1、2020 年高考数学模拟试卷（年高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、选择题（共 10 小题）. 1已知全集 U2，1，0，1，2，集合 A0，1，2，B1，0，则 A（UB） （ ） A0 B1，2 C0，1，2 D2，0，1，2 2复数 z 满足1i（其中 i 是虚数单位），则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3已知双曲线 C：1（a0，b0），则“C 的离心率 e”是“C 的两条渐 近线互相垂直”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 l，m 是两条不同的直线， 是平面，且 m，则（ ） A若 lm，则 l B若 l，则
2、lm C若 lm，则 l D若 l，则 lm 5已知函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）的解析式最有可能是（ ） Af（x） Bf（x） Cf（x） Df（x） 6已知随机变量 X 的分布列如下： X 0 1 3 P a 若随机变量 Y 满足 Y3X1，则 Y 的方差 D（Y）（ ） A1 B2 C3 D9 7已知 aR，实数 x，y 满足，设 zx2y，若 z 的最小值是7，则 a 的值为 （ ） A1 B C D7 8用 2 与 0 两个数字排成 7 位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两次（如 0020020、 2020200、0220220 等），则这样的数码的个数是（ ）
3、 A54 B44 C32 D22 9如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AP平面 PCD，PAPD，点 E 为 线段 P 上的动点记 A 与 AP 所成角的最小值为 C，当 D 为线段 E 中点时，二面角 P BCE 的大小为 ，二面角 EBCD 的大小为 ，则 ， 的大小关系是（ ） A B C D 10如图，已知ABC 为钝角三角形，ACABBC，点 P 是ABC 外接圆上的点，则当 +取最小值时，点 P 在（ ） ABAC 所对弧上（不包括弧的端点） BABC 所对弧上（不包括弧的端点） CACB 所对弧上（不包括弧的端点） DABC 的顶点 二、填空题：共 7 小题
4、，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11早在 11 世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作释锁算数中就给出了二、三、四、 五、六次幂的二项式系数表已知（ax1）6的展开式中 x3的系数为160，则实数 a ；展开式中各项系数之和为 （用数字作答） 12一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，表面积是 13 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 a2， b3， c4， 则 cosA ， ABC 的面积是 14 已知正实数 x， y 满足 x+2y3， 则 xy 的最大值为 ，的最小值为 15已知椭圆+1（ab0）的左、右焦点分别是
5、F1，F2，点 A 是椭圆上位于 x 轴上方的一点， 若直线 AF1的斜率为， 且|AF1|F1F2|， 则椭圆的离心率为 16等比数列an的相邻两项 an，an+1是方程 x22nx+cn0（nN*）的两个实根，记 Tn是 数列cn的前 n 项和，则 Tn 17已知函数 f（x）2lnx1，g（x）a|xm|，若存在实数 a0 使 yf（x）g（x） 在（，e）上有 2 个零点，则 m 的取值范围为 三、解答题：共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18已知函数 f（x）2sin2x+2sinxcosx，（xR） （）求 f（）的值； （）求 f（x）的单调递减区
6、间及 f（x）图象的对称轴方程 19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ADC120，PDCD AD，PD平面 ABCD （）证明：AC平面 PBD； （）求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值 20设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1，an，Sn成等差数列，且 a5S4+2，nN* （）求数列an的通项公式； （）记 bn，nN*，证明：b1+b2+bn ，nN* 21如图，设点 F 是抛物线 C：x22y 的焦点，直线 l 与抛物线 C 相切于点 P（点 P 位于第 一象限） ， 并与抛物线 C 的准线相交于点 A 过点 P 且与直线 l 垂直的直线
