2020年山东省潍坊市高密一中高考数学模拟试卷（含答案解析）

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1、2020 年高考数学模拟测试试卷年高考数学模拟测试试卷一、选择题. 1已知集合 Ay|y2x，x0，Bx|yx ，则 AB（） A1，+） B（1，+） C（0，+） D0，+） 2设（2+i）（3xi）3+（y+5）i（i 为虚数单位），其中 x，y 是实数，则|x+yi|等于（） A5 B C2 D2 3已设 a，b 都是正数，则“loga3logb3”是“3a3b3”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 4甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知3 人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我

2、不是第一名若甲、乙、丙 3 人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是（） A甲 B乙 C丙 D无法预测 5九章算术是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（） A B C D120 6 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A210 B180 C160 D175 7泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”

3、高度，某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100m 到达点 B，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为 30，则“泉标”的高度为（） A50m B100m C120m D150m 8已知函数 f（x）满足 f（2x）+f（2+x）6，，且 f（x）与 g（x）的图象交点为（x1，y1），（x2，y2），（x8，y8），则 x1+x2+x8+y1+y2+y8的值为（） A20 B24 C36 D40 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

4、得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面 m 千米，远地点 B（离地面最远的点）距地面 n 千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2c，则（） Aacm+R Ba+cn+R C2am+n D 10甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球

5、和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（） A B C事件 B 与事件 A1相互独立 DA1，A2，A3是两两互斥的事件 11已知点 P 是双曲线：的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、右焦点， PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的是（） A点 P 的横坐标为 BPF1F2的周长为 C 小于 DPF1F2的内切圆半径为 12已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2，侧棱 AA11，P 为上底面 A1B1C1D1 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（） A若 PD3，则满足条件的 P 点有且只

6、有一个 B若，则点 P 的轨迹是一段圆弧 C若 PD平面 ACB1，则 DP 长的最小值为 2 D若 PD平面 ACB1，且，则平面 BDP 截正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知向量，，，，若满足，且方向相同，则 x 14已知 m 是 2 与 8 的等比中项，则圆锥曲线的离心率是 15对于函数 f（x），若在定义域内存在实数 x0满足 f（x0）f（x0），则称函数 f（x）为“倒戈函数”设 f（x）3x+2m1（mR，且 m0 是定义在1，1上的“倒戈函数”，则实数 m

7、的取值范围是 16已知函数 f（x） sinx，g（x） cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图象的交点，且不共线当 1 时，ABC 面积的最小值为；若存在ABC 是等腰直角三角形，则的最小值为四、解答题：共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17数列an满足：a1+a2+a3 （1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足，求bn的前 n 项和 Tn 18在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知（1）求角 B 的大小；（2）求的取值范围？ 19 如图，三棱柱 ABCA1B1C1中， CACB， BAA

8、145，平面 AA1C1C平面 AA1B1B （1）求证：AA1BC；（2）若 BB1 AB2，直线 BC 与平面 ABB1A1所成角为 45，D 为 CC1的中点，求二面角 B1A1DC1的余弦值 20为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量 X 满足正态分布 N（，2）在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间

9、，经过统计得到如图频率分布直方图（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计，2的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的 10 名乘客的候车时间，发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由（参考数据： 4.38， 4.63， 5.16， 0.841370.2898， 0.841360.3546， 0.158730.0040，0.158740.0006，P（X+）0.6826，P（2

10、X+2 ）0.9544，P（3X+3）0.9973） 21已知抛物线 C：y22px（p0），点 F 为抛物线的焦点，焦点 F 到直线 3x4y+30 的距离为 d1，焦点 F 到抛物线 C 的准线的距离为 d2，且（1）抛物线 C 的标准方程；（2）若在 x 轴上存在点 M，过点 M 的直线 l 分别与抛物线 C 相交于 P、Q 两点，且为定值，求点 M 的坐标 22已知函数 f（x）lnxax2+x（a0）（1）讨论函数 f（x）的极值点的个数；（2）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln2 参考答案一、单项选择题：本题共 8 小题，每小

