2020中考数学压轴专练专题06:二次函数与圆的综合问题(教师版)

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1、 1 中考数学压轴:专题中考数学压轴:专题 06 二次函数与圆的综合问题二次函数与圆的综合问题 【典例分析】 例 1 如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0,c0)交 x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 C,设过点 A,B,C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D (1)如图 1,已知点 A,B,C 的坐标分别为(-2,0) , (8,0) , (0,-4) ; 求此抛物线的函数解析式; 若点 M 为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求BDM 面积的最大值; (2)如图 2,若 a=1,c=-4,求证:无论 b 取何值,点 D 的坐标均不改变 思路点拨 (2)连接 AD、BC,如图 2若

2、 a=1,c=-4,则抛物线的解析式为 y=x2+bx-4,可得 C(0,-4) ,OC=4设 点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,则 OA=-x1,OB=x2,且 x1、x2是方程 x 2+bx-4=0 的两根,根据根与系数的关系 可得 OAOB=4由 A、D、B、C 四点共圆可得ADC=ABC,DAB=DCB,从而可得ADO CBO,根据相似三角形的性质可得 OCOD=OAOB=4,从而可得 OD=1,即可得到 D(0,1) ,因而无论 b 取何值,点 D 的坐标均不改变 满分解答 2 (1)抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(-2,0) ,B(8,0) ,C(0,-4) , 42

3、0 6480 4 abc abc c ,解得 1 4 3 2 4 a b c 抛物线的解析式为 y= 1 4 x2- 3 2 x-4; 过点 M 作 MEy 轴,交 BD 于点 E,连接 BC,如图 1 D(0,4) 设直线 BD 的解析式为 y=mx+n B(8,0) ,D(0,4) , 3 80 4 mn n , 解得 1 2 4 m n , (2)连接 AD、BC,如图 2 若 a=1,c=-4,则抛物线的解析式为 y=x2+bx-4, 则 C(0,-4) ,OC=4 设点 A(x1,0) ,B(x2,0) , 则 OA=-x1,OB=x2,且 x1、x2是方程 x2+bx-4=0 的两

4、根, OAOB=-x1x2=-(-4)=4 4 考点:圆的综合题 例 2 已知抛物线经过 A(3,0), B(4,1)两点,且与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的函数关系式及点 C 的坐标; (2)如图(1),连接 AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点 P,使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角 形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图(2),连接 AC,E 为线段 AC 上任意一点(不与 A、C 重合)经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F,当OEF 的面积取得最小值时,求点 E 的坐标 思路点拨 (1)用待定系数法求解; (2) 假设存在,分两种情

5、况讨论 (3)根据面积公式,列出二次函数,求函数的最值. 满分解答 5 (1)将 A(3,0),B(4,1)代人 得 C(0,3) 当ABP=90O时,过 B 作 BPAC,BP 交抛物线于点 P. A(3,0),C(0,3) 直线 AC 的函数关系式为 将直线 AC 向上平移 2 个单位与直线 BP 重合. 则直线 BP 的函数关系式为 由,得 又 B(4,1), P2(-1,6). 综上所述,存在两点 P1(0,3), P2(-1,6). 6 (3)OAE=OAF=45O,而OEF=OAF=45O, OFE=OAE=45O, OEF=OFE=45O, OE=OF,EOF=90O 点 E 在

6、线段 AC 上, 设 E = = = = 当时,取最小值, 7 此时, 例 3 如图,在平面直角坐标系中,圆 D 与 y轴相切于点 C(0,4),与 x轴相交于 A、B两点,且 AB6. (1)求 D 点的坐标和圆 D的半径; (2)求 sin ACB的值和经过 C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式; (3)设抛物线的顶点为 F,证明直线 AF与圆 D相切 思路点拨 (1)连接 CD,过点 D作 DEAB,垂足为 E,连接 AD依据垂径定理可知 AE=3,然后依据切线的性质 可知 CDy 轴,然后可证明四边形 OCDE为矩形,则 DE=4,然后依据勾股定理可求得 AD 的长,故此可求 得D的

