1、已知ABC 三个顶点到平面 的距离分别是 3，3，6，则其重心到平面 的距离 为 （写出所有可能值） 8 （3 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，若动点 P 在线段 BD1上运动，则的 取值范围是 9 （3 分） 如图所示， 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中， AC 与 BD 相交于 O， 剪去AOB， 将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A、 （B） 、C、D、O 为顶点的四面 体的体积为 第 2 页（共 29 页） 10 （3 分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 3x+4y 的最大 值为 11 （3 分）已知 A、B
2、、C、P 为半径为 R 的球面上的四点，其中 AB、AC、BC 间的球面距 离分别为、，若，其中 O 为球心，则 x+y+z 的最 大值是 12 （3 分）如图，在四面体 ABCD 中，E，F 分别为 AB，CD 的中点，过 EF 任作一个平面 分别与直线 BC，AD 相交于点 G，H，则下列结论正确的是 对于任意的平面 ，都有直线 GF，EH，BD 相交于同一点； 存在一个平面 0，使得点 G 在线段 BC 上，点 H 在线段 AD 的延长线上； 对于任意的平面 ，都有 SEFGSEFH； 对于任意的平面 ，当 G，H 在线段 BC，AD 上时，几何体 ACEGFH 的体积是一个 定值 第
3、3 页（共 29 页） 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一 周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A B C2 D4 14 （3 分）如图，在大小为 45的二面角 AEFD 中，四边形 ABFE 与 CDEF 都是边长 为 1 的正方形，则 B 与 D 两点间的距离是（ ） A B C1 D 15 （3 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘 之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高
4、h，计算其体积 V 的近似 公式 VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A B C D 16 （3 分）在正方体 ABCDABCD中，若点 P（异于点 B）是棱上一点，则满足 BP 与 AC所成的角为 45的点 P 的个数为（ ） A0 B3 C4 D6 二、解答题二、解答题 17现在四个正四棱柱形容器，1 号容器的底面边长是 a，高是 b；2 号容器的底面边长是 b， 高是 a；3 号容器的底面边长是 a，高是 a；4 号容器的底面边长是 b，高是 b假设 ab， 第 4 页（共 29 页） 问是否存在
5、一种必胜的 4 选 2 的方案（与 a、b 的大小无关） ，使选中的两个容器的容积 之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由 18如图，已知圆锥底面半径 r20cm，O 为底面圆圆心，点 Q 为半圆弧的中点，点 P 为母线 SA 的中点，PQ 与 SO 所成的角为 arctan2，求： （1）圆锥的侧面积； （2）P，Q 两点在圆锥侧面上的最短距离 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，DAB 为直角，ABCD，ADCD 2AB2PA2，E、F 分别为 PC、CD 的中点 （1）试证：CD平面 BEF； （2）求 BC 与平面 BEF 所成角的大
6、小； （3）求三棱锥 PDBE 的体积 20如图，PABC 是底面边长为 1 的正三棱锥，D、E、F 分别为棱长 PA、PB、PC 上的点， 截面 DEF底面 ABC， 且棱台 DEFABC 与棱锥 PABC 的棱长和相等 （棱长和是指多 面体中所有棱的长度之和） （1）证明：PABC 为正四面体； （2）若，求二面角 DBCA 的大小（结果用反三角函数值表示） ； （3）设棱台 DEFABC 的体积为 V，是否存在体积为 V 且各棱长均相等的直平行六面 第 5 页（共 29 页） 体，使得它与棱台 DEFABC 有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平 行六面体，并给出证明；若不存
7、在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截 面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥 PABC 的体积减去棱锥 P DEF 的体积） 21火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物建在水源不十分充 分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的 热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔此类 冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为 75150 米，底边直径 65120 米双曲线 型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风 力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但
8、体形高大，施工复杂，造价较高 （以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请 忽略图 1） （1）图 2 为一座高 100 米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚） ，其底面直径 大于上底直径 已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为 100m，俯视图为三个同心圆， 其半径分别 为 40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m 为长 度单位米） （2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线： ，y0，yh，绕 y 轴旋转形成的旋转体的体积为 （用 a，b，h 表示） 第 6 页（共 29 页） （