7、l1交抛物线 C 于另一点 B，交 y 轴于点 Q，连结 AB （）证明：FPQ 为等腰三角形； （）求PAB 面积的最小值 22已知函数 f（x）lnx+，g（x）2ab ex1+b（x+1）lnx2a+2b+2，其中 aR， 且 a0 （）求 f（x）在 x（0，1上的最大值； （） 若 g （x） 0 对任意的 ba， +） 及 x （0， 1恒成立， 求实数 a 的取值范围 注： e 是自然对数的底数 参考答案 一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知全集 U2，1，0，1，2，集合 A0，1，2，B1，0，则
8、 A（UB） （ ） A0 B1，2 C0，1，2 D2，0，1，2 【分析】根据集合的基本运算即可求（UB）A 【解答】解；因为 U2，1，0，1，2，集合 A0，1，2，B1，0， 则 A（UB）0，1，22，1，21，2 故选：B 2复数 z 满足1i（其中 i 是虚数单位），则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由1i，得 z， 故选：C 3已知双曲线 C：1（a0，b0），则“C 的离心率 e”是“C 的两条渐 近线互相垂直”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
9、【分析】求得双曲线的渐近线方程，运用离心率的公式和两直线垂直的条件，结合充分 必要条件的定义即可得到所求结论 解：双曲线 E：1（a0，b0）的渐近线方程为 yx， 离心率为 e， 由 e，可得 ca，即有 c22a2a2+b2，可得 ab， 即有渐近线方程为 yx，可得两渐近线垂直； 若两渐近线垂直，可得 ab，可得 e， 即有 p 是 q 的充要条件， 故选：C 4已知 l，m 是两条不同的直线， 是平面，且 m，则（ ） A若 lm，则 l B若 l，则 lm C若 lm，则 l D若 l，则 lm 【分析】在 A 中，l 或 l；在 B 中，l 与 m 相交、平行或异面；在 C 中，l
10、 与 相 交、平行或 l；在 D 中，由直线与平面垂直的性质定理得 lm 解：由 l，m 是两条不同的直线， 是平面，且 m，知： 在 A 中，若 lm，则 l 或 l，故 A 错误； 在 B 中，若 l，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 B 错误； 在 C 中，若 lm，则 l 与 相交、平行或 l，故 C 错误； 在 D 中，若 l，则由直线与平面垂直的性质定理得 lm，故 D 正确 故选：D 5已知函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）的解析式最有可能是（ ） Af（x） Bf（x） Cf（x） Df（x） 【分析】观察图象可知当 x0 时，f（x）0，由此可排除 CD；又函数的
11、定义域为 R， 由此可排除 B 解：由图可知，当 x0 时，f（x）0，而此时 13x0，故排除 CD； 同时注意选项 B 在 x0 处没有意义，这与题设不符，故排除 故选：A 6已知随机变量 X 的分布列如下： X 0 1 3 P a 若随机变量 Y 满足 Y3X1，则 Y 的方差 D（Y）（ ） A1 B2 C3 D9 【分析】先根据分布列的性质，即概率和为 1，求出 a 的值，再分别计算出 X 的数学期 望与方差，然后根据 Y3X1，则 D（Y）32 D（X）即可求出 D（Y） 解：由分布列的性质可知，所以， 所以数学期望 E（X）， 方差 D（X）， 因为 Y3X1，所以 D（Y）32
12、D（X）9， 故选：D 7已知 aR，实数 x，y 满足，设 zx2y，若 z 的最小值是7，则 a 的值为 （ ） A1 B C D7 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可 解：实数 x，y 满足，的可行域如图， 当直线 zx2y 过点 A（a，2a）时，z 取得最小值，即 a4+2a7 可得 a1 故选：A 8用 2 与 0 两个数字排成 7 位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两次（如 0020020、 2020200、0220220 等），则这样的数码的个数是（ ） A54 B44 C32 D22 【分析】根据分类计数原理即可求出 解：利用分类讨论法