7、半径和点 D的坐标; (2)先求得 A(2,0) 、B(8,0) 设抛物线的解析式为 y=a(x2) (x8) ,将点 C的坐标代入可求得 a 的值根据三角形面积公式得:SABC= BC ACsinACB= AB CO,代入计算即可; (3)求得抛物线的顶点 F的坐标,然后求得 DF和 AF 的长,依据勾股定理的逆定理可证明DAF为直角三 角形,则DAF=90 ,故此 AF是D的切线 满分解答 (2)如图 1所示: D(5,4) ,E(5,0) ,A(2,0) 、B(8,0) 8 设抛物线的解析式为 y=a(x2) (x8) ,将点 C的坐标代入得:16a=4,解得:a,抛物线的解析式 为 y

8、x2x+4 SABC= BC ACsinACB= AB CO,sinACB= = 例 4 如图,已知二次函数 2 2 yxm4m(m0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点 (1)写出 A、B 两点的坐标(坐标用 m 表示) ; (2)若二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上,求二次函数的解析式; (3)设以 AB 为直径的M 与 y 轴交于 C、D 两点,求 CD 的长 思路点拨 (1)解关于 x 的一元二次方程 2 2 xm4m0,求出 x 的值,即可得到 A、B 两点的坐标。 (2)由二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上,A、B 是抛物线与 x 轴的交点,根据抛物线的

9、对称 9 性及圆的半径处处相等可知 PM 是 AB 的垂直平分线,且 MP=MA=MB= 1 2 AB,得出点 P 的坐标为(m, 2m) ,又根据二次函数的顶点式为 2 2 yxm4m(m0) ,得出顶点 P 的坐标为: (m,4m2) ,则 2m=4m2,解方程求出 m 的值,再把 m 的值代入 2 2 yxm4m,即可求出二次函数的解析式。 (3)连接 CM根据(2)中的结论,先在 RtOCM 中,求出 CM,OM 的长度,利用勾股定理列式求出 OC 的长,再根据垂径定理得出弦 CD 的长等于 OC 的 2 倍。 满分解答 (1) 2 2 yxm4m,当 y=0 时, 2 2 xm4m0

10、。 解得 x1=m,x2=3m。 m0,A、B 两点的坐标分别是(m,0) , (3m,0) 。 (3)如图,连接 CM, 在 RtOCM 中, COM=90 ,CM=2m=21 2 =1,OM=m= 1 2 , 10 2 222 13 OCCMOM1 22 。 CD=2OC=3。 例 5 已知圆 P 的圆心在反比例函数 图象上,并与 x 轴相交于 A、B 两点 且始终与 y 轴相切于 定点 C(0,1) (1)求经过 A、B、C 三点的二次函数图象的解析式; (2)若二次函数图象的顶点为 D,问当 k 为何值时,四边形 ADBP 为菱形 思路点拨 (1)连接 PC,过 P 点作 PHx 轴,

11、垂足为 H,根据圆的切线性质,可知 PC 轴,由勾股定理及垂径定 理,C (0,1)可得到 A,B即可 (2)根据菱形的对角线互相平分,则有,得到关于 的方程即可 满分解答 (1)连结 PC、PA、PB,过 P 点作 PHx 轴,垂足为 H 1 分 P 与 轴相切于点 C (0,1), 11 PC 轴 P 点在反比例函数的图象上, P 点坐标为(k,1) 2 分 PA=PC=k 在 RtAPH 中,AH=, OA=OHAH=k A(k,0) 3 分 由P 交 x 轴于 A、B 两点,且 PHAB,由垂径定理可知,PH 垂直平分 AB (2)由(1)知抛物线顶点 D 坐标为(k, 1) DH=1

12、 若四边形 ADBP 为菱形则必有 PH=DH10 分 PH=1,1=1 又k1,k=11 分 12 当 k 取时,PD 与 AB 互相垂直平分,则四边形 ADBP 为菱形 12 分 例 6 如图,二次函数 y=x2+px+q(p0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0,-1) ,ABC 的面积为 5 4 。 (1)求该二次函数的关系式; (2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴的垂线,若该垂线与ABC 的外接圆有公共点,求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ACBD 为直角梯形?若存在,求出点 D 的坐标;若 不存在,请说明

