1、绝密启用前绝密启用前 2020 年年辽宁省中考辽宁省中考数学预测卷一数学预测卷一 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1在4，2，1，3 这四个数中，比2 小的数是（ ） A4 B2 C1 D3
2、2下列运算正确的是（ ） A 234 33mmm B. 32 mmm C 22 nmnmnm D 22 3 3 mm 3如图两个全等的正三角形所组成的图案，其中既是中心对称又是轴对称图案的是（ ） A B C D 4如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，则下列说法正确的是（ ） A主视图的面积最大 B俯视图的面积最大 C左视图的面积最大 D三个视图面积一样大 5 从一栋二层楼的楼顶点 A
3、处看对面的教学楼， 探测器显示， 看到教学楼底部点 C 处的俯角为 45 ， 看到楼顶部点 D 处的仰角为 60 ，已知两栋楼之间的水平距离为 6 米，则教学楼的高 CD 是（ ） A米366 B米336 C米326 D米12 6某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设场地的宽为 x 米， 则可列方程为（ ） Ax（x11）=180 B2x+2（x11）=180 Cx（x+11）=180 D2x+2（x+11）=180 7一套书共有上，中，下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上， 中，下顺序的概率为（ ） A &nb
4、sp; B C D 8如图，在ABC 中，B=30 ，C=45 ，将ABC 绕点 A 顺时针旋转后得到ADE（点 B 的对应 点是点 D，点 C 的对应点是点 E），当点 E 在 BC 边上时，连接 BD，则BDE 的大小为（ ） A15 B20 C25 D30 9如图，已知直线 abc，直线 m，n 与 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B，D，F，若 AC=4， CE=6，BD
5、=3，则 DF 的值是（ ） A4 B4.5 C5 D5.5 10.甲、乙两车从 A 地出发沿同一路线驶向 B 地，甲车先出发匀速驶向 B 地.40 分钟后，乙车出发， 匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了 50 千米/时，结果与甲车同时到达 B 地，甲乙两车距 A 地的路程 y（千米）与乙车行驶时间 x（时） 之间的函数图象如图所示，下列说法： a=4.5； 甲的速度是 60 千米/时； 乙出发 80 分钟追上甲； 乙刚到
6、达货站时，甲距 B 地 180 千米； 其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小題小题，每小題 3 分，共分，共 18 分）分） 11 2005 年 10 月 12 日，我国成功发射神舟六号载宇宙飞船，神舟六号安全的在太空中飞行了约 3250000000 米，把 3250000000 用科学记数法可以写出 12在函数 x x y 1 中，自变量 x 的取值范围是
7、 13计算 2 1 218 14分解因式：xyyxx 23 2 15不等式组 022 2 3 1 x x 的解集是 16.已知正方形 ABCD 的边长为 6，点 P 是直线 AD 上一点，并且满足 3AP=AD，连接 BP，作线段 BP 的垂直平分线交直线 BC 于点 Q，则线段 CQ 的长度为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 4 小题，小题，17、18、19 题各题各 9 分，分，20 题题
8、12 分，共分，共 39 分）分） 17 （9 分）计算： 30sin201312 02013 1 18 （9 分）计算： 1 2 1 4 1 2 x x xx x 19（9 分） 如图， 在 RtABC 中，（M2， N2） ， BAC=30 ， E 为 AB 边的中点， 以 BE 为边作等边BDE， 连接 AD，CD （1）求证：ADECDB； （2）若 BC=，在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值 20 （12 分）文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出中国诗词大会 、 中国成语 大会 、 朗读者 、 经曲咏流传等一系列文化栏目为了解学生对这些栏目
9、的喜爱情况，某学校 组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从经曲咏流传 （记为 A） 、 中 国诗词大会 （记为 B） 、 中国成语大会 （记为 C） 、 朗读者 （记为 D）中选择自己最喜爱的一个 栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目（记为 E） 根据调查结果绘制成如图所示的两幅不 完整的统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）若选择“E”的学生中有 2 名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座 谈，请用列表法或画树状图的
