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2020年3月浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市高考数学模拟试卷(含答案解析)

1、2020 年高考数学模拟试卷(年高考数学模拟试卷(3 月份)月份) 一、选择题(共 10 小题). 1已知全集 U2,1,0,1,2,集合 A0,1,2,B1,0,则 A(UB) ( ) A0 B1,2 C0,1,2 D2,0,1,2 2复数 z 满足1i(其中 i 是虚数单位),则 z( ) A1+i B1i C1+i D1i 3已知双曲线 C:1(a0,b0),则“C 的离心率 e”是“C 的两条渐 近线互相垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 l,m 是两条不同的直线, 是平面,且 m,则( ) A若 lm,则 l B若 l,则

2、lm C若 lm,则 l D若 l,则 lm 5已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式最有可能是( ) Af(x) Bf(x) Cf(x) Df(x) 6已知随机变量 X 的分布列如下: X 0 1 3 P a 若随机变量 Y 满足 Y3X1,则 Y 的方差 D(Y)( ) A1 B2 C3 D9 7已知 aR,实数 x,y 满足,设 zx2y,若 z 的最小值是7,则 a 的值为 ( ) A1 B C D7 8用 2 与 0 两个数字排成 7 位的数码,其中“20”和“02”各至少出现两次(如 0020020、 2020200、0220220 等),则这样的数码的个数是( )

3、 A54 B44 C32 D22 9如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为正方形,AP平面 PCD,PAPD,点 E 为 线段 P 上的动点记 A 与 AP 所成角的最小值为 C,当 D 为线段 E 中点时,二面角 P BCE 的大小为 ,二面角 EBCD 的大小为 ,则 , 的大小关系是( ) A B C D 10如图,已知ABC 为钝角三角形,ACABBC,点 P 是ABC 外接圆上的点,则当 +取最小值时,点 P 在( ) ABAC 所对弧上(不包括弧的端点) BABC 所对弧上(不包括弧的端点) CACB 所对弧上(不包括弧的端点) DABC 的顶点 二、填空题:共 7 小题

4、,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 11早在 11 世纪中叶,我国宋代数学家贾宪在其著作释锁算数中就给出了二、三、四、 五、六次幂的二项式系数表已知(ax1)6的展开式中 x3的系数为160,则实数 a ;展开式中各项系数之和为 (用数字作答) 12一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ,表面积是 13 在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 a2, b3, c4, 则 cosA , ABC 的面积是 14 已知正实数 x, y 满足 x+2y3, 则 xy 的最大值为 ,的最小值为 15已知椭圆+1(ab0)的左、右焦点分别是

5、F1,F2,点 A 是椭圆上位于 x 轴上方的一点, 若直线 AF1的斜率为, 且|AF1|F1F2|, 则椭圆的离心率为 16等比数列an的相邻两项 an,an+1是方程 x22nx+cn0(nN*)的两个实根,记 Tn是 数列cn的前 n 项和,则 Tn 17已知函数 f(x)2lnx1,g(x)a|xm|,若存在实数 a0 使 yf(x)g(x) 在(,e)上有 2 个零点,则 m 的取值范围为 三、解答题:共 5 小题,共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18已知函数 f(x)2sin2x+2sinxcosx,(xR) ()求 f()的值; ()求 f(x)的单调递减区

6、间及 f(x)图象的对称轴方程 19如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,ADC120,PDCD AD,PD平面 ABCD ()证明:AC平面 PBD; ()求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值 20设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1,an,Sn成等差数列,且 a5S4+2,nN* ()求数列an的通项公式; ()记 bn,nN*,证明:b1+b2+bn ,nN* 21如图,设点 F 是抛物线 C:x22y 的焦点,直线 l 与抛物线 C 相切于点 P(点 P 位于第 一象限) , 并与抛物线 C 的准线相交于点 A 过点 P 且与直线 l 垂直的直线