13、理由。 思路点拨 (1)由ABC 的面积为 5 4 ,可得 AB OC= 5 2 ,又二次函数 y=x2+px+q(p0)的图象与 x 轴交于 A、B 两 点,与 y 轴交于点 C(0,-1)可求得该二次函数的关系式; (2)根据直线与圆的位置的位置关系确定 m 的取值范围 (3)四边形 ABCD 为直角梯形,要分类讨论,即究竟那条边为底可以分别以 AC、BC 为底进行讨论 满分解答 由直角坐标系上两点间的距离公式可得 x2-x1=AB= , , 13 (2)设ABC 的外接圆交 y 轴于另一点 D,如图 由得 x1=2, , 连接 AD, 在ABC 的外接圆中, , ADC=ABC,DAB=

14、DCB, AODCOB, , , DO=1, CO=DO=1, 又ABCD, AB 过ABC 外接圆的圆心,即 AB 为ABC 外接圆的直径, ABC 外接圆的直径为, 14 直线与ABC 的外接圆相切, ; 【变式训练】 1如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”已知点 A、B、C、D 分别是“果 圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为 y=x26x16,AB 为半圆的直径,则这个“果圆”被 y 轴截得的线 段 CD 的长为_ 【答案】20 【解析】 15 【分析】 抛物线的解析式为y=x2-6x-16, 可以求出AB=10; 在RtCOM中可以求出CO=4; 则: CD

15、=CO+OD=4+16=20 【详解】 OM=5,OM=3,则:CO=4, 则:CD=CO+OD=4+16=20 故答案是:20. 【点睛】 考查的是抛物线与 x 轴的交点,涉及到圆的垂径定理 2如图,抛物线 2 yxx与 x 轴交于 O、A 两点半径为 1 的动圆P,圆心从 O 点出发沿抛物线向靠 近点 A 的方向移动; 半径为 2 的动圆Q,圆心从 A 点出发沿抛物线向靠近点 O 的方向移动两圆同时出 发, 且移动速度相等, 当运动到 P、 Q 两点重合时同时停止运动 设点 P 的横坐标为 t 若P 与Q 相离, 则 t 的取值 范围是 16 【答案】 1 0 2 t 【解析】 试题分析:

16、 连接 OP、 PQ、 AQ 抛物线 y=x2x 与 x 轴交于 O, A 两点, O 与 A 关于抛物线的对称轴 1 2 x 对称,又动圆(P)的圆心从 O 点出发沿抛物线向靠近点 A 的方向移动;动圆(Q)的圆心从 A 点 出发沿抛物线向靠近点 O 的方向移动, 两圆同时出发, 且移动速度相等, OP=AQ, P 与 Q 也关于直线 1 2 x 对称,四边形 OPQA 是等腰梯形,作等腰梯形 OPQA 的高 PM、QN,则 OM=AN=t,解方程 2 0xx, 得 1 0x , 2 1x ,A(1,0) ,OA=1,ON=OAAN=1t,点 Q 的横坐标是 1t; 若P 与Q 相离,分两种

17、情况:P 与Q 外离,则 PQ2+1,即 PQ3 考点:二次函数综合题 3如图,抛物线过点 A(2,0)、B(6,0)、C(1, 3),平行于 x轴的直线 CD交抛物线于 C、D,以 AB 为 直径的圆交直线 CD于点 E、F,则 CE+FD的值是_ 17 【答案】4 4如图,抛物线 y 1 2 x2 5 2 x 与 x 轴交于 O,A 两点. 半径为 1 的动圆(P) ,圆心从 O 点出发沿抛物 线向靠近点 A 的方向移动;半径为 2 的动圆(Q) ,圆心从 A 点出发沿抛物线向靠近点 O 的方向移动. 两 圆同时出发,且移动速度相等,当运动到 P,Q 两点重合时同时停止运动. 设点 P 的

18、横坐标为 t . (1)点 Q 的横坐标是 (用含 t 的代数式表示) ; 18 (2)若P 与Q 相离,则 t 的取值范围是 . 【答案】 (1)5t; (2)0t1,2t 5 2 . 【解析】 试题分析:(1) 如图, 抛物线y 1 2 x2 5 2 x与x轴交于O, A两点, 两圆刚开始分别在O, A点, 所以 5 op xx ; 设点 P 的横坐标为 t,所以点 Q 的横坐标=5t 考点:二次函数和圆 点评:本题考查二次函数和圆,掌握二次函数的性质和圆相离,会判断两圆相离,圆心距与两圆半径之间 的关系是本题关键 5如图,抛物线的图象与 x 轴交于点 A,B,交 y 轴于点 C,动点 P