12、运算以及复数相等的条件，列出方程组求解即可得 x， y 的值，再由复数求模公式计算得答案解：（2+i）（3xi）6+x+（32x）i3+（y+5）i，，解得，则|x+yi|3+4y| 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了复数模的求法，是基础题 3已设 a，b 都是正数，则“loga3logb3”是“3a3b3”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由 loga3logb3 和 3a3b3 分别求出 a，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案解：由

13、loga3logb3，得，，得 0ba1 或 0a1b 或 ab1，由 3a3b3，得 ab1， “loga3logb3”是“3a3b3”的必要不充分条件故选：B 【点评】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于基础题 4甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知3 人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名若甲、乙、丙 3 人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是（） A甲 B乙 C丙 D无法预测【分析】若甲正确，则乙、丙均错误，从而可得甲为第三名，且乙、丙中必有一人正确，一人错

14、误，再假设丙错误（则乙正确），可导出矛盾，从而可得丙为第二名，故得答案解：若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名”正确相矛盾，故甲错误，因此，甲为第三名；于是乙、丙中必有一人正确，一人错误若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我是第三名”矛盾，故丙正确，即丙不是第一名，为第二名；由得：获得第一名的是：乙故选：A 【点评】本题考查简单的合情推理，逻辑性较强，要认真分析 5九章算术是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直

15、径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（） A B C D120 【分析】根据题意知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数解：扇形中，弧长为 l30，直径为 d16，面积为 S30164120；扇形的圆心角弧度数是故选：B 【点评】本题考查了扇形的圆心角弧度数计算问题，是基础题 6 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A210 B180 C160 D175 【分析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出

16、展开式中的常数项解：若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，故 n10，则展开式的通项公式为 Tr+1 （2）r ，令 5 0，求得 r2，可得展开式中的常数项为（2）2180，故选：B 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 7泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100m 到达点 B，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为 30，则“泉标”的高度为（） A50m B100m C1

17、20m D150m 【分析】首先根据题意，画出该图形，进一步利用余弦定理的应用和三角形的边角关系的应用求出结果解：根据题意，画出图形为：所以 AB100，BAC60，DBC30，设 DCx，所以 ACx，BC ，在ABC 中，利用余弦定理的应用，，解得 x50 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：实际问题的应用，余弦定理的应用，方向角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 8已知函数 f（x）满足 f（2x）+f（2+x）6，，且 f（x）与 g（x）的图象交点为（x1，y1），（x2，y2），（x8，y8），则 x1+x2+x8+y1+y

18、2+y8的值为（） A20 B24 C36 D40 【分析】利用条件可知 f（x），g（x）均时关于（2，3）中心对称，则若交点为（x1，y1）时，（4x1，6y1）也为交点，进而可求和解：函数 f（x）满足 f（2x）+f（2+x）6 的对称中心为（2，3），函数 3 也关于（2，3）中心对称，则若交点为（x1，y1）时，（4x1，6y1）也为交点，若交点为（x2，y2）时，（4x2， 6y2）也为交点，所以 x1+x2+x8+y1+y2+y8（x1+y1）+（x2+y2）+（x8+y8）（x1+y1）+（4x1+6y1）+（x2+y2）+（4x2+6y2）+（x8+y8）+（

19、4x8+6 y8）40 故选：D 【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面 m 千米，远地点 B（离地面最远的点）距地面 n 千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2

20、c，则（） Aacm+R Ba+cn+R C2am+n D 【分析】根据题意可知：acRm，a+cRn，从而求出 a，c 的值，进而求出的 b 值，推出结果解：设椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，半焦距为 c，则由题意可知：acRm，a+c Rn，可得 acm+R，所以 A 正确；a+cR+n，所以 B 正确；可得 a R，c 则 b2a2c2（ R）2（）2（m+R）（n+R）则所以 D 正确；故选：ABD 【点评】本题的关键是正确理解题意，从而寻找几何量之间的关系，是基础题 10甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先