10、方法求出刚好选到同性别学生的概率 四、解答题（本共四、解答题（本共 3 小，其中小，其中 21、22 题各题各 9 分，分，23 题题 10 分，共分，共 28 分）分） 21 （9 分）某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建造面积收费已知甲师 傅建造 2m2的费用与乙师傅建造 3m2的费用总和为 440 元，甲师傅建造 3m2的费用与乙师傅建造 2m2的费用总和为 460 元 （1）分别求出甲、乙两位师傅建造 1m2养鸡场的费用； （2）若乙师傅计划用总长度为 24 米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场（如图） ， 已知墙的长为 9 米，则养鸡场的宽 AB 为多少
11、时，建造费用最多？最多为多少元？ 22.（9 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点 A（4，2） ， 直线 AB 与 y 轴的负半轴交于点 B，与 x 轴的交于点 C（3，0） ； （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2） 记直线AB 与反比例函数的另一交点为D， 若在 y轴上有一点P， 使得， 求 P 点的坐标 23 （10 分）已知圆 O 是等边ABC 的外接圆，P 是圆上异于 A，B，C 的一点 （1）如图，若PAC90 ，记直线 AP 与直线 BC 的交点为 D，连接 PC，求 PD 的长 度； （2）若APCBPC，猜想 PA，PB，PC 的
12、数量关系并给予证明 五、解答题（本题共五、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 24 题题 11 分，分，25、26 題各題各 12 分，共分，共 35 分）分） 24.（11 分）某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱 为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心 的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系 （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站 立时必须在离
13、水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下， 把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处 汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 25 （12 分）如图 1，已知正方形 ABCD 和等腰 RtBEF，EFBE，BEF90 ，F 是线段 BC 上一 点，取 DF 中点 G，连接 EG、CG （1）探究 EG 与 CG 的数量与位置关系，并说明理由； （2）如图 2，将图 1 中的等腰 RtBEF 绕点 B 顺时针旋转 （090） ，则（1）中的结论是 否仍然成立？请说明理由； （3）在
14、（2）的条件下，若 AD2，求 2GE+BF 的最小值 26 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax24ax+3a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点D 为抛物线的顶点，对称轴 l 与 x 轴的交点为 E已知 D 的纵坐标为1 （1）直接写出抛物线的解析式； （2）若 P 是 l 上的一点，满足APB2ACB，求 P 的坐标； （3）点 Q 是抛物线上的一点，以 Q 为圆心，作与 l 相切的圆 Q 交 x 轴于 M，N 两点（M 在 N 的 左侧） 若 EMEN4，求 Q 的坐标 答案解析答案解析 一、选择题（本题共一
15、、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，共共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1在4，2，1，3 这四个数中，比2 小的数是（ ） A4 B2 C1 D3 【答案】A 【解析】【解析】解：正数和 0 大于负数， 排除 2 和 3 |2|=2，|1|=1，|4|=4， 421，即|4|2|1|， 421 故选：A 2下列运算正确的是（ ） A 234 33mmm B. 32 mmm C 22
16、 nmnmnm D 22 3 3 mm 【答案】C 【解析】【解析】解：A、3m4 m3=3m，错误；B、m 与 m2不是同类项，不能合并，错误； C、（m+n）（mn）=m2n2，正确；D、 22 3 3 mm ，错误； 故选 C 3如图两个全等的正三角形所组成的图案，其中既是中心对称又是轴对称图案的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形故本选项
17、正确 故选 D 4如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，则下列说法正确的是（ ） A主视图的面积最大 B俯视图的面积最大 C左视图的面积最大 D三个视图面积一样大 【答案】B 【解析】【解析】解：主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，主视图的面积是 4； 俯视图是第一层左边一个小正方形，第二层三个小正方形，第三层中间一个小正方形，俯视图的面 积是 5； 左视图第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图的面积是 4 故选：B 5 从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼， 探测器显示， 看到教学楼底部点 C 处的俯角为 45 ， 看到楼顶