19、 从点 A 出发沿射线 AB 运动,运动的速度为每秒 1 个单位长度,运动时间为 t 秒,作BCP 的外接圆M,当圆 心 M 落在该抛物线上时,则 t=_ 秒. 【答案】6 【解析】PBC 的外接圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线 y=-x 上,求出直线 y=-x 与抛物线的交点,即可推 出点 M 坐标,由此即可解决问题. 解:PBC 的外接圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线 y=-x 上 由 2 11 6 42 yx yxx ,解得 4 4 x y 或 6 6 x y (舍去) , 19 点 M 坐标为(4,-4) , 如图中,作 MNAB 于 N, 6 如图,圆 B 切 y 轴于原点 O,

20、过定点 A(-,0)作圆 B 的切线交圆于点 P, 已知 tanPAB=,抛物线 C 经过 A、P 两点。 (1)求圆 B 的半径. (2)若抛物线 C 经过点 B,求其解析式. (3)设抛物线 C 交 y 轴于点 M,若三角形 APM 为直角三角形,求点 M 的坐标. 【答案】 (1); (2)见解析; (3) 点坐标为,. 【解析】 【分析】 (1)因为是的切线,所以连接可构造出直角三角形,利用直角三角形的性质及特殊角的三角函数 值即可求出圆 的半径; 20 (2)根据的半径可求出 点坐标,利用勾股定理或切割线定理可求出的距离,根据、的长可求 出 点坐标,再利用待定系数法即可求出二次函数的

21、解析式; (3)求出 点坐标和 点坐标,设出 点坐标为,根据勾股定理及其逆定理解答. 【详解】 (2)如 在第一象限,与 轴的夹角, 则: 点坐标, 即, 、 关于 轴对称,所以抛物线顶点必在 轴上, 设为, 抛物线解析式:, 将,代入, 得:, 抛物线解析式:, 若 点在四象限,则: 点坐标, 则抛物线解析式:; 来源: 21 【点睛】 此题将圆、抛物线、直线结合起来,考查了对知识的综合运用能力.特别是解(3)时,要应用勾股定理进行 分类讨论. 7如图,将圆 C 放置在直角坐标系中,圆 C 经过原点 O 以及点 A(2,0) ,点 B(0,2 3) 。 (1)求圆心的坐标以及圆 C 的半径;

22、 (4 分) (2)设弧 OB 的中点为 D,请求出同时经过 O,A,D 三个点的抛物线解析式。 并判断该抛物线的顶点是否在圆 C 上,说明理由。 (6分) (3)若(2)中的抛物线上存在点 P(m,n) ,满足APB 为钝角,直接写出 m 的取值范围。 (2 分) 22 【答案】 (1)点 C 的坐标是(1, 3) ; (2)顶点不在圆 C 上; (3)-1m0 或 2x3. 【解析】 (2)如下图所示, 连接 OD 交 OB 于点 M CDOB 于点 M CM= 2 1 OA=1 MD=1 点 D 的坐标为(-1, 3) 23 抛物线的顶点坐标是(1, 3 3 ) 该点到圆心 C 的距离是

23、2 3 34 3 3 3 所以顶点不在圆 C 上; (3)AB 是圆的直径, 当抛物线上的点在圆内部时,APB 是钝角, m 的取值范围是-1m0 或 2x3. 考点:二次函数解析式的求法、圆的基本性质 点评:本题主要考查了二次函数解析式的求法与圆的基本性质.求二次函数的解析式的常用方法是待定系数 法. 24 8 如图, 已知抛物线 2 yaxbxc(a0) 的图象的顶点坐标是 (2, 1) , 并且经过点 (4, 2) , 直线1 2 1 xy 与抛物线交于 B,D 两点,以 BD 为直径作圆,圆心为点 C,圆 C 与直线 m 交于对称轴右侧的点 M(t,1) , 直线 m 上每一点的纵坐标

