR 时，由“a2”推导不出“a22a” ， “a22a”“0a2” ，故“a 2”是“a22a”的必要不充分条件 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：“0a2”“a22a” ， “a0”“a22a” ， “a0”“a22a” “a22a”“0a2” ， “a2”是“a22a”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用
15、，是基础题，解题时要 认真审题，仔细解答，注意不等式性质的灵活运用 6 （5 分）已知函数 f（x）loga（4ax）在0，2上是单调递减函数，则实数 a 的取值范 围为（ ） A （0，1） B （1，+） C （1，2） D （2，+） 【分析】由题意可得可得 a1，且 4a20，由此求得实数 a 的取值范围 【解答】解：由题意可得，a0，且 a1，故函数 t4ax 在区间0，2上单调递减 再根据 yloga（4ax）在区间0，2上单调递减，可得 a1，且 4a20， 解得 1a2， 故选：C 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的 数学思想，属于基础
16、题 7 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x+1）f（x3） ，当 x（2，0） 时，f（x）2x，则 f（1）+f（4）等于（ ） A1 B C D1 【分析】根据条件即可求出 f（0）0，f（1），而由 f（x+1）f（x3）即可得出 f（4）f（0）0，从而得出 f（1）+f（4）的值 【解答】解：f（x）是 R 上的奇函数，且 x（2，0）时，f（x）2x； f（0）0，f（1）f（1） 由 f（x+1）f（x3） ，得 f（x+4）f（x） ； f（x）的周期为 4 f（4）f（0+4）f（0）0 第 9 页（共 21 页） f（1）+f（4） 故选：C
17、【点评】本题考查奇函数的定义，周期函数的定义，已知函数求值的方法，是基础题 8 （5 分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭， 得到如下统计数据表： 收入 x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一 户收入为 15 万元家庭年支出为（ ） A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元 【分析】由题意可得 和 ，可得回归方程，把 x15 代入方程求得 y 值即可 【解答】解：由题意可得 （8.2+8.6+10.
18、0+11.3+11.9）10， （6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）8， 代入回归方程可得 80.76100.4， 回归方程为 0.76x+0.4， 把 x15 代入方程可得 y0.7615+0.411.8， 故选：B 【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题 9 （5 分）已知定义在1a，2a5上的偶函数 f（x）在0，2a5上单调递增，则函数 f （x）的解析式不可能是（ ） Af（x）x2+a Bf（x）a|x| Cf（x）xa Df（x）loga（|x|+2） 【分析】根据题意，由偶函数的定义可得（1a）+（2a5）0，解可得 a4，即可 得函数 f（x）在0，3
19、上为增函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即 可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）为定义在1a，2a5上的偶函数 f（x） ， 则（1a）+（2a5）0，解可得 a4， 第 10 页（共 21 页） 且函数 f（x）在0，3上为增函数， 据此依次分析选项： 对于 A，f（x）x2+4，是偶函数且在0，3上为增函数， 对于 B，f（x）4|x|，是偶函数但在0，3上为减函数， 对于 C，f（x）x4，是偶函数且在0，3上为增函数， 对于 D，f（x）loga（|x|+2） ，是偶函数，在0，3上，f（x）loga（x+2）为增函数， 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性
20、与单调性的判断，注意先求出 a 的值，属于基础题 10 （5 分）已知函数 yf（x）在区间（，0）内单调递增，且 f（x）f（x） ，若 a f（）bf（2 1.2） ，cf（ ） ，则 abc 的大小关系为（ ） Abca Bacb Cbac Dabc 【分析】 根据 f （x） f （x） 即可得出 af （log23） ， 从而可比较出， 而根据偶函数在区间（，0）内单调递增，便可得出 f（x）在（0，+）内单调递减， 这样即可得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：根据条件：f（log23） ； ； ； 又偶函数 f（x）在（，0）内单调递增； f（x）在（0，+）上单调递减； ；
