1、2020 年高考数学模拟测试试卷年高考数学模拟测试试卷 一、选择题. 1已知集合 Ay|y2x，x0，Bx|yx ，则 AB（ ） A1，+） B（1，+） C（0，+） D0，+） 2设（2+i） （3xi）3+（y+5）i（i 为虚数单位），其中 x，y 是实数，则|x+yi|等于（ ） A5 B C2 D2 3已设 a，b 都是正数，则“loga3logb3”是“3a3b3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 4甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知3 人作出如下预测： 甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我
2、不是第一名若甲、乙、丙 3 人的 预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是（ ） A甲 B乙 C丙 D无法预测 5九章算术是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六 步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中 给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4，在此问题 中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A B C D120 6 若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 则展开式中的常数项是 （ ） A210 B180 C160 D175 7泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”
3、高度， 某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏 东 30前进 100m 到达点 B，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为 30，则“泉标”的 高度为（ ） A50m B100m C120m D150m 8已知函数 f（x）满足 f（2x）+f（2+x）6， ，且 f（x）与 g（x）的图象 交点为（x1，y1）， （x2，y2）， （x8，y8），则 x1+x2+x8+y1+y2+y8的值为（ ） A20 B24 C36 D40 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的
4、得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它 的近地点 A（离地面最近的点）距地面 m 千米，远地点 B（离地面最远的点）距地面 n 千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圈的长轴长、短 轴长、焦距分别为 2a、2b、2c，则（ ） Aacm+R Ba+cn+R C2am+n D 10甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球， 乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球
5、 和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则 下列结论中正确的是（ ） A B C事件 B 与事件 A1相互独立 DA1，A2，A3是两两互斥的事件 11已知点 P 是双曲线 ： 的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、右焦点， PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的是（ ） A点 P 的横坐标为 BPF1F2的周长为 C 小于 DPF1F2的内切圆半径为 12已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2，侧棱 AA11，P 为上底面 A1B1C1D1 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A若 PD3，则满足条件的 P 点有且只
6、有一个 B若 ，则点 P 的轨迹是一段圆弧 C若 PD平面 ACB1，则 DP 长的最小值为 2 D若 PD平面 ACB1，且 ，则平面 BDP 截正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的外接 球所得平面图形的面积为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知向量 ， ， ， ，若满足 ，且方向相同，则 x 14已知 m 是 2 与 8 的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是 15对于函数 f（x），若在定义域内存在实数 x0满足 f（x0）f（x0），则称函数 f（x） 为“倒戈函数”设 f（x）3x+2m1（mR，且 m0 是定义在1，1上的“倒戈函 数”，则实数 m
7、的取值范围是 16已知函数 f（x） sinx，g（x） cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图 象的交点，且不共线 当 1 时，ABC 面积的最小值为 ； 若存在ABC 是等腰直角三角形，则 的最小值为 四、解答题：共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17数列an满足：a1+a2+a3 （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足 ，求bn的前 n 项和 Tn 18在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知 （1）求角 B 的大小； （2）求 的取值范围？ 19 如图， 三棱柱 ABCA1B1C1中， CACB， BAA
8、145， 平面 AA1C1C平面 AA1B1B （1）求证：AA1BC； （2）若 BB1 AB2，直线 BC 与平面 ABB1A1所成角为 45，D 为 CC1的中点，求 二面角 B1A1DC1的余弦值 20为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车 候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准 点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵 情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量 X 满足正态分布 N（，2）在 公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时 间