24、都等于 1 (1)求抛物线的解析式; (2)证明:圆 C 与 x 轴相切; (3)过点 B 作 BEm,垂足为 E,再过点 D 作 DFm,垂足为 F,求 MF 的值 【答案】 (1) 2 1 2 4 yxx ; (2)证明见解析; (3) 51 2 【解析】 试题分析: (1)可设抛物线的顶点式,再结合抛物线过点(4,2) ,可求得抛物线的解析式; (2)联立直线和抛物线解析式可求得 B、D 两点的坐标,则可求得 C 点坐标和线段 BD 的长,可求得圆的 半径,可证得结论; (3)过点 C 作 CHm 于点 H,连接 CM,可求得 MH,利用(2)中所求 B、D 的坐标可求得 FH,则可求

25、得 MF 和 BE 的长,可求得其比值 试题解析: (1)已知抛物线 2 yaxbxc(a0)的图象的顶点坐标是(2,1) ,可设抛物线解析式为 2 (2)1ya x ,抛物线经过点(4,2) , 2 2(42)1a,解得 a= 1 4 ,抛物线解析式为 2 1 (2)1 4 yx,即 2 1 2 4 yxx; 25 (3)如图,过点 C 作 CHm,垂足为 H,连接 CM,由(2)可知 CM= 5 2 ,CH= 5 2 1= 3 2 ,在 RtCMH 中,由勾股定理可求得 MH=2,HF= 35(35) 2 = 5,MF=HFMH=52 ,BE= 55 22 1= 35 22 , BE MF

26、 = 35 22 52 = 51 2 考点:二次函数综合题;压轴题 9如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点 O、M对称轴为直线 x=2, 以 OM 为直径作圆 A,以 OM 的长为边长作菱形 ABCD, 且点 B、C 在第四象限, 点 C 在抛物线对称轴上, 点 D 在 y 轴负半轴上; 26 (1)求证:4a+b=0; (2)若圆 A 与线段 AB 的交点为 E,试判断直线 DE与圆 A 的位置关系,并说明你的理由; (3)若抛物线顶点 P 在菱形 ABCD 的内部且OPM 为锐角时,求 a 的取值范围 【答案】 (1)见解析; (2)DE

27、 与圆 A 相切; (3) 1 3 2 a 【解析】 试题分析: (1)由题意可知(4,0) ,由抛物线经过点 O 可求得 c=0,将 c=0,x=4,y=0 代入抛物线的解析 式可证得:4a+b=0; (2) 如图 1 所示: 由菱形的性质可知: DN=NB, DNAN, 由 OM=AD=AB, 可证明 AD=AB=DB, 由 AE=2 可知 AE=EB,由等腰三角形三线合一的性质可知 AEDE,从而可证明 DE 与圆 A 相切; (3)如图 2 所示设点 P 的坐标为(2,m) 由题意可知点 E 的坐标为(2,2) ,设抛物线的解析式为 y=ax(x4) ,将 x=2 代入得 y=4a 即

28、 m=4a由OPM 为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知4a 2、4a4 3,从而可求得 a 的取值范围 (2)DE 与圆 A 相切 理由:如图 1 所示: 27 AE 为圆 A 的半径, 来源:Z_X_X_K AE=EB=2 AD=DB,AE=EB AEDE DE 与圆 A 相切 (3)如图 2 所示 设点 P 的坐标为(2,m) OM 为圆 A 的直径, OEM=90 28 AE=2,OA=2, 点 E 的坐标为(2,2) 10已知一元二次方程的一根为 求 关于 的函数关系式; 求证:抛物线与 轴有两个交点; 设抛物线与 轴交于 、 两点( 、 不重合) ,且以为直径的圆正好经过该抛物线的

29、 顶点,求 , 的值 【答案】 (1); (2)证明见解析; (3)或 【解析】 【分析】 (1)把 x=2直接代入一元二次方程 x2+px+q+1=0中即可得到 q 关于 p 的函数关系式; (2)利用(1)的结论证明抛物线 y=x2+px+q 的判别式是正数就可以了; (3)首先求出方程 x2+px+q+1=0 的两根,然后用 p 表示 AB 的长度,表示抛物线顶点坐标,再利用以 AB 29 为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于 p 的方程,解方程即可求出 p 【详解】 解:由题意得,即; 证明:一元二次方程的判别式, 由得, 一元二次方程有两个不相等的实根, 抛物线与 轴有两个交