21、 bca 故选：A 【点评】考查对数的运算，偶函数的定义，指数函数的单调性，以及偶函数在对称区间 上的单调性特点 11 （5 分）数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f（x） ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了 这个函数的一条性质： 甲：在（，0上函数单调递减；乙：在0，+）上函数单调递增； 丙：函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称；丁：f（0）不是函数的最小值 第 11 页（共 21 页） 老师说： 你们四个同学中恰好有三个人说的正确， 那么， 你认为说法错误的同学是 （ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】如果甲乙正确，那么丙丁都是错的，与题干矛盾；根据函数图象的性质，乙丙 不会同时成
22、立，故乙的说法错误 【解答】解：假设甲，乙两个同学回答正确， 在0，+）上函数单调递增；丙说“在定义域 R 上函数的图象关于直线 x1 对称” 错误 此时 f（0）是函数的最小值，丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人 说的正确”矛盾 只有乙回答错误 故选：B 【点评】这是一道根据函数性质来判断、逻辑推理四个说法三个正确的题，要求对函数 性质、图象掌握的非常娴熟 12 （5 分）已知 f（x）x2，g（x）（）xm，若对任意的 x11，3，存在 x20， 1，使 f（x1）g（x2） ，则 m 的取值范围是（ ） A，+） B8，+） C1，+） D，+） 【分析】对于任意的 x1，
23、总存在 x2使 f（x1）g（x2）成立，只需函数转化为 f（x）min g（x）min，从而得解 【解答】解：若对意 x11，3，存在 x20，1， 使得 f（x1）g（x2）成立， 只需 f（x）ming（x）min， x11，3，f（x）x20，9， 即 f（x）min0； x20，1，g（x）（）xm，1m，即 g（x）min， ， 解得， 第 12 页（共 21 页） m，+） ， 故选：D 【点评】本题主要考查函数恒成立问题，函数的单调性及其应用，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数，
24、则 f（f（1） ） 1 【分析】根据函数的解析式先求出 f（1）的值，进而求得 f（f（1） ）的值 【解答】解：函数，则 f（1）3 1 ， f（f（1） ）f（）1， 故答案为1 【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值，属于基础题 14 （5 分）已知命题 p：x0R，ax02+x0+0若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围 是 （，+） 【分析】假设命题 p 为真命题，运用判别式大于等于 0，求得 a 的范围，再求补集可得所 求范围 【解答】解：命题 p：x0R，ax02+x0+0 为真命题， 可得14a0， 解得 a， 由命题 p 是假命题，可得 a， 即 a 的取值范围是
25、（，+） 故答案为： （，+） 【点评】本题考查命题的真假，注意运用二次函数的性质和不等式的解法，考查转化思 想和运算能力，属于基础题 15 （5 分）函数 f（x）是周期为 4 的偶函数，当 x0，2时，f（x）log2（x+1）1，则 不等式 xf（x）0 在1，3上的解集为 （1，0）（1，3） 第 13 页（共 21 页） 【分析】根据函数的周期性和奇偶性，求出当 x1，3上的解析式，结合图象将不等 式转化为或，利用数形结合即可得到结论 【解答】解：若 x2，0，则x0，2， 当 x0，2时，f（x）log2（x+1）1， f（x）log2（x+1）1， f（x）是偶函数， f（x）f
26、（x） ， 即当 x2，0时，f（x）log2（x+1）1， 即在一个周期2，2内，f（x）， 若 x2，4，则 x42，0， 即 f（x）f（x4）（x4）1x+3，x2，4， 作出函数 f（x）在2，4上的图象如图： 则当 x1，3时，不等式 xf（x）0， 等价为或， 即 1x3 或1x0， 即（1，0）（1，3） ， 故答案为： （1，0）（1，3） 【点评】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数的奇偶性和周期性求出函数的解 析式，利用数形结合是解决本题的关键 第 14 页（共 21 页） 16 （5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB底面 ABCD，O
27、 为对 角线 AC 与 BD 的交点，若 PB1，APBBAD，则三棱锥 PAOB 的外接球 的体积是 【分析】易知三角形 AOB 为直角三角形，可知三棱锥 PAOB 的外接球球心在过 AB 中 点且垂直底面的直线上，即 PA 中点 M，求解就容易了 【解答】解：如图，底面 ABCD 为菱形， OAOB， AB 中点 N 为AOB 的外心， 取 PA 中点 M， 则 MNPB， PB底面 ABCD， MN底面 ABCD， M 为三棱锥 PAOB 的外接球球心， PB1，APB， AP2， 外接球半径为 1， 体积为， 故答案为： 第 15 页（共 21 页） 【点评】此题考查了三棱锥的外接球，