7、l1交抛物线 C 于另一点 B,交 y 轴于点 Q,连结 AB ()证明:FPQ 为等腰三角形; ()求PAB 面积的最小值 22已知函数 f(x)lnx+,g(x)2ab ex1+b(x+1)lnx2a+2b+2,其中 aR, 且 a0 ()求 f(x)在 x(0,1上的最大值; () 若 g (x) 0 对任意的 ba, +) 及 x (0, 1恒成立, 求实数 a 的取值范围 注: e 是自然对数的底数 参考答案 一、选择题:共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1已知全集 U2,1,0,1,2,集合 A0,1,2,B1,0,则

8、 A(UB) ( ) A0 B1,2 C0,1,2 D2,0,1,2 【分析】根据集合的基本运算即可求(UB)A 【解答】解;因为 U2,1,0,1,2,集合 A0,1,2,B1,0, 则 A(UB)0,1,22,1,21,2 故选:B 2复数 z 满足1i(其中 i 是虚数单位),则 z( ) A1+i B1i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:由1i,得 z, 故选:C 3已知双曲线 C:1(a0,b0),则“C 的离心率 e”是“C 的两条渐 近线互相垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

9、【分析】求得双曲线的渐近线方程,运用离心率的公式和两直线垂直的条件,结合充分 必要条件的定义即可得到所求结论 解:双曲线 E:1(a0,b0)的渐近线方程为 yx, 离心率为 e, 由 e,可得 ca,即有 c22a2a2+b2,可得 ab, 即有渐近线方程为 yx,可得两渐近线垂直; 若两渐近线垂直,可得 ab,可得 e, 即有 p 是 q 的充要条件, 故选:C 4已知 l,m 是两条不同的直线, 是平面,且 m,则( ) A若 lm,则 l B若 l,则 lm C若 lm,则 l D若 l,则 lm 【分析】在 A 中,l 或 l;在 B 中,l 与 m 相交、平行或异面;在 C 中,l

10、 与 相 交、平行或 l;在 D 中,由直线与平面垂直的性质定理得 lm 解:由 l,m 是两条不同的直线, 是平面,且 m,知: 在 A 中,若 lm,则 l 或 l,故 A 错误; 在 B 中,若 l,则 l 与 m 相交、平行或异面,故 B 错误; 在 C 中,若 lm,则 l 与 相交、平行或 l,故 C 错误; 在 D 中,若 l,则由直线与平面垂直的性质定理得 lm,故 D 正确 故选:D 5已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式最有可能是( ) Af(x) Bf(x) Cf(x) Df(x) 【分析】观察图象可知当 x0 时,f(x)0,由此可排除 CD;又函数的

11、定义域为 R, 由此可排除 B 解:由图可知,当 x0 时,f(x)0,而此时 13x0,故排除 CD; 同时注意选项 B 在 x0 处没有意义,这与题设不符,故排除 故选:A 6已知随机变量 X 的分布列如下: X 0 1 3 P a 若随机变量 Y 满足 Y3X1,则 Y 的方差 D(Y)( ) A1 B2 C3 D9 【分析】先根据分布列的性质,即概率和为 1,求出 a 的值,再分别计算出 X 的数学期 望与方差,然后根据 Y3X1,则 D(Y)32 D(X)即可求出 D(Y) 解:由分布列的性质可知,所以, 所以数学期望 E(X), 方差 D(X), 因为 Y3X1,所以 D(Y)32

12、D(X)9, 故选:D 7已知 aR,实数 x,y 满足,设 zx2y,若 z 的最小值是7,则 a 的值为 ( ) A1 B C D7 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值列出方程,求解即可 解:实数 x,y 满足,的可行域如图, 当直线 zx2y 过点 A(a,2a)时,z 取得最小值,即 a4+2a7 可得 a1 故选:A 8用 2 与 0 两个数字排成 7 位的数码,其中“20”和“02”各至少出现两次(如 0020020、 2020200、0220220 等),则这样的数码的个数是( ) A54 B44 C32 D22 【分析】根据分类计数原理即可求出 解:利用分类讨论法