30、点; 【点睛】 考查了一元二次方程的解,抛物线与 轴的交点情况与判别式的关系,圆的知识等,综合性比较强,难度较 大. 11如图,在平面直角坐标系中,圆 M 经过原点 O,且与 x 轴、y 轴分别相交于 A(-8,0) ,B(0,-6)两 点 (1)求出直线 AB 的函数解析式; (2)若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M,顶点 C 在圆 M 上,开口向下,且经过点 B,求此抛物 线的函数解析式; (3)设(2)中的抛物线交 x 轴于 D、E 两点,在抛物线上是否存在点 P,使得 SPDE=SABC?若存在, 请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 30 【答案】 (1)解析式为

31、y= x6; (2)详见解析(3)详见解析 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式; (2)先利用勾股定理计算出 AB=10,再根据圆周角定理得到 AB 为M 的直径,则点 M 为 AB 的中点,M (4,3) ,则可确定 C(4,2) ,然后利用顶点式求出抛物线解析式; (3) 通过解方程(x+4) 2+2=0 得到 D (6, 0) , E (2, 0) , 利用 S ABC=SACM+SBCM, 可求出 SABC=10, 设 P(t, t24t6) ,所以 (2+6)| t24t6|= 20,然后解绝对值方程求出 t 即可得到 P 点坐标 【试题解析】 (1

32、)设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b,把 A(8,0) ,B(0,6)代入得, 解得,所以直线 AB 的解析式为 y= x6; (3)存在 当 y=0 时, (x+4)2+2=0,解得 x1=2,x2=4, D(6,0) ,E(2,0) , SABC=SACM+SBCM= 8CM=20, 31 【考点】圆的综合题;二次函数;圆周角定理;解一元二次方程 12如图,在平面直角坐标系中, 为原点, 点坐标为, 点坐标为,以为直径的圆 与 轴 的负半轴交于点 (1)求图象经过 , , 三点的抛物线的解析式; (2)设 点为所求抛物线的顶点,试判断直线与的关系,并说明理由 【答案】 (1)(2)

33、直线与相切,理由见解析 【解析】 【分析】 32 (1)已知 A、B 两点的坐标,要求抛物线的解析式,即要求点 C 的坐标,由相似三角形的判定与性质求出 OC 的长度,即可求出点 C的坐标; (2)根据抛物线解析式求出点 M 的坐标,分别求出 MP、CP、CM 的长 度,利用勾股定理逆定理判定CPM为直角三角形,从而得出 PCMC,所以直线 MC 与P 相切. 【详解】 解: (1)连接 AC、BC; 故 C(0,4), 设抛物线的解析式为:y=a(x+8)(x2), 代入 C点坐标得:a(0+8)(02)=4,a= , 故抛物线的解析式为:y= (x+8)(x2)=+ x4; (2)由(1)

34、知:y=+ x4=; 则 M(3,), 又C(0, 4),P(3, 0), MP=,PC=5,MC= , 33 MP2=MC2+PC2,即MPC是直角三角形,且PCM=90 , 故直线 MC 与P 相切 【点睛】 本题主要考查二次函数解析式的求解、直线与圆相切的证明方法以及勾股定理逆定理的应用. 13如图,已知的圆心在 x 轴上,且经过、 两点,抛物线(m0) 经过 A、B 两点,顶点为 P。 (1)求抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标(用 m 的代数式表示) ; (2)当 m 为何值时,直线 PD 与圆 C 相切? (3)联结 PB、PD、BD,当 m1 时,求BPD 的正切值。 【答案】

35、(1); (2); (3) 【解析】 试题分析: (1)把、代入抛物线即可得到 c 与 m 的关系,从而求得抛物 线与 y 轴的交点 D 的坐标; (2)根据切线的性质结合函数图象上点的坐标的特征即可求得结果; (3)先把 m=1 代入函数关系式得到点 D、P 的坐标,再根据正切函数的定义即可求得结果. (1)抛物线的图象过点、 C. AB D P O x y 34 039 0 cbm cbm ,解得mc3 抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标为; (3)如图所示: 当 m1 时,32 2 xx 则 D 的坐标为(0,-3) ,P 点坐标为(1,-4) . 考点:二次函数的综合题 35 点评:二