28、难度适中 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）设函数 f（x）|2x+1|x4| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若存在 xR 使得 f（x）m 成立，求实数 m 的最小值 【分析】 （1）求出 f（x）的分段函数的形式，通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即 可； （2）求出 f（x）的最小值，从而求出 m 的最小值即可 【解答】解： （1）， ， 即或或 x， （6 分） （2）由（1）知，函数， 存在 xR 使得 f（x）m 成立 f（x）mi
29、nm， ， （12 分） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题 第 16 页（共 21 页） 18 （12 分）设函数 ylg（x2+4x3）的定义域为 A，函数 y，x（0，m）的值域 为 B （1）当 m2 时，求 AB； （2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）先求出 A（1，3） ，再求出 B（，2） ，取交集即可； （2）根据： “xA” 是“xB”的必要不充分条件，得不等式解出即可 【解答】解： （1）由x2+4x30，解得：1x3，A（1，3） ， 又函数 y在区间（0，m）上单调递减， y（，2） ，
30、即 B（，2） ， 当 m2 时，B（，2） ，AB（1，2） ； （2）首先要求 m0， 而“xA”是“xB”的必要不充分条件， BA，即（，2）（1，3） ， 从而1，解得：0m1 【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题 19 （12 分） “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友 参与了“微信运动” ，他随机选取了其中的 40 人（男、女各 20 人） ，记录了他们某一天 的走路步数，并将数据整理如下： 积极型 懈怠型 总计 男 女 总计 02000 2001 5000 5001 8000 8001 10000 10000 男 1 2 3 6 8 第 1
31、7 页（共 21 页） 女 0 2 10 6 2 （） 若采用样本估计总体的方式， 试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过 5000 步的概率； （）已知某人一天的走路步数超过 8000 步被系统评定“积极型” ，否则为“懈怠型” ， 根据题意完成下面的 22 列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为“评定类型” 与“性别”有关？ 附：， P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 【分析】 （）求出 40 人中该日走路步数超过 5000 步的频率，即可得出结论； （）根据所给数据得出列联表，计算观测值 K2，与临
32、界值比较得出结论 【解答】 解： （）由题意知， 40 人中该日走路步数超过 5000 步的有 35 人， 频率为 ， 所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过 5000 步的概率为； （）由表中数据，填写列联表如下； 积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计 22 18 40 计算观测值 K23.841， 所以没有 95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关 【点评】本题考查了概率的计算以及考查独立性检验知识的应用问题，是中档题 20 （12 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx+c 满足：，且 f（x）2x 的解集为 （1）求 f（x）的解析式； （2）设
33、 g（x）f（x）mx（mR） ，若 g（x）在 x1，2上的最小值为4，求 m 第 18 页（共 21 页） 的值 【分析】 （1）由函数图象关于直线 x对称，得到 a2b，再由 f（x）2x 的解集为 得到相应方程的根为 x11，x2且 a0，结合根与系数的关系可得关于 a、b、c 方程组，由此联解即可得到 a、b、c 的值，从而得到求 f（x）的解析式； （2）由（1）得函数 g（x）2x2+（1m）x3，图象关于直线 x对称因此分 m3 时、3m9 时和 m9 时三种情况，根据函数的单调性列出各种情况下的最 小值为 4 的式子，解出 m 的值并结合大前提进行取舍，最后综合即可得到符合题