18、部点 D 处的仰角为 60 ，已知两栋楼之间的水平距离为 6 米，则教学楼的高 CD 是（ ） A米366 B米336 C米326 D米12 【答案】A 【解析】【解析】解：在 RtACB 中，CAB=45 ，ABDC，AB=6 米，BC=6 米， 在 RtABD 中， tanBAD=，BD=ABtanBAD=6 米， DC=CB+BD=6+6（米） 故选：A 6某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设场地的宽为 x 米， 则可列方程为（ ） Ax（x11）=180 B2x+2（x11）=180 Cx（x+11）=180 D2x+2（x+11
19、）=180 【答案】C. 【解析】【解析】解：设宽为 x 米，则长为（x+11）米， 根据题意得：x（x+11）=180， 故选 C 7一套书共有上，中，下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上， 中，下顺序的概率为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】【解析】解：画树状图得： 所有等可能的情况有 6 种，其中恰好从左到右摆成“上、中、下”顺序的只有 1 种，则 P= 故选 B 8如图，在ABC 中，B=30 ，C=45 ，将ABC 绕点 A 顺时针旋转后得到ADE（点 B 的对应 点是点 D，点 C 的对应点是点 E），当点 E 在 BC 边上时，连
20、接 BD，则BDE 的大小为（ ） A15 B20 C25 D30 【答案】A 【解析】【解析】解：ABC 绕点 A 顺时针旋转后得到ADE， AE=AC，AD=AB，ADE=ABC=30 ，DAB=EAC， AE=AC， AEC=C=45 ， EAC=90 ， DAB=90 ， ADB 为等腰直角三角形， ADB=45 ， BDE=ADBADE=45 30 =15 故选 A 9如图，已知直线 abc，直线 m，n 与 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B，D，F，若 AC=4， CE=6，BD=3，则 DF 的值是（ ） A4 B4.5 C5 D5.5 【答案】B 【解析】【解
21、析】解：直线 abc，AC=4，CE=6，BD=3， =，即 =，解得 DF=4.5 故选 B 10 甲、乙两车从 A 地出发沿同一路线驶向 B 地，甲车先出发匀速驶向 B 地.40 分钟后，乙车出发， 匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了 50 千米/时，结果与甲车同时到达 B 地，甲乙两车距 A 地的路程 y（千米）与乙车行驶时间 x（时） 之间的函数图象如图所示，下列说法： a=4.5； 甲的速度是 60 千米/时； 乙出发 80 分钟追上甲； 乙刚到达货站时，甲距 B 地 180 千米； 其中正确的有（ ） A1 个 B2
22、个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解析】【解析】解：线段 DE 代表乙车在途中的货站装货耗时半小时， a=4+0.5=4.5（小时），即成立； 40 分钟= 3 2 小时， 甲车的速度为 460 （7+ 3 2 ）=60（千米/时）， 即成立； 设乙车刚出发时的速度为 x 千米/时，则装满货后的速度为（x50）千米/时， 根据题意可知：4x+（74.5）（x50）=460， 解得：x=90 乙车发车时，甲车行驶的路程为 603 2 =40（千米）， 乙车追上甲车的时间为 40 （9060）= 3 4 （小时）， 3 4 小时=80 分钟，即成立； 乙车刚到达货站时，甲车行驶的时间为（4+
23、3 2 ）小时， 此时甲车离 B 地的距离为 46060 （4+ 3 2 ）=180（千米）， 即成立 综上可知正确的有： 故选 D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小題小题，每小題 3 分，共分，共 18 分）分） 11 2005 年 10 月 12 日，我国成功发射神舟六号载宇宙飞船，神舟六号安全的在太空中飞行了约 3250000000 米，把 3250000000 用科学记数法可以写出 【答案】3.25 109 【解析】【解析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看 把原数
24、变成 a 时， 小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数3250000000=3.25 109， 故答案为：3.25 109 12在函数 x x y 1 中，自变量 x 的取值范围是 【答案】x1 【解析】【解析】根据分式的意义，分母不等于 0，就可以求解根据题意得：1x0，解得 x1 故答案为：x1 13计算 2 1 218 【答案】【答案】22. 【解析】【解析】先把各根式化为最减二次根式，再合并同类项即可原式=2
25、2223 故答案为：22. 14分解因式：xyyxx 23 2 【答案】【答案】21xxy. 【解析】【解析】提取公因式，再利用完全平方公式分解即可原式2 2 112xxyxxxy 故答案为：21xxy 15不等式组 022 2 3 1 x x 的解集是 【答案】1x6 【解析】【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 解： 022 2 3 1 x x ， 解得：x6， 解得：x1 则不等式组的解集是：1x6 故答案是：1x6 16.已知正方形 ABCD