36、次函数的综合题是初中数学的重点和难点,是中考的热点,尤其在压轴题中极为常见,要特别注 意. 14如图,抛物线cbxxy 2 2 1 与 x 轴的两个交点 A、B,与 y 轴交于点 C,A 点坐标为(4,0) ,C 点坐标(0,4) (1)求抛物线的解析式; (2)用直尺和圆规作出的外接圆M, (不写作法,保留作图痕迹) ,并求M 的圆心 M 的坐标; 【答案】(1) 4 2 1 2 xxy;(4 分);(2)作图正确 2 分,N(1,-1)(2 分); 【解析】 考点:二次函数的综合题 点评:在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式,利用数形结合思想解题是本题 的关键 15已

37、知直线 3 4 yxb与抛物线 2 yax交于点 A(1, 1 4 ) ,与y轴交于点 C (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标; 36 (2)把(1)中的抛物线向右平移 2 个单位,再向上平移m个单位(m0) ,抛物线与x轴交于 P、Q 两 点,过 C、P、Q 三点的圆恰好以 CQ 为直径,求m的值; (3)如图,把抛物线向右平移 2 个单位,再向上平移n个单位(n0) ,抛物线与x轴交于 P、Q 两点, 过 C、P、Q 三点的圆的面积是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值和此时n的值;若不存在,请说 明理由 【答案】 (1) 2 1 4 yx ,C(0,-1) ; (2)1m; (3)

38、最小值为4, 3 4 n 【解析】 试题分析: (1)把 A(1, 1 4 )分别代入直线 3 4 yxb与抛物线 2 yax,即可求得结果; (2)先根据平移的特征得到平移后的函数关系式,再根据直径所对的圆周角是直角即可得到结果; (3)先设出平移后抛物线的解析式,不难得出平移后抛物线的对称轴因此过 C、P、Q 三点的圆的圆心 必在对称轴上,要使圆的面积最小,那么圆心到 C 点的距离也要最小,即两点的纵坐标相同,即可得到圆 的半径,求出圆心的坐标可设出平移后的抛物线的解析式,表示出 PQ 的长,如果设对称轴与 x 轴的交点 为 E,那么可表示出 PE 的长,根据勾股定理即可确定平移的距离 (

39、2)设平移后的抛物线函数关系式为mxy 2 )2( 4 1 , 由题意得,此时抛物线的图象经过原点(0,0) , 则04 4 1 m,解得1m; 37 考点:本题考查的是二次函数的综合题 点评:解答本题的关键是注意平移不改变二次项的系数;抛物线的平移,看顶点的平移即可;左右平移, 只改变顶点的横坐标,左减右加;上下平移,只改变顶点的纵坐标,上加下减 16已知抛物线的顶点为(0,4)且与 x 轴交于(2,0) , (2,0) (1)直接写出抛物线解析式; (2)如图,将抛物线向右平移 k 个单位,设平移后抛物线的顶点为 D,与 x 轴的交点为 A、B,与原抛物 线的交点为 P 当直线 OD 与以

40、 AB 为直径的圆相切于 E 时,求此时 k 的值; 是否存在这样的 k 值,使得点 O、P、D 三点恰好在同一条直线上?若存在,求出 k 值;若不存在,请说 明理由 【答案】解: (1)y=x2+4。 (2)如图,连接 CE,CD, 38 存在 k=2 2,能够使得点 O、P、D 三点恰好在同一条直线上。理由如下: 设抛物线 y=x2+4 向右平移 k 个单位后的解析式是 y=(xk)2+4,它与 y=x2+4 交于点 P, 由(xk)2+4=x2+4,解得 x1= k 2 ,x2=0(不合题意舍去) 。 当 x= k 2 时,y= 1 4 k2+4。 点 P 的坐标是( k 2 , 1 4

41、 k2+4) 。 设直线 OD 的解析式为 y=mx,把 D(k,4)代入,得 mk=4,解得 m= 4 k 。 直线 OD 的解析式为 y= 4 k x。 若点 P( k 2 , 1 4 k2+4)在直线 y= 4 k x 上,得 1 4 k2+4= 4 k k 2 ,解得 k=2 2(负值舍去) 。 当 k=2 2时,O、P、D 三点在同一条直线上。 【解析】 试题分析: (1)抛物线的顶点为(0,4) ,可设抛物线解析式为 y=ax2+4。 又抛物线过点(2,0) ,0=4a+4,解得 a=1。抛物线解析式为 y=x2+4。 来源: (2)连接 CE,CD,根据切线的性质得出 CEOD,