21、从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（） A B C事件 B 与事件 A1相互独立 DA1，A2，A3是两两互斥的事件【分析】本题是概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键本题在 A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件 B 的概率进行转化 P（B）P（B| A1）+P（B A2）+P（B A3），可知事件 B 的概率是确定的解：易见 A1， A2， A3是两两互斥的事件，故选：BD 【点评】概率的综合问题，需要对基本

22、概念和基本运算能够熟练掌握 11已知点 P 是双曲线：的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、右焦点， PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的是（） A点 P 的横坐标为 BPF1F2的周长为 C 小于 DPF1F2的内切圆半径为【分析】设F1PF2的内心为 I，连接 IP， IF1， IF2，求得双曲线的 a， b， c，不妨设 P （m， n），m0，n0，运用三角形的面积公式求得 P 的坐标，运用两直线的夹角公式可得 tanF1PF2，由两点的距离公式，可得PF1F2的周长，设PF1F2的内切圆半径为 r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算 r 解：设F1P

23、F2的内心为 I，连接 IP，IF1，IF2，双曲线：中的 a4，b3，c5，不妨设 P（m，n），m0，n0，由PF1F2的面积为 20，可得 |F 1F2|ncn5n20，即 n4，由 1，可得 m ，故 A 符合题意；由 P（，4），且 F1（5，0），F2（5，0），可得 kPF1 ，kPF2 ，则 tanF1PF2 （0，），则F1PF2 ，故 C 符合题意；由|PF1|+|PF2| ，则PF1F2的周长为 10 ，故 B 符合题意；设PF1F2的内切圆半径为 r，可得 r（|PF 1|+|PF2|+|F1F2 |） |F1F2| 4，可得 r40，解

24、得 r ，故 D 不符合题意故选：ABC 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题 12已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2，侧棱 AA11，P 为上底面 A1B1C1D1 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（） A若 PD3，则满足条件的 P 点有且只有一个 B若，则点 P 的轨迹是一段圆弧 C若 PD平面 ACB1，则 DP 长的最小值为 2 D若 PD平面 ACB1，且，则平面 BDP 截正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为【分析】由题意画出图形，求出 D

25、与上底面点的最大值判断 A；由，求得 PD1 为定值判断 B；找出满足 PD平面 ACB1的 P 的轨迹，求出 DP 长的最小值判断 C；由已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断 D 解：如图正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2，，又侧棱 AA11，，则 P 与 B1重合时 PD3，此时 P 点唯一，故 A 正确；（1，3），DD11，则，即点 P 的轨迹是一段圆弧，故 B 正确；连接 DA1，DC1，可得平面 A1DC1平面 ACB1，则当 P 为 A1C1中点时，DP 有最小值为，故 C 错误；由 C 知，平面 BDP 即为平面 BDD1B1

26、，平面 BDP 截正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故 D 正确故选：ABD 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知向量，，，，若满足，且方向相同，则 x 1 【分析】由题意利用两个向量共线的性质，求出 x 的值解：向量，，，，若满足，且方向相同，，求得 x1，或 x2（此时，不合题意，舍去），故答案为：1 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题 14已知 m 是 2

27、与 8 的等比中项，则圆锥曲线的离心率是或【分析】利用等比数列求出 m，然后求解圆锥曲线的离心率即可解：m 是 2 与 8 的等比中项，可得 m4，则圆锥曲线是椭圆时为：的离心率：，圆锥曲线为双曲线时，，它的离心率为：故答案为：或【点评】本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 15对于函数 f（x），若在定义域内存在实数 x0满足 f（x0）f（x0），则称函数 f（x）为“倒戈函数”设 f（x）3x+2m1（mR，且 m0 是定义在1，1上的“倒戈函数”，则实数 m 的取值范围是，【分析】f（x）3x+2m1 是定义在1，1上的“倒戈函数，即存在