9、用积分计算不得分，图 3、图 4） 现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁 最厚为 0.4m（底 部） ，最薄处厚度为 0.3m（喉部，即左右顶点处） 试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标 准方程是 ， 并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是 m3（计算时 取 3.14159， 保留到个位即可） （3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工 和辅助机械）的计 算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内 超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加现已知：距离地面 高度 3
10、0 米（含 30 米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400 元/立方米；30 米到 40 米（含 40 米） 每立方米 的施工费用为 800 元/立方米；40 米以上，平均高度每增加 1 米，每立方米的施工费用增 加 100 元 试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元） 第 7 页（共 29 页） 2018-2019 学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定 1 或 2 或 3 个平面 【分析】讨论这两条直线的位置情况，
11、从而得出三条直线所确定的平面数 【解答】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面， 共确定 3 个平面； 如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定 1 个平面； 如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定 2 个平面； 如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定 1 个平面 综上，这三条直线共可确定 1 或 2 或 3 个平面 故答案为：1 或 2 或 3 【点评】本题考查了由直线确定平面的应用问题，是平面的基本性质与推论的应用问题， 是基础题目 2 （3 分）已知球的体积为 36，则该球主视图的面积等于 9 【分析】由球的体积公式，可得半径 R3，再由主
12、视图为圆，可得面积 【解答】解：球的体积为 36， 设球的半径为 R，可得R336， 可得 R3， 该球主视图为半径为 3 的圆， 可得面积为 R29 故答案为：9 【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于 基础题 第 8 页（共 29 页） 3 （3 分）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16，则 a 4 【分析】由题意可得（aasin60） a16，由此求得 a 的值 【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形，面积为aa sin60，正棱柱的高为 a， （aasin60） a16，a4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查
13、正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题 4 （3 分）如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的 直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系， 若的坐标为 （4， 3， 2） ， 则的坐标是 （ 4，3，2） 【分析】由的坐标为（4，3，2） ，分别求出 A 和 C1的坐标，由此能求出结果 【解答】解：如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点， 过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 的坐标为（4，3，2） ，A（4，0，0） ，C1（0，3，2） ， 故答案为： （4，3，2） 【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考
14、查空间直角坐标系等基础知识，考查运算 求解能力，考查数形结合思想，是基础题 第 9 页（共 29 页） 5 （3 分）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 arccos （结 果用反三角函数值表示） 【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角 【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为 ， 圆锥的侧面积是底面积的 3 倍， 3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍， 故圆锥的轴截面如下图所示： 则 cos， arccos， 故答案为：arccos 【点评】 本题考查的知