13、： 当由两个 2 五个 0 时， 显然两个 2 不能相邻， 也不能放在首尾， 所以首尾为 0， 所以有 种情况； 三个 2 四个 0 时，可分为三个 2 不相邻和 22 与 2 不相邻，所以共有种情况； 故共有（+）244 种情况 故选：B 9如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AP平面 PCD，PAPD，点 E 为 线段 P 上的动点记 A 与 AP 所成角的最小值为 C，当 D 为线段 E 中点时，二面角 P BCE 的大小为 ，二面角 EBCD 的大小为 ，则 ， 的大小关系是（ ） A B C D 【分析】令，如图，根据最小角定理可知当点 E 在点 P 时，BE 与
14、 AP 所成角最小，求出 tan，又 ENG，+PFM，利用正切三角公式求出 tan， tan，通过比较正切值，即可得出结论 解：令，分别过 P，E 作 AD 的垂线分别交于 F，G，再过 F，G 作 AD 的垂线交 BC 于 M，N， 由 APCD，ADCD，APADD，可得 CD平面 APD， 平面 PCD平面 APD， 又 CDAB，AB平面 APD， ABPD， 又 APPD，ABAPA， PD平面 PAB， 平面 PAB平面 PBD， AP 在平面 PBD 内的射影为 PB，根据最小角定理，当点 E 在点 P 时，BE 与 AP 所成 角最小，此时， 平面 PAD平面 ABCD， E
15、NG，+PFM，则， ， tantantan，即 故选：B 10如图，已知ABC 为钝角三角形，ACABBC，点 P 是ABC 外接圆上的点，则当 +取最小值时，点 P 在（ ） ABAC 所对弧上（不包括弧的端点） BABC 所对弧上（不包括弧的端点） CACB 所对弧上（不包括弧的端点） DABC 的顶点 【分析】设外接圆的圆心为 O，半径为 r，利用平面向量的线性运算可得 ， 令，进一步转化为研究，作 出图形，观察图象可知当与反向时，目标式取得最小值，由此得出结论 解：设外接圆的圆心为 O，半径为 r，不妨把线段 BC 放在水平位置来考虑， ， 令，则原式， 现在考虑题目中的唯一动点 P
16、，很显然当与反向时，取得最小值，此时点 P 在劣弧 AB 上， 故ACB 所对弧上（不包括弧端点） 故选：C 二、填空题：共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11早在 11 世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作释锁算数中就给出了二、三、四、 五、六次幂的二项式系数表已知（ax1）6的展开式中 x3的系数为160，则实数 a 2 ；展开式中各项系数之和为 1 （用数字作答） 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得 x3 的系数，再根据 x3的系数为160，求得实数 a 的值，可得（ax1）6（2x1）6 展开 式中各项
17、系数和 解：由于（ax1）6展开式的通项公式为 Tr+1 a6 r x6r （1）r， 令 6r3，解得 r3，故（ax1）6展开式中 x3的系数为 a3160， 解得 a2， 故（ax1）6（2x1）6 展开式中各项系数和为 （21）61， 故答案为：2，1 12 一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是 ， 表面积是 6+ （6+） 【分析】由已知中的三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥， 然后求解几何体的体积，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加 各个面的面积可得，几何体的表面积 解：由题意三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半