13、: 当由两个 2 五个 0 时, 显然两个 2 不能相邻, 也不能放在首尾, 所以首尾为 0, 所以有 种情况; 三个 2 四个 0 时,可分为三个 2 不相邻和 22 与 2 不相邻,所以共有种情况; 故共有(+)244 种情况 故选:B 9如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为正方形,AP平面 PCD,PAPD,点 E 为 线段 P 上的动点记 A 与 AP 所成角的最小值为 C,当 D 为线段 E 中点时,二面角 P BCE 的大小为 ,二面角 EBCD 的大小为 ,则 , 的大小关系是( ) A B C D 【分析】令,如图,根据最小角定理可知当点 E 在点 P 时,BE 与

14、 AP 所成角最小,求出 tan,又 ENG,+PFM,利用正切三角公式求出 tan, tan,通过比较正切值,即可得出结论 解:令,分别过 P,E 作 AD 的垂线分别交于 F,G,再过 F,G 作 AD 的垂线交 BC 于 M,N, 由 APCD,ADCD,APADD,可得 CD平面 APD, 平面 PCD平面 APD, 又 CDAB,AB平面 APD, ABPD, 又 APPD,ABAPA, PD平面 PAB, 平面 PAB平面 PBD, AP 在平面 PBD 内的射影为 PB,根据最小角定理,当点 E 在点 P 时,BE 与 AP 所成 角最小,此时, 平面 PAD平面 ABCD, E

15、NG,+PFM,则, , tantantan,即 故选:B 10如图,已知ABC 为钝角三角形,ACABBC,点 P 是ABC 外接圆上的点,则当 +取最小值时,点 P 在( ) ABAC 所对弧上(不包括弧的端点) BABC 所对弧上(不包括弧的端点) CACB 所对弧上(不包括弧的端点) DABC 的顶点 【分析】设外接圆的圆心为 O,半径为 r,利用平面向量的线性运算可得 , 令,进一步转化为研究,作 出图形,观察图象可知当与反向时,目标式取得最小值,由此得出结论 解:设外接圆的圆心为 O,半径为 r,不妨把线段 BC 放在水平位置来考虑, , 令,则原式, 现在考虑题目中的唯一动点 P

16、,很显然当与反向时,取得最小值,此时点 P 在劣弧 AB 上, 故ACB 所对弧上(不包括弧端点) 故选:C 二、填空题:共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 11早在 11 世纪中叶,我国宋代数学家贾宪在其著作释锁算数中就给出了二、三、四、 五、六次幂的二项式系数表已知(ax1)6的展开式中 x3的系数为160,则实数 a 2 ;展开式中各项系数之和为 1 (用数字作答) 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得 x3 的系数,再根据 x3的系数为160,求得实数 a 的值,可得(ax1)6(2x1)6 展开 式中各项

17、系数和 解:由于(ax1)6展开式的通项公式为 Tr+1 a6 r x6r (1)r, 令 6r3,解得 r3,故(ax1)6展开式中 x3的系数为 a3160, 解得 a2, 故(ax1)6(2x1)6 展开式中各项系数和为 (21)61, 故答案为:2,1 12 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 , 表面积是 6+ (6+) 【分析】由已知中的三视图,可知该几何体左侧是球的四分之一,右侧是一个半圆锥, 然后求解几何体的体积,求出底面面积,代入棱锥体积公式,可得几何体的体积,累加 各个面的面积可得,几何体的表面积 解:由题意三视图,可知该几何体左侧是球的四分之一,右侧是一个半

18、圆锥, 可知几何体的体积为: 几何体的表面积为:6+ (6+ ) 故答案为:;6+(6+) 13在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2,b3,c4,则 cosA ,ABC 的面积是 【分析】由已知结合余弦定理可求 cosA,进而可求 sinA,然后代入三角形的面积公式即 可求解 解:因为 a2,b3,c4, 由余弦定理可得,cosA, 所以 sinA, SABC 故答案为:, 14 已知正实数x, y满足x+2y3, 则xy的最大值为 ,的最小值为 2 【分析】由 x+2y2,可求 xy 的最大值; ,利用基本不等式可求最值 解:正实数 x,y 满足 x+2y3,