26、的边长为 6，点 P 是直线 AD 上一点，并且满足 3AP=AD，连接 BP，作线段 BP 的垂直平分线交直线 BC 于点 Q，则线段 CQ 的长度为 【答案】4 或 16. 【解析】【解析】分为两种情况：P 在 DA 的延长线上时，P 在 AD 的延长线上时，连接 BE，根据线段垂直 平分线求出 PE=BE，根据勾股定理求出 BE，根据全等求出 BQ=PE，即可得出答案 四边形 ABCD 是正方形， ADBC，AD=BC=AB=6， 分为两种情况：如图 1 所示：P 在 DA 的延长线上时，连接 BE， QE 是 BP 的垂直平分线， PE=BE，
27、 设 PE=BE=x， 在 RtAEB 中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2， （18x）2+62=x2， 解得：x=10， 即 PE=BE=10， ADBC， P=QBO， 在PEO 和BQO 中 PEOBQO（ASA）， BQ=PE=10， CD=6， CQ=6+10=16； 如图 2 所示：P 在 AD 的延长线上时， 此时 CQ=106=4； 故答案为：4 或 16 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 4 小题，小题，17、18、19 题各题各 9 分，分，20 题题 12 分，共分，共 39 分）分） 17 （9 分）计算： 30sin201312 02013 1 【解答】【解
28、答】原式 2 1 11 2 1 0 18 （9 分）计算： 1 2 1 4 1 2 x x xx x 【解答】【解答】原式 x x xx x )( x x x x 2 1 1 22 x x x xx x 19（9 分） 如图， 在 RtABC 中，（M2， N2） ， BAC=30 ， E 为 AB 边的中点， 以 BE 为边作等边BDE， 连接 AD，CD （1）求证：ADECDB； （2）若 BC=，在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值 【分析】【分析】 （1）只要证明DEB 是等边三角形，再根据 SAS 即可证明； （2）如图，作点 E 关于直
29、线 AC 点 E'，连接 BE'交 AC 于点 H则点 H 即为符合条件的点 【解答】【解答】 （1）证明：在 RtABC 中，BAC=30 ，E 为 AB 边的中点， BC=EA，ABC=60 DEB 为等边三角形， DB=DE，DEB=DBE=60 ， DEA=120 ，DBC=120 ， DEA=DBC ADECDB （2）解：如图，作点 E 关于直线 AC 点 E'，连接 BE'交 AC 于点 H 则点 H 即为符合条件的点 由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，E'AC=BAC=30 EAE'=60 ， EAE'
30、;为等边三角形， ， AE'B=90 ， 在 RtABC 中，BAC=30 ， ， ， BH+EH 的最小值为 3 20 （12 分）文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出中国诗词大会 、 中国成语 大会 、 朗读者 、 经曲咏流传等一系列文化栏目为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校 组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从经曲咏流传 （记为 A） 、 中 国诗词大会 （记为 B） 、 中国成语大会 （记为 C） 、 朗读者 （记为 D）中选择自己最喜爱的一个 栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目（记为 E） 根据调查结果绘制成如图所示的两幅不 完
31、整的统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）若选择“E”的学生中有 2 名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座 谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率 【分析】【分析】 （1）由 A 栏目人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数乘以 D 栏目所占百分比求得其人数，再用总人数减去其他栏目人数求得 B 的人数即可 补全图形，用 360 乘以 B 人数所占比例可得； （3）列表得出所有等可能结果，然后利用概率的计算公式即可求解 【
32、解答】【解答】解： （1）30 20%=150（人） ，共调查了 150 名学生 （2）D：50% 150=75（人） ，B：1503075246=15（人） 补全条形图如图所示 扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 （3）记选择“E”的同学中的 2 名女生分别为 N1，N2，4 名男生分别为 M1，M2，M3，M4， 列表如下： N1 N2 M1 M2 M3 M4 N1 （N1，N2） （N1，M1） （N1，M2） （N1，M3） （N1，M4） N2 （N2，N1） （N2，M1） （N2，M2） （N2，M3） （N2，M4） M1 （M1，N1） （M1，N2） （M1，M2）
33、（M1，M3） （M1，M4） M2 （M2，N1） （M2，N2） （M2，M1） （M2，M3） （M2，M4） M3 （M3，N1） （M3，N2） （M3，M1） （M3，M2） （M3，M4） M4 （M4，N1） （M4，N2） （M4，M1） （M4，M2） （M4，M3） 共有 30 种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生（记为事件 F）的有 14 种情况， 四、解答题（本共四、解答题（本共 3 小，其中小，其中 21、22 题各题各 9 分，分，23 题题 10 分，共分，共 28 分）分） 21 （9 分）某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建