34、意的实 数 m 的值 【解答】解： （1）二次函数 f（x）ax2+bx+c 满足 f（+x）f（x） 函数的图象关于直线 x对称，可得 即 a2b 又不等式 f（x）2x，即 ax2+（b2）x+c0 的解集为（1，） 方程 ax2+（b2）x+c0 的两根分别为 x11，x2且 a0 根据根与系数的关系，得 联解得：a2，b1，c3 函数 f（x）的解析式为：f（x）2x2+x3 （2）函数 g（x）2x2+（1m）x3 图象的对称轴方程为：x 当1 时，即 m3 时，g（x）ming（1）m2 由 m24 得 m23 不符合题意 当12 时，即3m9 时，g（x）ming（）4， 解得：
35、m1+2或 m123，9，符合题意 当2 时，即 m9 时，g（x）ming（2）72m 由 72m4 得 m5不符合题意 综上所述，符合题意的实数 m 的值为 12 【点评】本题给出二次函数含有字母参数的表达式，在已知函数图象对称轴的情况下求 第 19 页（共 21 页） 函数的表达式，并讨论另一个函数的最小值，着重考查了二次函数的图象与性质、一元 二次方程根与系数的关系，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题 21 （12 分）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1，侧面 ABB1A1为菱形，侧面 ACC1A1为正方 形，侧面 ABB1A1侧面 ACC1A1 （）求证：A1B平面 AB1C；
36、（）若 AB2，ABB160，求三棱锥 C1COB1的体积 【分析】 （）由已知条件可得 AC平面 ABB1A1，A1BAC，又侧面 ABB1A1为菱形， 可得 A1BAB1，从而可得 A1B平面 AB1C； （）由 A1C1AC，得 A1C1平面 AB1C，又三棱锥 C1COB1的体积等于三棱锥 A1 COB1的体积，A1B平面 AB1C，则 A1O 为三棱锥 A1COB1的高，结合已知条件可求 出的值，再由体积公式即可求出三棱锥 C1COB1的体积 【解答】解： （）侧面 ABB1A1侧面 ACC1A1，侧面 ACC1A1为正方形， AC平面 ABB1A1，A1BAC， 又侧面 ABB1A
37、1为菱形， A1BAB1， A1B平面 AB1C； （）A1C1AC， A1C1平面 AB1C， 三棱锥 C1COB1的体积等于三棱锥 A1COB1的体积， A1B平面 AB1C， A1O 为三棱锥 A1COB1的高， AB2，ABB160， 第 20 页（共 21 页） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱锥的体积，考查空间想象能力，逻辑 思维能力，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x） （1）当 a4，b2 时，求满足 f（x）2x的 x 的值； （2）若函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数 存在 t1，1，使得不等式 f（t2t）f（2t2k）有解，求实数 k 的取值范
38、围； 若函数 g（x）满足 f（x） g（x）+22x2 x，若对任意 xR 且 x0，不等式 g（2x） mg（x）10 恒成立，求实数 m 的最大值 【分析】 （1）由题意可得2x，解方程可得 x； （2）由 f（x）为奇函数，可得 a，b 的值，进而得到 f（x）的解析式，判断 f（x）的单 调性， 由题意可得 f（t2t）f（2t2k） ，所以 t2t2t2k，由参数分离和二次函数的最 值，可得 k 的范围； 由条件求得 g（x）2x+2 x（x0） ，运用换元法和基本不等式，计算可得 m 的最大 值 【解答】解： （1）因为 a4，b2，所以2x， 化简得（2x）232x40， 即
39、2x4（1 舍去） ， 所以 x2； （2）因为 f（x）是奇函数， 所以 f（x）+f（x）0，所以+0， 化简并变形得： （a+b） （2x+2 x）+2ab+20， 要使上式对任意的 x 成立，则 a+b0 且 ab+10， 解得 a1，b1 或 a1，b1， 第 21 页（共 21 页） 因为 f（x）的定义域是 R，所以 a1，b1 舍去， 所以 a1，b1，所以 f（x）； f（x）1 对任意 x1，x2R，x1x2有： f（x1）f（x2）， 因为 x1x2，所以 2x12x2，即 2x12x20，所以 f（x1）f（x2） ， 因此 f（x）在 R 上递增 因为 f（t2t）f
40、（2t2k） ，所以 t2t2t2k， 即 kt2+t 在 t1，1时有解 当 t1，1时，t2+t 的最大值为 2，所以 k2； 因为 f（x） g（x）+22x2 x， 所以 g（x）2x+2 x（x0） ， 所以 g（2x）22x+2 2x（2x+2x）22 不等式 g（2x）mg（x）10 恒成立， 即（2x+2 x）22m（2x+2x）10， 令 t2x+2 x，t2，则 mt+ 在 t2 时恒成立 因为 t2，由基本不等式可得：t+4，当且仅当 t2时，等号成立 所以 m4，则实数 m 的最大值为 4 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式恒成立和有解的条 件，考查化简整理的运算能力，属于中档题