42、再解 RtCDE,得出EDC=30 ,然后 RtCDO, 39 得出 OC= 4 3 3 ,则 k=OC= 4 3 3 。 设抛物线 y=x2+4 向右平移 k 个单位后的解析式是 y=(xk)2+4,它与 y=x2+4 交于点 P,先求出 交点 P 的坐标是( k 2 , 1 4 k2+4) ,再利用待定系数法求出直线 OD 的解析式为 y= 4 k x,然后将点 P 的坐标 代入 y= 4 k x,即可求出 k 的值。 17已知抛物线 y=ax2+bx+c ,当 x=0 时,有最小值为 1 ;且在直线 y=2 上截得的线段长为 4 . (1)求此抛物线的解析式; (2)若点 P 是抛物线的

43、任意一点,记点 P 到 X 轴的距离为 d1,点 P 与点 F (0,2)的距离为 d2,猜想 d1、 d2的大小关系,并证明; (3)若直线 PF 交此抛物线于另一点 Q(异于 P 点) 。 试判断以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系,并说 明理由。 【答案】 (1)求此抛物线的解析式: y= 来源:Zxxk.Com (2)猜想:d1=“ d“2. 设 d 的坐标为(x, 0.25x2+1) d1= = 0.25x2+1 | d1= (3) 以 PQ 为直径的圆与 x 轴相切 设 Q 到 x 轴的距离为 m,到 F 的距离为 n, 根据(2)的结论,有 m=n, 过 PQ 的中点作 x

44、的垂线,设其长度为 h, 易得 h= (m+d1) , 40 同时有 PQ=(n+d2)=(m+d1) , 为 h 的 2 倍, 故以 PQ 为直径的圆与 x 轴相切. 来源:Z,X,X,K 【解析】 (1)由 x=0 时,有最小值为 1 得(0,1)点经过抛物线,由在直线 y=2 上截得的线段长为 4 得出(2,2) 、 (-2,2)点经过抛物线,把这三点代入求出抛物线的解析式; (2)由勾股定理即可 d1=; (3)由(2)的结论,找 PQ 的中点到 x 轴的距离与 PQ 的大小关系,容易证得两者相等;故以 PQ 为直径 的圆与 x 轴相切 18在平面直角坐标系中,直线 3 1 4 yx

45、交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线 2 1 2 yxbxc 经 过点B,与直线 3 1 4 yx 交于点(4, 2)C (1)求抛物线的解析式; (2)如图,横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作/ /MEy轴交直线BC于点E,以 ME为直径的圆交直线BC于另一点D当点E在x轴上时,求DEMV的周长; (3)将AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90o,得到 111 AO B,点,A O B的对应点分别是 111 ,A O B若 111 AO B的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点 1 A的坐标 【答案】 (1)抛物线的解析式为:y= 1 2 x2+ 5 4 x+1; (

46、2)DEM 的周长= 64 15 ; (3)点 A1( 3 4 , 31 96 )或( 7 12 , 29 288 ) 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求抛物线的解析式; 41 (2)如图 1,A 与 E 重合,根据直线 y= 3 4 x+1 求得与 x 轴交点坐标可得 OA 的长,由勾股定理得 AB 的 长,利用等角的三角函数得:sinABO= 4 5 OA AB ,cosABO= 3 5 OB AB ,则可得 DE 和 DM 的长,根据 M 的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标,即 ME 的长,相加得DEM 的周长; (3)由旋转可知:O1A1x 轴,O1B1y 轴,设点 A1的横坐标为 x,则点 B1的横坐标为 x+1,所以点 O1, A1不可能同时落在抛物线上,分以下两种情况: 如图 2,当点 O1,B1同时落在抛物线上时,根据点 O1,B1的纵坐标相等列方程可得结论; 如图 3, 当点 A1, B1同时落在抛物线上时, 根据点 B1的纵坐标比点 A1的纵坐标大 4 3 , 列方程可得结论 (2)如图 1,直线 y= 3 4 x+1 交 x 轴于点 A, 当 y=0 时, 3 4

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