15、识点是旋转体， 其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，是解答的关键 6 （3 分）已知圆柱 的母线长为 l，底面半径为 r，O 是上底面圆心，A，B 是下底面圆周 上两个不同的点， BC是母线， 如图， 若直线OA 与BC所成角的大小为， 则 【分析】过 A 作与 BC 平行的母线 AD，由异面直线所成角的概念得到OAD 为在 直角三角形 ODA 中，直接由得到答案 【解答】解：如图，过 A 作与 BC 平行的母线 AD，连接 OD，则OAD 为直线 OA 与 BC 第 10 页（共 29 页） 所成的角，大小为 在直角三角形 ODA 中，因为，所以 则 故答案为 【点评】本题考
16、查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题 7 （3 分）已知ABC 三个顶点到平面 的距离分别是 3，3，6，则其重心到平面 的距离 为 0，2，4 （写出所有可能值） 【分析】根据题意画出图形，设 A、B、C 在平面 上的射影分别为 A、B、C， ABC 的重心为 G，连接 CG 交 AB 于中点 E，又设 E、G 在平面 上的射影分别为 E、 G，利用平面图形：直角梯形 EECC 中数据可求得ABC 的重心到平面 的距离 GG即可 【解答】解：如图，设 A、B、C 在平面 上的射影分别为 A、B、C，ABC 的 重心为 G， 连接 CG 交 AB 于中点 E，又设 E、G 在
17、平面 上的射影分别为 E、G， 则 EAB，GCE，设 AABB3，CC6，EE3， 由 CG2GE， 在直角梯形 EECC 中可求得 GG4； 当 AB 和 C 在平面 的两侧，由于 EE：CC1：2，可得 GG0； 当 AB 垂直于平面 ，由中位线定理可得 GG2 故答案为：0，2，4 第 11 页（共 29 页） 【点评】本题考查棱锥的结构特征、三角形的重心，考查计算能力，空间想象能力，是 基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点重心到顶点的距离与重心到对边中点的 距离之比为 2：1 8 （3 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，若动点 P 在线段 BD1上运动，则的 取值
18、范围是 0，1 【分析】建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、的坐标，再 由 10，1，可得的取值范围 【解答】解：以所在的直线为 x 轴，以所在的直线为 y 轴，以所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 则 D（0，0，0） 、C（0，1，0） 、A（1，0，0） 、B（1，1，0） 、D1（0，0，1） （0，1，0） 、 （1，1，1） 点 P 在线段 BD1上运动，（，） ，且 01 +（，1，） ， 10，1， 故答案为0，1 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题 9 （3 分） 如图所示， 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中， A
19、C 与 BD 相交于 O， 剪去AOB， 将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A、 （B） 、C、D、O 为顶点的四面 体的体积为 第 12 页（共 29 页） 【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体 积 【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 2的正三棱锥， 高为所以该四面体的体积为 故答案为： 【点评】本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题 10 （3 分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 3x+4y 的最大 值为 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的
20、应用 求出结果 【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为： 所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体， 所以：x21+4y2， 第 13 页（共 29 页） 整理得：x2+y25， 故： （3x+4y）2（32+42） （x2+y2） ， 整理得： 故答案为：5 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察 学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 11 （3 分）已知 A、B、C、P 为半径为 R 的球面上的四点，其中 AB、AC、BC 间的球面距 离分别为、，若，其中 O 为球心，则 x+y+z 的最 大值是 【分析】以 OA，OC 所在直线分别为 x 轴，
21、y 轴建立空间坐标系，求出，的坐 标，根据 P 在球 O 上，得到|的长度为 R，再结合柯西不等式即可得到结论 【解答】解：依题意，OAOC，OBOC，又 OAOBO， 所以 OC平面 OAB， 以 OA，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，O 为坐标原点立空间坐标系， 则（R，0，0） ，（0，R，0） 因为 OA 与 OB 夹角为，所以不妨设（R，R，0） ，如图， 则（ （x+）R，R，R） ， 因为 P 在球 O 上，所以|R， 所以+y2R2+R2， 即+y2+1， 所以由柯西不等式12+12+y2+1（x+）+1y+ x+y+z， 解得 x+y+z 故答案为： 第 14 页（共
22、29 页） 【点评】本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识， 属于中档题 12 （3 分）如图，在四面体 ABCD 中，E，F 分别为 AB，CD 的中点，过 EF 任作一个平面 分别与直线 BC，AD 相交于点 G，H，则下列结论正确的是 ， 对于任意的平面 ，都有直线 GF，EH，BD 相交于同一点； 存在一个平面 0，使得点 G 在线段 BC 上，点 H 在线段 AD 的延长线上； 对于任意的平面 ，都有 SEFGSEFH； 对于任意的平面 ，当 G，H 在线段 BC，AD 上时，几何体 ACEGFH 的体积是一个 定值 【分析】取 AD 的中点 H，BC 的