18、圆锥， 可知几何体的体积为： 几何体的表面积为：6+ （6+ ） 故答案为：；6+（6+） 13在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，b3，c4，则 cosA ，ABC 的面积是 【分析】由已知结合余弦定理可求 cosA，进而可求 sinA，然后代入三角形的面积公式即 可求解 解：因为 a2，b3，c4， 由余弦定理可得，cosA， 所以 sinA， SABC 故答案为：， 14 已知正实数x， y满足x+2y3， 则xy的最大值为 ，的最小值为 2 【分析】由 x+2y2，可求 xy 的最大值； ，利用基本不等式可求最值 解：正实数 x，y 满足 x+2y3，
19、由基本不等式可得，3x+2y2，当且仅当 x2y 时取等号， 则 xy，即最大值 ； 2， 故答案为： 15已知椭圆+1（ab0）的左、右焦点分别是 F1，F2，点 A 是椭圆上位于 x 轴上方的一点，若直线 AF1的斜率为，且|AF1|F1F2|，则椭圆的离心率为 【分析】有题意可得 tanAF1F2，进而求出角的余弦值，由余弦定理可得 AF2的 值，再由椭圆的定义求出 2a，进而求出椭圆的离心率 解：有题意如图所示： 因为直线 AF1的斜率为，所以 tanAF1F2 ，所以 cosAF1F2 ， 因为|AF1|F1F2|2c， 由余弦定理可得 AF2 ， 所以 2a2c+，即 a 所以离心
20、率 e， 故答案为： 16等比数列an的相邻两项 an，an+1是方程 x22nx+cn0（nN*）的两个实根，记 Tn是 数列cn的前 n 项和，则 Tn 【分析】利用韦达定理，列出关系式，求出数列的首项与公比，然后得到数列的通项公 式，即可求解 Tn 解：等比数列an的相邻两项 an，an+1是方程 x22nx+cn0（nN*）的两个实根， 可得 an+an+12n，anan+1cn 可得，解得，所以 an 1， cnanan+1，c1，q4， 所以数列cn的前 n 项和 Tn 故答案为： 17已知函数 f（x）2lnx1，g（x）a|xm|，若存在实数 a0 使 yf（x）g（x） 在（
21、，e）上有 2 个零点，则 m 的取值范围为 （） 【分析】yf（x）g（x）的零点即为 yf（x）与 yg（x）的图象交点，所以利用导 数研究 f（x）的单调性、极值情况，做出图象然后再画出 yg（x）的图象，想办法让 其能产生交点，由此构造方程或不等式求解 解：令 f（x）2lnx10 得 x，且在（，e）上递增 对于 g（x）a|xm|，函数图象关于 xm 对称，且开口向上 当 me 时，显然只有一个交点，不符题意（图）； 当时，总能找到 a，使得两函数有两个交点（图）； 当 m时，yg（x）的图象的右半部分至多与 yf（x）在 x 轴上方的图象产生两 个交点此时只需研究 g（x）a（x
22、m）与 yf（x）的图象即可 事实上，此时过点（m，0）做 yf（x）的切线，只要是切点落在（）内即可（图 ） 设切点为（x0，2lnx01），且 k ，所以切线方程为： ，将（m，0）代入整理得： ， ，令， 易知时，m0，故在递减 ，即 综上可知，当时， 存在实数 a0 使 yf（x）g（x）在（，e）上有 2 个零点 故答案为：（） 三、解答题：共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18已知函数 f（x）2sin2x+2sinxcosx，（xR） （）求 f（）的值； （）求 f（x）的单调递减区间及 f（x）图象的对称轴方程 【分析】（）通过二倍角公式以及两
23、角差的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角 函数的形式，进而求解结论 （）通过正弦函数的对称轴直接求函数 f（x）图象的对称轴方程，利用正弦函数的单 调减区间求出函数的单调递减区间 解：（）因为 f（x）2sin2x+2sinxcosxsin2xcos2x2sin（2x ）； f（）2sin（2）； （）令 2xk+（kZ），得 x+（kZ）， 即为函数 f（x）图象的对称轴方程 令+2k2x+2k（kZ），得+kx+k（kZ）， 即函数 f（x）的单调递减区间是+k，+k（kZ） 19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ADC120，PDCD AD，PD平面 ABCD
24、 （）证明：AC平面 PBD； （）求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值 【分析】（）要证 AC面 PBD，需证 ACBD，ACPD，由已知条件不难证出； （）以 D 为原点，过在底面作 CD 的垂线为 x 轴，DC 为 y 轴，PD 为 z 轴建立空间直 角坐标系，容易求出平面 PBC 的法向量及直线 AC 的方向向量，问题即可解决 解：（）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，PDCDAD， 四边形 ABCD 是菱形，ACBD PD平面 ABCD，PDAC， 结合 PD，BD平面 PBD，PDBDD， AC平面 PBD （）以 D 为原点，过在底面作 CD 的垂线所在直线为 x 轴