9、，经过统计得到如图频率分布直方图 （1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计 ，2的值； （2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况 下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天， 随机调查了该站的 10 名乘客的候车时间，发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟， 试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由 （参考数据： 4.38， 4.63， 5.16， 0.841370.2898， 0.841360.3546， 0.158730.0040，0.158740.0006，P（X+）0.6826，P（2
10、X+2 ）0.9544，P（3X+3）0.9973） 21已知抛物线 C：y22px（p0），点 F 为抛物线的焦点，焦点 F 到直线 3x4y+30 的距离为 d1，焦点 F 到抛物线 C 的准线的距离为 d2，且 （1）抛物线 C 的标准方程； （2）若在 x 轴上存在点 M，过点 M 的直线 l 分别与抛物线 C 相交于 P、Q 两点，且 为定值，求点 M 的坐标 22已知函数 f（x）lnxax2+x（a0） （1）讨论函数 f（x）的极值点的个数； （2）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln2 参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小
11、题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1已知集合 Ay|y2x，x0，Bx|yx ，则 AB（ ） A1，+） B（1，+） C（0，+） D0，+） 【分析】先化简两个集合，再根据集合的定义求出两个集合的交集 解：Ay|y2x，x0y|y1， AB（1，+） 故选：B 【点评】 本题考查指数函数的定义域和值域、 定义及解析式， 解题的关键是化简两集合， 再根据交集的定义求出两个集合的交集 2设（2+i） （3xi）3+（y+5）i（i 为虚数单位），其中 x，y 是实数，则|x+yi|等于（ ） A5 B C2 D2 【分析】 直接由复数代数形式的乘除
12、运算以及复数相等的条件， 列出方程组求解即可得 x， y 的值，再由复数求模公式计算得答案 解：（2+i）（3xi）6+x+（32x）i3+（y+5）i， ，解得 ， 则|x+yi|3+4y| 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了复数模 的求法，是基础题 3已设 a，b 都是正数，则“loga3logb3”是“3a3b3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 loga3logb3 和 3a3b3 分别求出 a，b 的关系，然后利用必要条件、充分 条件及充分必要条件的判断方法得答案 解：由
13、loga3logb3，得， ， 得 0ba1 或 0a1b 或 ab1， 由 3a3b3，得 ab1， “loga3logb3”是“3a3b3”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性 质，属于基础题 4甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知3 人作出如下预测： 甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名若甲、乙、丙 3 人的 预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是（ ） A甲 B乙 C丙 D无法预测 【分析】若甲正确，则乙、丙均错误，从而可得甲为第三名，且乙、丙中必有一人正确， 一人错
14、误，再假设丙错误（则乙正确），可导出矛盾，从而可得丙为第二名，故得答案 解：若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说： 我不是第三名”正确相矛盾， 故甲错误， 因此，甲为第三名； 于是乙、丙中必有一人正确，一人错误 若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我 是第三名”矛盾， 故丙正确，即丙不是第一名，为第二名； 由得：获得第一名的是：乙 故选：A 【点评】本题考查简单的合情推理，逻辑性较强，要认真分析 5九章算术是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六 步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直
15、径十六步，问面积多少？书中 给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4，在此问题 中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A B C D120 【分析】根据题意知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数 解：扇形中，弧长为 l30，直径为 d16， 面积为 S30164120； 扇形的圆心角弧度数是 故选：B 【点评】本题考查了扇形的圆心角弧度数计算问题，是基础题 6 若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 则展开式中的常数项是 （ ） A210 B180 C160 D175 【分析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求 出
16、展开式中的常数项 解：若 的展开式中只有第六项的二项式系数 最大，故 n10， 则展开式的通项公式为 Tr+1 （2）r ，令 5 0，求得 r2， 可得展开式中的常数项为 （2）2180， 故选：B 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 7泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度， 某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏 东 30前进 100m 到达点 B，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为 30，则“泉标”的 高度为（ ） A50m B100m C1