23、中点 G，则 EGFH 在一个平面内，此时直线 GFEH BD； 不存在一个平面 0，使得点 G 在线段 BC 上，点 H 在线段 AD 的延长线上； 分别取 AC、BD 的中点 M、N，则 BC平面 MENF，AD平面 MENF，且 AD 与 BC 到平面 MENF 的距离相等，可得对于任意的平面 ，都有 SEFGSEFH 第 15 页（共 29 页） 对于任意的平面 ，当 G，H 在线段 BC，AD 上时，可以证明几何体 ACEGFH 的体 积是四面体 ABCD 体积的一半 【解答】解：取 AD 的中点 H，BC 的中点 G，则 EGFH 在一个平面内，此时直线 GF EHBD，因此不正确
24、； 不存在一个平面 0，使得点 G 在线段 BC 上，点 H 在线段 AD 的延长线上； 分别取 AC、BD 的中点 M、N，则 BC平面 MENF，AD平面 MENF，且 AD 与 BC 到平面 MENF 的距离相等，因此对于任意的平面 ，都有 SEFGSEFH 对于任意的平面 ，当 G，H 在线段 BC，AD 上时，可以证明几何体 ACEGFH 的体 积是四面体 ABCD 体积的一半，因此是一个定值 综上可知：只有正确 故答案为： 【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能 力和计算能力，属于难题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知等腰直角三角形的
25、直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一 周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A B C2 D4 【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可 【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体 V2Sh2R2h 2（）2 故选：B 【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力是基础题 14 （3 分）如图，在大小为 45的二面角 AEFD 中，四边形 ABFE 与 CDEF 都是边长 第 16 页（共 29 页） 为 1 的正方形，则 B 与 D 两点间的距离是（ ） A B C1 D 【分析】由，利用数量积运算性质展开即可得出 【解答】解：四边形 AB
26、FE 与 CDEF 都是边长为 1 的正方形，0， 又大小为 45的二面角 AEFD 中，11cos（18045） ， +3， 故选：D 【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 1 的正方形，则 B 与 C 两点间的距离是（ ） 改为则 B 与 D 两点间的距离是（？ 15 （3 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘 之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似 公式 VL2h，它
27、实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A B C D 【分析】根据近似公式 VL2h，建立方程，即可求得结论 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 L2r， （2r）2h， 第 17 页（共 29 页） 故选：B 【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题 16 （3 分）在正方体 ABCDABCD中，若点 P（异于点 B）是棱上一点，则满足 BP 与 AC所成的角为 45的点 P 的个数为（ ） A0 B3 C4 D6 【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方
28、向向量所成的夹角 即可找出所有满足条件的点 P 的个数 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长 AB1，B（1，0，1） ，C（1， 1，1） 在 RtAAC 中，tanAAC，因此AAC45 同理 AB，AD与 AC 所成的角都为 arctan 故当点 P 位于（分别与上述棱平行）棱 BB，BA，BC 上时，与 AC 所成的角都为 arctan，不满足条件； 当点 P 位于棱 AD 上时，设 P（0，y，1） ， （0y1） ，则（1，y，0） ， （1，1，1） 若满足 BP 与 AC所成的角为 45， 则| ，化为 y2+4y+10，无正数解，舍去； 同理，当点 P 位于棱
29、 BC 上时，也不符合条件； 当点 P 位于棱 AD上时，设 P（0，y，0） ， （0y1） ， 第 18 页（共 29 页） 则（1，y，1） ，（1，1，1） 若满足 BP 与 AC所成的角为 45，则| ，化为 y2+8y20， 0y1，解得 y34，满足条件，此时点 P 同理可求得棱 AB上一点 P， 棱 AA 上一点 P 而其它棱上没有满足条件的点 P 综上可知：满足条件的点 P 有且只有 3 个 故选：B 【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所 成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键 二、解答题二、解答题 17现在四个正四棱柱形容器，1 号
30、容器的底面边长是 a，高是 b；2 号容器的底面边长是 b， 高是 a；3 号容器的底面边长是 a，高是 a；4 号容器的底面边长是 b，高是 b假设 ab， 问是否存在一种必胜的 4 选 2 的方案（与 a、b 的大小无关） ，使选中的两个容器的容积 之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由 【分析】存在一种必胜的 4 选 2 的方案（与 a、b 的大小无关） ，使选中的两个容器的容 积之和大于余下的两个容器的容积之和 理由如下： 若选中 3 号容器与 4 号容器， 则 V3+V4 V1+V2，即 a3+b3a2b+ab2（ab，a，b0） 通过作差即可证明结论