28、 x01，1满足 f（x0）f（x0），即 4m3 3 2 有根，即可求出答案解：f（x）3x+2m1 是定义在1，1上的“倒戈函数，存在 x01，1满足 f（x0）f（x0）， 3 2m13 2m+1， 4m3 3 2，构造函数 y3 3 2，x01，1，令 t3 ，t ，3， y t+2，y ，0， 0，，故答案为：，0）【点评】本题考查的知识点是分段函数的定义，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义 “倒戈函数”的含义，是解答的关键 16已知函数 f（x） sinx，g（x） cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图象的交点，且不共线当 1 时，ABC 面积的最小值

29、为 2 ；若存在ABC 是等腰直角三角形，则的最小值为【分析】直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积利用等腰直角三角形的性质的应用求出的最小值解：函数 f（x） sinx，g（x） cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图象的交点，当 1 时，f（x），g（x）所以函数的交点间的距离为一个周期 2高为所以：如图所示：当 1 时，ABC 面积的最小值为 2；若存在ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得的最小值为故答案为：2，【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，

30、主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型四、解答题：共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17数列an满足：a1+a2+a3 （1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足，求bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）运用数列的递推式，化简可得所求通项公式；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和解：（1）Sna1+a2+a3+an，a1+a2+a3 ， n1 时，a11， n2 时，，对 n1 也成立，，nN*；（2）由，， Tnb1+b2+bn 得，，【点评】本题考查数列的递推式

31、的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题 18在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知（1）求角 B 的大小；（2）求的取值范围？【分析】（1）由利用正弦定理、和差公式展开即可得出（2）由（1）可得：A+CB ，又ABC 为锐角三角形，可得 A ，再利用正弦定理、和差公式、正切函数的单调性即可得出解：（1） sinBsinAsinA（ sinB cosB），sinA0 化为： sinB cosB0， tanB ，B（0，）解得 B （2）由（1）可得：A+CB ，又ABC 为锐角三角形，0C A

32、，0 A ， A ，，，的取值范围是，【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19 如图，三棱柱 ABCA1B1C1中， CACB， BAA145，平面 AA1C1C平面 AA1B1B （1）求证：AA1BC；（2）若 BB1 AB2，直线 BC 与平面 ABB1A1所成角为 45，D 为 CC1的中点，求二面角 B1A1DC1的余弦值【分析】（1）过点 C 作 COAA1，则 CO平面 AA1B1B，COOB，推导出 RtAOC RtBOC，从而 AA1OB，再由 AA1CO，得 AA1平面 BOC，由此能证

33、明 AA1BC （2）以 O 为坐标原点，OA，OB，OC 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 B1A1DC1的余弦值【解答】证明：（1）过点 C 作 COAA1，垂足为 O，平面 AA1C1C平面 AA1B1B， CO平面 AA1B1B，故 COOB，又CACB，COCO，COACOB90， RtAOCRtBOC，故 OAOB， A1AB45，AA1OB， AA1CO，AA1平面 BOC， AA1BC 解：（2）BB1 AB2，直线 BC 与平面 ABB1A1所成角为 45，D 为 CC1的中点，以 O 为坐标原点，OA，OB，OC 所在直线

34、分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， CO平面 AA1B1B，CBO 是直线 BC 与平面 AA1B1B 所成角，CBO45， AB ，AOBOCO1， A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），A1（1，0，0），B1（2，1，0）， D（1，0，1），（0，0，1），（1，1，1），设平面 A1B1D 的法向量（x，y，z），则，取 x1，得（1，1，0）， OB平面 AA1C1C，平面 AA1C1C 的法向量（0，1，0），设二面角 B1A1DC1的平面角为，则 cos ，二面角 B1A1DC1的余弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二

35、面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量 X 满足正态分布 N（，2）在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各