17、20m D150m 【分析】首先根据题意，画出该图形，进一步利用余弦定理的应用和三角形的边角关系 的应用求出结果 解：根据题意，画出图形为： 所以 AB100，BAC60，DBC30， 设 DCx， 所以 ACx，BC ， 在ABC 中， 利用余弦定理的应用， ， 解得 x50 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：实际问题的应用，余弦定理的应用，方向角的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 8已知函数 f（x）满足 f（2x）+f（2+x）6， ，且 f（x）与 g（x）的图象 交点为（x1，y1）， （x2，y2）， （x8，y8），则 x1+x2+x8+y1+y
18、2+y8的值为（ ） A20 B24 C36 D40 【分析】利用条件可知 f（x），g（x）均时关于（2，3）中心对称，则若交点为（x1，y1） 时，（4x1，6y1）也为交点，进而可求和 解：函数 f（x）满足 f（2x）+f（2+x）6 的对称中心为（2，3）， 函数 3 也关于（2，3）中心对称， 则若交点为（x1，y1）时，（4x1，6y1）也为交点，若交点为（x2，y2）时，（4x2， 6y2）也为交点， 所以 x1+x2+x8+y1+y2+y8（x1+y1）+（x2+y2）+（x8+y8） （x1+y1）+（4x1+6y1）+（x2+y2）+（4x2+6y2）+（x8+y8）+（
19、4x8+6 y8）40 故选：D 【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的 运算能力，属于中档题 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它 的近地点 A（离地面最近的点）距地面 m 千米，远地点 B（离地面最远的点）距地面 n 千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圈的长轴长、短 轴长、焦距分别为 2a、2b、2
20、c，则（ ） Aacm+R Ba+cn+R C2am+n D 【分析】根据题意可知：acRm，a+cRn，从而求出 a，c 的值，进而求出的 b 值，推出结果 解：设椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，半焦距为 c，则由题意可知：acRm，a+c Rn，可得 acm+R，所以 A 正确；a+cR+n，所以 B 正确； 可得 a R，c 则 b2a2c2（ R）2（ ）2（m+R）（n+R） 则 所以 D 正确； 故选：ABD 【点评】本题的关键是正确理解题意，从而寻找几何量之间的关系，是基础题 10甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球， 乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先
21、 从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球 和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则 下列结论中正确的是（ ） A B C事件 B 与事件 A1相互独立 DA1，A2，A3是两两互斥的事件 【分析】本题是概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键本题在 A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件 B 的概率进行转化 P（B）P（B| A1）+P（B A2）+P（B A3），可知事件 B 的概率是确定的 解： 易见 A1， A2， A3是两两互斥的事件， 故选：BD 【点评】概率的综合问题，需要对基本
22、概念和基本运算能够熟练掌握 11已知点 P 是双曲线 ： 的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、右焦点， PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的是（ ） A点 P 的横坐标为 BPF1F2的周长为 C 小于 DPF1F2的内切圆半径为 【分析】 设F1PF2的内心为 I， 连接 IP， IF1， IF2， 求得双曲线的 a， b， c， 不妨设 P （m， n），m0，n0，运用三角形的面积公式求得 P 的坐标，运用两直线的夹角公式可得 tanF1PF2，由两点的距离公式，可得PF1F2的周长，设PF1F2的内切圆半径为 r，运 用三角形的面积公式和等积法，即可计算 r 解：设F1P
23、F2的内心为 I，连接 IP，IF1，IF2， 双曲线 ： 中的 a4，b3，c5， 不妨设 P（m，n），m0，n0， 由PF1F2的面积为 20，可得 |F 1F2|ncn5n20，即 n4， 由 1，可得 m ，故 A 符合题意； 由 P（ ，4），且 F1（5，0），F2（5，0）， 可得 kPF1 ，kPF2 ， 则 tanF1PF2 （0， ）， 则F1PF2 ，故 C 符合题意； 由|PF1|+|PF2| ， 则PF1F2的周长为 10 ，故 B 符合题意； 设PF1F2的内切圆半径为 r，可得 r（|PF 1|+|PF2|+|F1F2 |） |F1F2| 4， 可得 r40，解
24、得 r ，故 D 不符合题意 故选：ABC 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用， 考查方程思想和运算能力，属于中档题 12已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2，侧棱 AA11，P 为上底面 A1B1C1D1 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A若 PD3，则满足条件的 P 点有且只有一个 B若 ，则点 P 的轨迹是一段圆弧 C若 PD平面 ACB1，则 DP 长的最小值为 2 D若 PD平面 ACB1，且 ，则平面 BDP 截正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的外接 球所得平面图形的面积为 【分析】由题意画出图形，求出 D
25、与上底面点的最大值判断 A；由 ，求得 PD1 为定值判断 B；找出满足 PD平面 ACB1的 P 的轨迹，求出 DP 长的最小值判断 C；由 已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断 D 解：如图正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2， ，又侧棱 AA11， ，则 P 与 B1重合时 PD3，此时 P 点唯一，故 A 正确； （1，3），DD11，则 ，即点 P 的轨迹是一段圆弧，故 B 正确； 连接 DA1，DC1，可得平面 A1DC1平面 ACB1，则当 P 为 A1C1中点时，DP 有最小值为 ，故 C 错误； 由 C 知，平面 BDP 即为平面 BDD1B1