31、 【解答】解：存在一种必胜的 4 选 2 的方案（与 a、b 的大小无关） ，使选中的两个容器 的容积之和大于余下的两个容器的容积之和 第 19 页（共 29 页） 理由如下：若选中 3 号容器与 4 号容器，则 V3+V4V1+V2， 即 a3+b3a2b+ab2（ab，a， b0） 证明如下：a3+b3（a2b+ab2）（a+b） （a2ab+b2）ab（a+b）（a+b） （ab）2 ab，a，b0，（a+b） （ab）20 a3+b3a2b+ab2（ab，a，b0） ，即 V3+V4V1+V2 因此存在必胜方案是：选中 3 号容器与 4 号容器 【点评】本题考查了乘法公式、不等式的性质
32、、作差法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 18如图，已知圆锥底面半径 r20cm，O 为底面圆圆心，点 Q 为半圆弧的中点，点 P 为母线 SA 的中点，PQ 与 SO 所成的角为 arctan2，求： （1）圆锥的侧面积； （2）P，Q 两点在圆锥侧面上的最短距离 【分析】 （1）过点 P 作 PH底面圆 O，交 AC 于 H，连接 HQ，求出 HQ 的值， 找出 PQ 与 SO 所成的角，求得 SO、SA 的值，再计算圆锥的侧面积； （2）作圆锥的侧面展开图，找出所求的最短距离，利用余弦定理求出即可 【解答】解： （1）过点 P 作 PH底面圆 O，交 AC 于 H，连接 HQ，
33、圆锥底面半径 r20cm，O 为底面圆圆心，点 Q 为半圆弧的中点，点 P 为母线 SA 的中点， PH，OQAC，OH10，可得：HQ10， PHSO， HPQ 是 PQ 与 SO 所成的角， PQ 与 SO 所成的角为 arctan2， 第 20 页（共 29 页） tanHPQ2， HQ2PHSO，解得 SO10，lSA30， 圆锥的侧面积：Srl2030600（cm2） （2）作圆锥的侧面展开图，线段 PQ 即为所求最短距离 由已知 OQSO，OQSA， OQOA， 故 Q 是弧 AB 的中点，即 Q 是扇形弧的点 因为扇形弧长即为圆锥底面周长 4， 由（1）知 SO10，母线 SA3
34、0， 从而扇形的中心角为， QSA， 在QSA 中，SP15，由余弦定理得：PQ 5， P，Q 两点在圆锥侧面上的最短距离 5cm 第 21 页（共 29 页） 【点评】本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据 几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应 的值，考查了分析和解决问题的能力本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面 上两点间的距离的问题 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，DAB 为直角，ABCD，ADCD 2AB2PA2，E、F 分别为 PC、CD 的中点 （1）试证：CD平面 BEF； （2）求
35、 BC 与平面 BEF 所成角的大小； （3）求三棱锥 PDBE 的体积 【分析】 （1）先证四边形 ABFD 为平行四边形，又DAB 为直角，可得 DCBF，再由 已知证明 DCPD，可得 DCEF，由线面垂直的判定可得 DC平面 BEF； （2）由（1）知，DC平面 BEF，则CBF 为 BC 与平面 BEF 所成角，求解三角形即可； （3）由（1）知，CD平面 PAD，则平面 PDC平面 PAD，在 RtPAD 中，设 A 到 PD 的距离为 h，利用等面积法求得 h，得 A 到平面 PDC 的距离为，即 B 到平面 PDC 的距离为，再利用等体积法求三棱锥 PDBE 的体积 【解答】
36、（1）证明：ABCD，CD2AB，F 为 CD 的中点， 四边形 ABFD 为平行四边形，又DAB 为直角， DCBF， 又 PA底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD， DCAD，故 DC平面 PAD，DCPD， 在PCD 内，E、F 分别是 PC、CD 的中点，EFPD，DCEF 由此得 DC平面 BEF； （2）解：由（1）知，DC平面 BEF，则CBF 为 BC 与平面 BEF 所成角， 第 22 页（共 29 页） 在 RtBFC 中，BFAD2，CF， tan，则 BC 与平面 BEF 所成角的大小为； （3）解：由（1）知，CD平面 PAD，则平面 PDC平面 PAD， 在
37、RtPAD 中，设 A 到 PD 的距离为 h，则 PAADPDh， 得 h，A 到平面 PDC 的距离为， 即 B 到平面 PDC 的距离为， ， VPDBEVBPDE 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多 面体的体积，是中档题 20如图，PABC 是底面边长为 1 的正三棱锥，D、E、F 分别为棱长 PA、PB、PC 上的点， 截面 DEF底面 ABC， 且棱台 DEFABC 与棱锥 PABC 的棱长和相等 （棱长和是指多 面体中所有棱的长度之和） （1）证明：PABC 为正四面体； （2）若，求二面角 DBCA 的大小（结果用反三角函数值表示） ；
38、 （3）设棱台 DEFABC 的体积为 V，是否存在体积为 V 且各棱长均相等的直平行六面 体，使得它与棱台 DEFABC 有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平 行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截 面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥 PABC 的体积减去棱锥 P DEF 的体积） 第 23 页（共 29 页） 【分析】 （1）利用已知条件证明 DEEFFDPDPEPF，DPEEPFFPD 60，从而证明 PABC 为正四面体； （2）PDDA，取 BC 的中点 M，连拉 PM，DMAM说明DMA 为二面角 D BCA 的