34、造面积收费已知甲师 傅建造 2m2的费用与乙师傅建造 3m2的费用总和为 440 元，甲师傅建造 3m2的费用与乙师傅建造 2m2的费用总和为 460 元 （1）分别求出甲、乙两位师傅建造 1m2养鸡场的费用； （2）若乙师傅计划用总长度为 24 米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场（如图） ， 已知墙的长为 9 米，则养鸡场的宽 AB 为多少时，建造费用最多？最多为多少元？ 【分析】【分析】 （1）根据题意列出方程组求解即可； （2）首先确定 AB 的取值范围，然后列二次函数求最值即可 【解答】【解答】解： （1）设甲、乙两位师傅建造 1m2养鸡场的费用分别为 x 元和 y 元，
35、根据题意得：， 解得： 答：甲、乙两位师傅建造 1m2养鸡场的费用分别为 100 元和 80 元； （2）设 AB 为 z，面积为 S，则 BC（243z）米， 墙长为 9 米， 243z9， 解得：z5， 根据题意得：Sz（243z）3（z4）2+48， a30，对称轴为 z4， 当 z4 时 S 随着 z 的增大而减小， 当 z5 时面积最大为 45m2， 费用为 45 803600 元， 养鸡场的宽 AB 为 5 米时，建造费用最多；最多为 3600 元 22.（9 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点 A（4，2） ， 直线 AB 与 y 轴的负半轴
36、交于点 B，与 x 轴的交于点 C（3，0） ； （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2） 记直线AB 与反比例函数的另一交点为D， 若在 y轴上有一点P， 使得， 求 P 点的坐标 【分析】【分析】 （1）根据待定系数法即可求得； （2）先求得 B（0，6） ，进而得到 S BOC 9，进而得到 S PCD 4，设点 P 的坐标为（0，y） ， 再根据 S PCD S PBD +S PBC 可得点 P 的坐标 【解答】【解答】解： （1）一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点 A（4， 2） ， m4 28， 反比例函数的解析式为 y， A（4，2） ，C（3，
37、0）在一次函数 ykx+b 的图象上， ， 解得， 一次函数的解析式为 y2x6； （2）解得或， D（1，8） ， 在 y2x6 中，令 x0，则 y6， B（0，6） ， S BOC 3 69， 4 设点 P 的坐标为（0，y） ，则 BP|6y|， S PCD S PBD +S PBC ， |6y| 3+ |6y| 14， 解得 y4 或8， 点 P 的坐标为（0，4）或（0，8） 23 （10 分）已知圆 O 是等边ABC 的外接圆，P 是圆上异于 A，B，C 的一点 （1）如图，若PAC90 ，记直线 AP 与直线 BC 的交点为 D，连接 PC，求 PD 的长 度； （2）若APC
38、BPC，猜想 PA，PB，PC 的数量关系并给予证明 【分析】 （1）在 RtPAC 中，求出 PC，再证明 PDPC 即可解决问题 （2） 结论： PCPA+PB， 在 PC 上截取一点 E， 使得 PBPE， 连接 BE 证明ABPCBE （SAS） 即可解决问题 【解答】解： （1）ABC 是等边三角形， ABC60 ， APCABC60 ， 在 RtPAC 中，APC60 ，PAC90 ，ACAB2， PCA30 ， PC2PA PC2PA2+AC2， PA2，PC4 而PAC90 ，ACB60 ，PCBPAB30 PCPD PD4 故 PD 的长度为 4 （2）由题意点
39、P 在上结论：PCPA+PB 理由：在 PC 上截取一点 E，使得 PBPE，连接 BE BPCBAC60 ，PBPE， PBE 是等边三角形， BPBE，PBEABC60 ， ABPEBC， BABC， ABPCBE（SAS） ， PAEC， PCPE+ECPB+PA 五、解答题（本题共五、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 24 题题 11 分，分，25、26 題各題各 12 分，共分，共 35 分）分） 24.（11 分）某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱 为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好
40、在喷水池中心 的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系 （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站 立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下， 把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处 汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出 a 值，此题得解； （2）利用二次