26、，平面 BDP 截正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的外接球 所得平面图形为外接球的大圆， 其半径为 ，面积为 ，故 D 正确 故选：ABD 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能 力，是中档题 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知向量 ， ， ， ，若满足 ，且方向相同，则 x 1 【分析】由题意利用两个向量共线的性质，求出 x 的值 解：向量 ， ， ， ，若满足 ，且方向相同， ，求得 x1，或 x2（此时 ，不合题意，舍去）， 故答案为：1 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题 14已知 m 是 2
27、与 8 的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是 或 【分析】利用等比数列求出 m，然后求解圆锥曲线的离心率即可 解：m 是 2 与 8 的等比中项，可得 m4， 则圆锥曲线 是椭圆时为： 的离心率： ， 圆锥曲线为双曲线时， ，它的离心率为： 故答案为： 或 【点评】本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 15对于函数 f（x），若在定义域内存在实数 x0满足 f（x0）f（x0），则称函数 f（x） 为“倒戈函数”设 f（x）3x+2m1（mR，且 m0 是定义在1，1上的“倒戈函 数”，则实数 m 的取值范围是 ， 【分析】f（x）3x+2m1 是定义在1，1上的“倒戈函数，即存在
28、 x01，1满足 f（x0）f（x0），即 4m3 3 2 有根，即可求出答案 解：f（x）3x+2m1 是定义在1，1上的“倒戈函数， 存在 x01，1满足 f（x0）f（x0）， 3 2m13 2m+1， 4m3 3 2， 构造函数 y3 3 2，x01，1， 令 t3 ，t ，3， y t+2，y ，0， 0， ， 故答案为： ，0） 【点评】本题考查的知识点是分段函数的定义，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义 “倒戈函数”的含义，是解答的关键 16已知函数 f（x） sinx，g（x） cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图 象的交点，且不共线 当 1 时，ABC 面积的最小值
29、为 2 ； 若存在ABC 是等腰直角三角形，则 的最小值为 【分析】直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形 的面积 利用等腰直角三角形的性质的应用求出 的最小值 解：函数 f（x） sinx，g（x） cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图 象的交点， 当 1 时，f（x） ，g（x） 所以函数的交点间的距离为一个周期 2高为 所以： 如图所示： 当 1 时，ABC 面积的最小值为 2； 若存在ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则 ， 解得 的最小值为 故答案为：2， 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，
30、主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型 四、解答题：共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17数列an满足：a1+a2+a3 （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足 ，求bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）运用数列的递推式，化简可得所求通项公式； （2）求得 ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式， 可得所求和 解：（1）Sna1+a2+a3+an，a1+a2+a3 ， n1 时，a11， n2 时， ，对 n1 也成立， ，nN*； （2）由 ， ， Tnb1+b2+bn 得 ， ， 【点评】本题考查数列的递推式
31、的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用， 数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题 18在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知 （1）求角 B 的大小； （2）求 的取值范围？ 【分析】（1）由 利用正弦定理、和差公式展开即可得出 （2）由（1）可得：A+CB ，又ABC 为锐角三角形，可得 A ，再利用 正弦定理、和差公式、正切函数的单调性即可得出 解：（1） sinBsinAsinA（ sinB cosB），sinA0 化为： sinB cosB0， tanB ，B（0，） 解得 B （2）由（1）可得：A+CB ，又ABC 为锐角三角形，0C A
32、，0 A ， A ， ， ， 的取值范围是 ， 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 19 如图， 三棱柱 ABCA1B1C1中， CACB， BAA145， 平面 AA1C1C平面 AA1B1B （1）求证：AA1BC； （2）若 BB1 AB2，直线 BC 与平面 ABB1A1所成角为 45，D 为 CC1的中点，求 二面角 B1A1DC1的余弦值 【分析】（1）过点 C 作 COAA1，则 CO平面 AA1B1B，COOB，推导出 RtAOC RtBOC， 从而 AA1OB， 再由 AA1CO， 得 AA1平面 BOC， 由此能证
33、明 AA1BC （2）以 O 为坐标原点，OA，OB，OC 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标 系，利用向量法能求出二面角 B1A1DC1的余弦值 【解答】证明：（1）过点 C 作 COAA1，垂足为 O， 平面 AA1C1C平面 AA1B1B， CO平面 AA1B1B，故 COOB， 又CACB，COCO，COACOB90， RtAOCRtBOC，故 OAOB， A1AB45，AA1OB， AA1CO，AA1平面 BOC， AA1BC 解：（2）BB1 AB2，直线 BC 与平面 ABB1A1所成角为 45，D 为 CC1的中点， 以 O 为坐标原点，OA，OB，OC 所在直线