19、由基本不等式可得,3x+2y2,当且仅当 x2y 时取等号, 则 xy,即最大值 ; 2, 故答案为: 15已知椭圆+1(ab0)的左、右焦点分别是 F1,F2,点 A 是椭圆上位于 x 轴上方的一点,若直线 AF1的斜率为,且|AF1|F1F2|,则椭圆的离心率为 【分析】有题意可得 tanAF1F2,进而求出角的余弦值,由余弦定理可得 AF2的 值,再由椭圆的定义求出 2a,进而求出椭圆的离心率 解:有题意如图所示: 因为直线 AF1的斜率为,所以 tanAF1F2 ,所以 cosAF1F2 , 因为|AF1|F1F2|2c, 由余弦定理可得 AF2 , 所以 2a2c+,即 a 所以离心

20、率 e, 故答案为: 16等比数列an的相邻两项 an,an+1是方程 x22nx+cn0(nN*)的两个实根,记 Tn是 数列cn的前 n 项和,则 Tn 【分析】利用韦达定理,列出关系式,求出数列的首项与公比,然后得到数列的通项公 式,即可求解 Tn 解:等比数列an的相邻两项 an,an+1是方程 x22nx+cn0(nN*)的两个实根, 可得 an+an+12n,anan+1cn 可得,解得,所以 an 1, cnanan+1,c1,q4, 所以数列cn的前 n 项和 Tn 故答案为: 17已知函数 f(x)2lnx1,g(x)a|xm|,若存在实数 a0 使 yf(x)g(x) 在(

21、,e)上有 2 个零点,则 m 的取值范围为 () 【分析】yf(x)g(x)的零点即为 yf(x)与 yg(x)的图象交点,所以利用导 数研究 f(x)的单调性、极值情况,做出图象然后再画出 yg(x)的图象,想办法让 其能产生交点,由此构造方程或不等式求解 解:令 f(x)2lnx10 得 x,且在(,e)上递增 对于 g(x)a|xm|,函数图象关于 xm 对称,且开口向上 当 me 时,显然只有一个交点,不符题意(图); 当时,总能找到 a,使得两函数有两个交点(图); 当 m时,yg(x)的图象的右半部分至多与 yf(x)在 x 轴上方的图象产生两 个交点此时只需研究 g(x)a(x

22、m)与 yf(x)的图象即可 事实上,此时过点(m,0)做 yf(x)的切线,只要是切点落在()内即可(图 ) 设切点为(x0,2lnx01),且 k ,所以切线方程为: ,将(m,0)代入整理得: , ,令, 易知时,m0,故在递减 ,即 综上可知,当时, 存在实数 a0 使 yf(x)g(x)在(,e)上有 2 个零点 故答案为:() 三、解答题:共 5 小题,共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18已知函数 f(x)2sin2x+2sinxcosx,(xR) ()求 f()的值; ()求 f(x)的单调递减区间及 f(x)图象的对称轴方程 【分析】()通过二倍角公式以及两

23、角差的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角 函数的形式,进而求解结论 ()通过正弦函数的对称轴直接求函数 f(x)图象的对称轴方程,利用正弦函数的单 调减区间求出函数的单调递减区间 解:()因为 f(x)2sin2x+2sinxcosxsin2xcos2x2sin(2x ); f()2sin(2); ()令 2xk+(kZ),得 x+(kZ), 即为函数 f(x)图象的对称轴方程 令+2k2x+2k(kZ),得+kx+k(kZ), 即函数 f(x)的单调递减区间是+k,+k(kZ) 19如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,ADC120,PDCD AD,PD平面 ABCD

24、 ()证明:AC平面 PBD; ()求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值 【分析】()要证 AC面 PBD,需证 ACBD,ACPD,由已知条件不难证出; ()以 D 为原点,过在底面作 CD 的垂线为 x 轴,DC 为 y 轴,PD 为 z 轴建立空间直 角坐标系,容易求出平面 PBC 的法向量及直线 AC 的方向向量,问题即可解决 解:()证明:四边形 ABCD 是平行四边形,PDCDAD, 四边形 ABCD 是菱形,ACBD PD平面 ABCD,PDAC, 结合 PD,BD平面 PBD,PDBDD, AC平面 PBD ()以 D 为原点,过在底面作 CD 的垂线所在直线为 x 轴