41、函数图象上点的坐标特征，求出当 y1.8 时 x 的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与 y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不变 可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 yx2+bx+，代入点（16， 0）可求出 b 值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论 【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ya（x3）2+5（a0）， 将（8，0）代入 ya（x3）2+5，得：25a+50， 解得：a， 水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y（x3）2+5（0x8） （2）当 y1.8
42、 时，有（x3）2+51.8， 解得：x11，x27， 为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内 （3）当 x0 时，y（x3）2+5 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 yx2+bx+， 该函数图象过点（16，0）， 0 162+16b+，解得：b3， 改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 yx2+3x+（x） 2+ 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米 25 （12 分）如图 1，已知正方形 ABCD 和等腰 RtBEF，EFBE，BEF90 ，F 是线段 BC 上一 点，取 DF 中点 G，连接 EG、CG （1）探究 EG
43、与 CG 的数量与位置关系，并说明理由； （2）如图 2，将图 1 中的等腰 RtBEF 绕点 B 顺时针旋转 （090） ，则（1）中的结论是 否仍然成立？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若 AD2，求 2GE+BF 的最小值 【分析】 （1）首先证明 B、E、D 三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即 可证明 EGDGGFCG，得到EGF2EDG，CGF2CDG，从而证得EGC90 ； （2）首先证明：BECFEH，即可证得：ECH 为等腰直角三角形，从而得到：EGCG 且 EGCG （3）连接 AH，当 A、H、G，C 在同一直线上时，2GE+BF 有最
44、小值，就是 AC 的长，根据勾股 定理得结论 【解答】解： （1）EGCG 且 EGCG 理由如下：如图 1，连接 BD 正方形 ABCD 和等腰 RtBEF， EBFDBC45 B、E、D 三点共线 DEF90 ，G 为 DF 的中点，DCB90 ， EGDFCGDG EGF2EDG，CGF2CDG EGF+CGF2EDC90 ， 即EGC90 ， EGCG （2）仍然成立 理由如下：如图 2，延长 CG 至 H，使 GHCG，连接 HF 交 BC 于 M，连接 EH、EC GFGD，HGFCGD，HGCG， HFGCDG（SAS） ， HFCD，GHFGCD， HFCD 正方形 ABCD，
45、 HFBC，HFBC BEF 是等腰直角三角形， BEEF，EBCHFE， BECFEH（SAS） ， HEEC，BECFEH， BEFHEC90 ， ECH 为等腰直角三角形 又CGGH， EGCG 且 EGCG （3）如下图，连接 AH，当 A、H、G，C 在同一直线上时，2GE+BF 有最小值， 此时 BE 在 BC 上， FHAB，ACBF， 四边形 ABFH 是平行四边形， AHBF， 由（2）知 CGGH， 2GE+BFCH+AHAC， 即 2GE+BF 有最小值，就是 AC 的长， 由勾股定理得 AC2 26 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax24
46、ax+3a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点D 为抛物线的顶点，对称轴 l 与 x 轴的交点为 E已知 D 的纵坐标为1 （1）直接写出抛物线的解析式； （2）若 P 是 l 上的一点，满足APB2ACB，求 P 的坐标； （3）点 Q 是抛物线上的一点，以 Q 为圆心，作与 l 相切的圆 Q 交 x 轴于 M，N 两点（M 在 N 的 左侧） 若 EMEN4，求 Q 的坐标 【分析】 （1）因为 yax24ax+3aa（x2）2a，所以顶点 D 的纵坐标为a1，即 a1， 可得出抛物线的解析式； （2）作ABC 的外接圆P，连结 PA，PB，
47、CA，CB，则点 P 在直线 l 上，且满足APB2 ACB，点 P 就是所求的点，因为APEAPBACB，在 RtAKC 中求出 tanACB 的值， 即可得出点 P 的坐标，同理，点 P 关于 x 轴的对称点也符合题意； （3）设Q 与 l 相切于点 R，则直径 KRRE，证明RENMER，可得 RE2EMEN4，即 RE2，当 y2 时，代入二次函数解析式，即可得出点 Q 的坐标 【解答】解： （1）yax24ax+3aa（x2）2a，顶点 D 的纵坐标为1， a1，即 a1， 抛物线的解析式为 yx24x+3； （2）如图 1，作ABC 的外接圆P，连结 PA，PB，CA，CB， 则点 P 在直线 l 上，且满足APB2ACB，点 P 就是所求的点， 抛物线的解析式为 yx24x+3， 当 x0 时，y3， 当 y0 时，x1 或 x3， A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ， 设直线 BC 与直线 l 相交于 K， OB