34、分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， CO平面 AA1B1B，CBO 是直线 BC 与平面 AA1B1B 所成角，CBO45， AB ，AOBOCO1， A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），A1（1，0，0），B1（2，1，0）， D（1，0，1）， （0，0，1）， （1，1，1）， 设平面 A1B1D 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1，1，0）， OB平面 AA1C1C，平面 AA1C1C 的法向量 （0，1，0）， 设二面角 B1A1DC1的平面角为 ， 则 cos ， 二面角 B1A1DC1的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二
35、面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车 候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准 点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵 情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量 X 满足正态分布 N（，2）在 公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时 间，经过统计得到如图频率分布直方图 （1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各
36、个值，试估计 ，2的值； （2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况 下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天， 随机调查了该站的 10 名乘客的候车时间，发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟， 试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由 （参考数据： 4.38， 4.63， 5.16， 0.841370.2898， 0.841360.3546， 0.158730.0040，0.158740.0006，P（X+）0.6826，P（2X+2 ）0.9544，P（3X+3）0.9973） 【分析】（1）由频率分布直方图结合
37、平均数公式及方差公式求解； （2）求出 +，得到 P（x14.38），再由二项分布的概率公式求解 解：（1）0.12+0.26+0.410+0.214+0.11810， 2s22（820.1+420.2）+（1010）20.419.2； （2）+10+4.3814.38， 设 3 名乘客候车时间超过 15 分钟的事件为 A， P（x14.38） ， P（A） 0.003 故准点率正常 【点评】本题考查正态分布，考查数学建模，数据分析，数学运算的数学素养，是基础 题 21已知抛物线 C：y22px（p0），点 F 为抛物线的焦点，焦点 F 到直线 3x4y+30 的距离为 d1，焦点 F 到抛物
38、线 C 的准线的距离为 d2，且 （1）抛物线 C 的标准方程； （2）若在 x 轴上存在点 M，过点 M 的直线 l 分别与抛物线 C 相交于 P、Q 两点，且 为定值，求点 M 的坐标 【分析】（1）由题意可得 d1 ，d2p解得：p2即可 （2）设 M（t，0），设点 M，P（x1，y2），Q（x2，y2），设直线 l 的方程为 xmy+t联 立方程 ，整理可得 y24my4t0可得 ， 要 使 为定值，必有 ，解得 t 即可 解：（1）由题意可得，焦点 F（ ，0），则 d1 ， d2p 又 ，解得：p2 抛物线 C 的标准方程：y24x； （2）设 M（t，0），设点 M，P（x1，
39、y2），Q（x2，y2），显然直线 l 的斜率不为 0， 设直线 l 的方程为 xmy+t 联立方程 ，整理可得 y24my4t0 16（m2+t）0，y1+y24m，y1y24t， |PM| |y1|， |QM| |y2|， ， 要使 为定值，必有 ，解得 t2， 为定值时，点 M 的坐标为（2，0） 【点评】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合 韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型 22已知函数 f（x）lnxax2+x（a0） （1）讨论函数 f（x）的极值点的个数； （2）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln2
40、 【分析】（1）先求出函数的导函数，通过讨论 a 的范围确定导函数的符号，从而得出函 数的单调区间，进而判断函数极值点个数； （2）由（1）可知当且仅当 a（0， ）时 f（x）有极小值 x 1和极大值 x2，且 x1，x2是方 程的两个正根，则 x1+x2 ，x1x2 根据函数 f（x）lnxax 2+x 表示出 f（x 1） +f（x2）lna ln2+1，令 g（a）lna ln2+1，通过对 g（a）求导即可证明结 论 解：（1）函数 f（x）lnxax2+x（a0）， f（x） 2ax+1（x0） ，x0 a0，当 a0 时，f（x） ，x0，当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）
41、单调 递减；当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；当 x1 时，f（x）有极小值； 当 a 时，0，故 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，故此时 f（x）无 极值； 当 0a 时，0，方程 f（x）0 有两个不等的正根 x1，x2 可得 x1 ，x2 则当 x（0， ）及 x（ ，+）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（ ， ）时，f（x）0；f（x）单调递增； f（x）在 xx1处有极小值，在 xx2处有极大值 综上所述：当 a0 时，f（x）有 1 个极值点； 当 a 时，f（x）没有极值点；当 0a 时，f（x）有 2 个极值点 （2）由（1）可知当且仅当 a（0， ）时 f（x）有极小值 x 1和极大值 x2，且 x1，x2是方 程的两个正根，则 x1+x2 ，x1x2 f（x1）+f（x2）（x1+x2）a（x1+x2）22x1x2（lnx1+lnx2）ln（2a） 1 lna ln2+1； 令 g（a）lna ln2+1， 0a ；g（a） 0， g（a）在（0， ）上单调递减，故 g（a）g（ ）32ln2， f（x1）+f（x2）32ln2 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，注意分类讨论思想的运用，属 于难题