25、，DC 所在直线为 y 轴，PD 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 不防令 PDADCD2，ADC120，DAB60 D（0，0，0），A（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2）， ， 设平面 PBC 的法向量为， ，即， 令 x1，得 yz， 设所求的角为 ，则 故所求角的正弦值为 20设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1，an，Sn成等差数列，且 a5S4+2，nN* （）求数列an的通项公式； （）记 bn，nN*，证明：b1+b2+bn ，nN* 【分析】（）由等差数列的中项性质和数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公 式、求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到
26、所求通项公式； （）求得 bn，当 n2 时，bn （），由数列的裂项相消求和可得 n2 不等 式成立，检验 n1 时，等号也成立，即可得证 解：（）a1，an，Sn成等差数列，可得 2ana1+Sn， 当 n2 时，2an1a1+Sn1，两式相减可得 2an2an1SnSn1an， 即 an2an1，可得an为公比为 2 的等比数列，则 Sn a1（2n1）， 由 a5S4+2，可得 a1 24a1（241）+2， 解得 a12，则 an2n，nN*； （） 证明： bn， 当 n2 时， bn （）， 则 b1+b2+bn +（1+）， 当 n1 时，a1，则等号取得， 则 b1+b2+b
27、n ，nN* 21如图，设点 F 是抛物线 C：x22y 的焦点，直线 l 与抛物线 C 相切于点 P（点 P 位于第 一象限） ， 并与抛物线 C 的准线相交于点 A 过点 P 且与直线 l 垂直的直线 l1交抛物线 C 于另一点 B，交 y 轴于点 Q，连结 AB （）证明：FPQ 为等腰三角形； （）求PAB 面积的最小值 【分析】（1）先求 P 处的切点方程，再根据垂直关系求垂线方程，得到点 Q 坐标，由 抛物线定义得|FQ|FP|， （2）先求 AB 坐标，再求|PA|，|PB|的表达式，利用直角三角形得到面积的函数关系，再 求最大值 【解答】解（1）设 P（x0，）且 x00， 因
28、为直线 l 与抛物线 C 相切，求导得 yx，即 kx0， 所以直线 l 的方程为 yx0x， 直线 l1的方程为 y ，即 Q（0，+1）， 因为 F（0，），则|FQ|+1+， 而|FP|+， 所以|FQ|FP|， 即FPQ 为等腰三角形， （2）抛物线 C 的准线为 y， 得 A（，）， 所以|PA|， 联立方程组 y和 x22y， 得， 因为，则， 即 B（，）， 所以|PB|， 得PAB 面积为 S|PA| |PB|4，当且仅当 x01 时取 等号， 所以PAB 面积最小值为 4 22已知函数 f（x）lnx+，g（x）2ab ex1+b（x+1）lnx2a+2b+2，其中 aR，
29、且 a0 （）求 f（x）在 x（0，1上的最大值； （） 若 g （x） 0 对任意的 ba， +） 及 x （0， 1恒成立， 求实数 a 的取值范围 注： e 是自然对数的底数 【分析】（）根据函数导数与单调性关系求最值； （）先利用特值探路方法得到必要条件，再证明它的充分性，在证明过程中，先看成 关于 b 的函数，再看成关于 a 的函数，最后变为关于 x 的函数加以解决 解：（）， f（x）在（0，1上为增函数， f（x）maxf（1）2； （）由题意，首先由 g（1）2ab2a+2b+22（1a）（b+1）0 得 a1， a1 是 g（x）0 的必要条件， 下面证明 a1 是充分条件， 由已知 ba0，又由（）得，即（x+1）lnx2x2， b（x+1）lnx2bx2b， 故 g（x）2abex1+b（x+1）lnx2a+2b+22abex1+2bx2a+2， 又 ex1x，故 g（x）2abex1+2bx2a+22abx+2bx2a+22（1a） （bx+1）， a1，b0，x（0，1， g（x）0， a1 是 g（x）0 的充分条件 综上，实数 a 的取值范围为1，+）