39、平面角解三角形 DMA 求二面角 DBCA 的大小； （3）存在满足条件的直平行六面体设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角 为 ，利用该六面体棱长和为 6，体积为sinV求出 arcsin（8V）底面相邻两边 夹角为 arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求 【解答】 （1）证明：棱台 DEFABC 与棱锥 PABC 的棱长和相等， DE+EF+FDPD+OE+PF 又截面 DEF底面 ABC， DEEFFDPDPEPF，DPEEPFFPD60， PABC 是正四面体； （2）解：取 BC 的中点 M，连拉 PM，DMAM BCPM，BCAM，BC平面 PAM，BCDM， 则DMA
40、为二面角 DBCA 的平面角 设 PABC 的各棱长均为 1， PMAM，由 D 是 PA 的中点， 得 sinDMA， 第 24 页（共 29 页） DMAarcsin； （3）存在满足条件的直平行六面体 棱台 DEFABC 的棱长和为定值 6，体积为 V 设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为 ， 则该六面体棱长和为 6，体积为sinV 正四面体 PABC 的体积是，0V，08V1可知 arcsin（8V） 故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为 arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面平行的性质，二面角及其度量， 考查空间想象能力
41、，逻辑思维能力，是中档题 21火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物建在水源不十分充 分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的 热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔此类 冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为 75150 米，底边直径 65120 米双曲线 型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风 力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高 （以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请 忽略图 1） （1
42、）图 2 为一座高 100 米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚） ，其底面直径 大于上底直径 第 25 页（共 29 页） 已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为 100m，俯视图为三个同心圆， 其半径分别 为 40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m 为长 度单位米） （2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线： ，y0，yh，绕 y 轴旋转形成的旋转体的体积为 a2h+ （用 a， b，h 表示） （用积分计算不得分，图 3、图 4） 现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁
43、 最厚为 0.4m（底 部） ，最薄处厚度为 0.3m（喉部，即左右顶点处） 试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标 准方程是 1 ， 并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是 6728 m3（计算时 取 3.14159， 保留到个位即可） （3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工 和辅助机械）的计 算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内 超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加现已知：距离地面 高度 30 米（含 30 米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400 元/立方米；30 米到 40 米
44、（含 40 米） 每立方米 的施工费用为 800 元/立方米；40 米以上，平均高度每增加 1 米，每立方米的施工费用增 加 100 元 试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元） 第 26 页（共 29 页） 【分析】 （1）建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，应用待定系数法可得 a，b，进 而得到所求双曲线的标准方程； （2）应用圆柱和圆锥的体积公式，以及待定系数法，可得所求体积和双曲线的方程； （3）分别计算冷却塔在地面以上 30 米以内的建筑体积和冷却塔在地面 30 米以上和 40 米以下的部分体积，再计算建造本题中的冷却塔的费用 【解答】解： （1）建立平面直角坐标系，如图所示
45、， 设双曲线方程为1，则 a30， 设 B（，n） ，C（40，n100） ， 代入双曲线方程可得： 1 1 由解得 b30，n30 该双曲线的标准方程为； （2）把 yh 代入双曲线方程可得 x1，解得 x2（a2+） ， 第 27 页（共 29 页） 令圆柱的底面半径为 a，高为 h，倒置圆锥的底面半径为，高为 h， 则对任意的 0hh，双曲线旋转体的截面面积为 （a2+） ， 圆柱的截面面积为 a2，设圆锥的截面半径为 r，则，解得 r， 圆锥的截面面积为 ， 双曲线旋转体的截面面积等于圆柱的截面面积与圆锥截面面积的和， 双曲线旋转体的体积圆柱的体积+圆锥的体积 Va2h+ 设冷却塔的内壳双曲线方程为1， 则 a300.329.