36、个值，试估计，2的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的 10 名乘客的候车时间，发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由（参考数据： 4.38， 4.63， 5.16， 0.841370.2898， 0.841360.3546， 0.158730.0040，0.158740.0006，P（X+）0.6826，P（2X+2 ）0.9544，P（3X+3）0.9973）【分析】（1）由频率分布直方图结合

37、平均数公式及方差公式求解；（2）求出 +，得到 P（x14.38），再由二项分布的概率公式求解解：（1）0.12+0.26+0.410+0.214+0.11810， 2s22（820.1+420.2）+（1010）20.419.2；（2）+10+4.3814.38，设 3 名乘客候车时间超过 15 分钟的事件为 A， P（x14.38）， P（A） 0.003 故准点率正常【点评】本题考查正态分布，考查数学建模，数据分析，数学运算的数学素养，是基础题 21已知抛物线 C：y22px（p0），点 F 为抛物线的焦点，焦点 F 到直线 3x4y+30 的距离为 d1，焦点 F 到抛物

38、线 C 的准线的距离为 d2，且（1）抛物线 C 的标准方程；（2）若在 x 轴上存在点 M，过点 M 的直线 l 分别与抛物线 C 相交于 P、Q 两点，且为定值，求点 M 的坐标【分析】（1）由题意可得 d1 ，d2p解得：p2即可（2）设 M（t，0），设点 M，P（x1，y2），Q（x2，y2），设直线 l 的方程为 xmy+t联立方程，整理可得 y24my4t0可得，要使为定值，必有，解得 t 即可解：（1）由题意可得，焦点 F（，0），则 d1 ， d2p 又，解得：p2 抛物线 C 的标准方程：y24x；（2）设 M（t，0），设点 M，P（x1，

39、y2），Q（x2，y2），显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 xmy+t 联立方程，整理可得 y24my4t0 16（m2+t）0，y1+y24m，y1y24t， |PM| |y1|， |QM| |y2|，，要使为定值，必有，解得 t2，为定值时，点 M 的坐标为（2，0）【点评】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型 22已知函数 f（x）lnxax2+x（a0）（1）讨论函数 f（x）的极值点的个数；（2）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln2

40、【分析】（1）先求出函数的导函数，通过讨论 a 的范围确定导函数的符号，从而得出函数的单调区间，进而判断函数极值点个数；（2）由（1）可知当且仅当 a（0，）时 f（x）有极小值 x 1和极大值 x2，且 x1，x2是方程的两个正根，则 x1+x2 ，x1x2 根据函数 f（x）lnxax 2+x 表示出 f（x 1） +f（x2）lna ln2+1，令 g（a）lna ln2+1，通过对 g（a）求导即可证明结论解：（1）函数 f（x）lnxax2+x（a0）， f（x） 2ax+1（x0），x0 a0，当 a0 时，f（x），x0，当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）

41、单调递减；当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；当 x1 时，f（x）有极小值；当 a 时，0，故 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，故此时 f（x）无极值；当 0a 时，0，方程 f（x）0 有两个不等的正根 x1，x2 可得 x1 ，x2 则当 x（0，）及 x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（，）时，f（x）0；f（x）单调递增； f（x）在 xx1处有极小值，在 xx2处有极大值综上所述：当 a0 时，f（x）有 1 个极值点；当 a 时，f（x）没有极值点；当 0a 时，f（x）有 2 个极值点（2）由（1）可知当且仅当 a（0，）时 f（x）有极小值 x 1和极大值 x2，且 x1，x2是方程的两个正根，则 x1+x2 ，x1x2 f（x1）+f（x2）（x1+x2）a（x1+x2）22x1x2（lnx1+lnx2）ln（2a） 1 lna ln2+1；令 g（a）lna ln2+1， 0a ；g（a） 0， g（a）在（0，）上单调递减，故 g（a）g（）32ln2， f（x1）+f（x2）32ln2 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，注意分类讨论思想的运用，属于难题

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