25、,DC 所在直线为 y 轴,PD 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 不防令 PDADCD2,ADC120,DAB60 D(0,0,0),A(,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2), , 设平面 PBC 的法向量为, ,即, 令 x1,得 yz, 设所求的角为 ,则 故所求角的正弦值为 20设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1,an,Sn成等差数列,且 a5S4+2,nN* ()求数列an的通项公式; ()记 bn,nN*,证明:b1+b2+bn ,nN* 【分析】()由等差数列的中项性质和数列的递推式,结合等比数列的定义和通项公 式、求和公式,解方程可得首项和公比,进而得到

26、所求通项公式; ()求得 bn,当 n2 时,bn (),由数列的裂项相消求和可得 n2 不等 式成立,检验 n1 时,等号也成立,即可得证 解:()a1,an,Sn成等差数列,可得 2ana1+Sn, 当 n2 时,2an1a1+Sn1,两式相减可得 2an2an1SnSn1an, 即 an2an1,可得an为公比为 2 的等比数列,则 Sn a1(2n1), 由 a5S4+2,可得 a1 24a1(241)+2, 解得 a12,则 an2n,nN*; () 证明: bn, 当 n2 时, bn (), 则 b1+b2+bn +(1+), 当 n1 时,a1,则等号取得, 则 b1+b2+b

27、n ,nN* 21如图,设点 F 是抛物线 C:x22y 的焦点,直线 l 与抛物线 C 相切于点 P(点 P 位于第 一象限) , 并与抛物线 C 的准线相交于点 A 过点 P 且与直线 l 垂直的直线 l1交抛物线 C 于另一点 B,交 y 轴于点 Q,连结 AB ()证明:FPQ 为等腰三角形; ()求PAB 面积的最小值 【分析】(1)先求 P 处的切点方程,再根据垂直关系求垂线方程,得到点 Q 坐标,由 抛物线定义得|FQ|FP|, (2)先求 AB 坐标,再求|PA|,|PB|的表达式,利用直角三角形得到面积的函数关系,再 求最大值 【解答】解(1)设 P(x0,)且 x00, 因

28、为直线 l 与抛物线 C 相切,求导得 yx,即 kx0, 所以直线 l 的方程为 yx0x, 直线 l1的方程为 y ,即 Q(0,+1), 因为 F(0,),则|FQ|+1+, 而|FP|+, 所以|FQ|FP|, 即FPQ 为等腰三角形, (2)抛物线 C 的准线为 y, 得 A(,), 所以|PA|, 联立方程组 y和 x22y, 得, 因为,则, 即 B(,), 所以|PB|, 得PAB 面积为 S|PA| |PB|4,当且仅当 x01 时取 等号, 所以PAB 面积最小值为 4 22已知函数 f(x)lnx+,g(x)2ab ex1+b(x+1)lnx2a+2b+2,其中 aR,

29、且 a0 ()求 f(x)在 x(0,1上的最大值; () 若 g (x) 0 对任意的 ba, +) 及 x (0, 1恒成立, 求实数 a 的取值范围 注: e 是自然对数的底数 【分析】()根据函数导数与单调性关系求最值; ()先利用特值探路方法得到必要条件,再证明它的充分性,在证明过程中,先看成 关于 b 的函数,再看成关于 a 的函数,最后变为关于 x 的函数加以解决 解:(), f(x)在(0,1上为增函数, f(x)maxf(1)2; ()由题意,首先由 g(1)2ab2a+2b+22(1a)(b+1)0 得 a1, a1 是 g(x)0 的必要条件, 下面证明 a1 是充分条件, 由已知 ba0,又由()得,即(x+1)lnx2x2, b(x+1)lnx2bx2b, 故 g(x)2abex1+b(x+1)lnx2a+2b+22abex1+2bx2a+2, 又 ex1x,故 g(x)2abex1+2bx2a+22abx+2bx2a+22(1a) (bx+1), a1,b0,x(0,1, g(x)0, a1 是 g(x)0 的充分条件 综上,实数 a 的取值范围为1,+)