(中考三轮复习精准训练)2020年中考数学模拟试卷:三角形压轴题汇编含解析

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1、(中考三轮复习精准训练)(中考三轮复习精准训练)20202020 年中考数学模拟试卷:年中考数学模拟试卷:三角形三角形压轴压轴 题汇编题汇编 1已知,ABC是等边三角形,过点C作CDAB,且CDAB,连接BD交AC于点O (1)如图 1,求证:AC垂直平分BD; (2)如图 2,点M在BC的延长线上,点N在线段CO上,且NDNM,连接BN求证:NB NM 2等腰 RtABC,点D为斜边AB上的中点,点E在线段BD上,连结CD,CE,作AHCE, 垂足为H,交CD于点G,AH的延长线交BC于点F (1)求证:ADGCDE (2)若点H恰好为CE的中点,求证: CGFCFG 3如图,在ABC中,A

2、DBC且BDDE,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E (1)若BAE32,求C的度数; (2)若AC6cm,DC5cm,求ABC的周长 4如图,在ABC中,BAC和ABC的平分线相交于点O,过点O作EFAB交BC于F, 交AC于E,过点O作ODBC于D (1)求证:AOB90+C; (2)求证:AE+BFEF; (3)若ODa,CE+CF2b,请用含a,b的代数式表示CEF的面积,SCEF ab (直 接写出结果) 5如图,在ABC中,ABAC,AD为BC边上的中线,DEAB于点E (1)求证:BDADDEAC (2)若AB13,BC10,求线段DE的长 (3)在(2)的条件下,求

3、cosBDE的值 6如图,在ABC中,ABAC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D,交AC于点E (1)求证:BDCD (2)若弧DE50,求C的度数 (3)过点D作DFAB于点F,若BC8,AF3BF,求弧BD的长 7阅读下面材料: 数学课上,老师给出了如下问题: 如图,AD为ABC中线,点E在AC上,BE交AD于点F,AEEF求证:ACBF 经过讨论,同学们得到以下两种思路: 思路一如图,添加辅助线后依据SAS可证得ADCGDB,再利用AEEF可以进一步 证得GFAEAFEBFG,从而证明结论 思路二如图,添加辅助线后并利用AEEF可证得GBFGAFEFAE,再依据 AAS可以进一步证得A

4、DCGDB,从而证明结论 完成下面问题: (1)思路一 的辅助线的作法是: ; 思路二的辅助线的作法是: (2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求:只写出辅助线的作法,并画 出相应的图形,不需要写出证明过程) 8如图 1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分AOB交AB于点C,点D为 线段AB上一点,过点D作DEOC交y轴于点E,已知AOm,BOn,且m、n满足n 2 8n+16+|n2m|0 (1)求A、B两点的坐标; (2)若点D为AB中点,求OE的长; (3)如图 2,若点P(x,2x+4)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴 上一动点,以E为直角顶点作

5、等腰直角PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标 始终相等,求点P的坐标 9在等边ABC中,线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD 的下方作等边CDE,连结BE (1)若点D在线段AM上时(如图 1) ,则AD BE(填“” 、 “”或“” ) ,CAM 度; (2)设直线BE与直线AM的交点为O 当动点D在线段AM的延长线上时 (如图 2) , 试判断AD与BE的数量关系, 并说明理由; 当动点D在直线AM上时, 试判断AOB是否为定值?若是, 请直接写出AOB的度数; 若不是,请说明理由 10数学课上,王老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后,进行了如下

6、解答: (1)特殊情况探索结论:在等边三角形ABC中,当点E为AB的中点时,点D在CB点 延长线上,且EDEC;如图 1,确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论 ; (2)特例启发,解答题目 王老师给出的题目中,AE与DB的大小关系是: 理由如下: 如图 2,过点E作EFBC,交AC于点F, (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题 在ABC中,ABBCAC1;点E在AB的延长线上,AE2;点D在CB的延长线上,ED EC,如图 3,请直接写CD的长 11定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍,则称这样的三角形为“倍角 三角形” (1)如图 1,ABC中,ABAC,

7、A36,求证:ABC是倍角三角形; (2)若ABC是倍角三角形,ABC,B30,AC,求ABC面积; (3)如图 2,ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D,延长CA到点E,使得 AEAB,若AB+ACBD,请你找出图中的倍角三角形,并进行证明 12如图,在平面直角坐标系中,OAOB,ACCD,已知两点A(4,0) ,C(0,7) ,点D 在第一象限内,DCA90,点B在线段OC上,AB的延长线与DC的延长线交于点M, AC与BD交于点N (1)点B的坐标为: ; (2)求点D的坐标; (3)求证:CMCN 13如图,在ABC中,BDAC,垂足为C,且AC,点E是一动点,其在BC上移动

8、, 连接DE,并过点E作EFDE,点F在AB的延长线上,连接DF交BC于点G (1)请同学们根据以上提示,在上图基础上补全示意图 (2)当ABD与FDE全等,且ADFE,A30,AFD40,求C的度数 14如图CP是等边ABC的外角ACE的平分线,点D在边BC上,以D为顶点,DA为一 条边作ADF60,另一边交射线CP于F (1)求证ADFD; (2)若AB2,BDx,DFy,求y关于x的函数解析式; (3)联结AF,当ADF的面积为时,求BD的长 15如图,ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个 120的角,角的两 边分别交直线AB、直线AC于M、N两点以点D为中心旋转MDN

9、(MDN的度数不变) , 当DM与AB垂直时(如图所示) ,易证BM+CNBD (1)如图,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CNBD是否 仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (2)如图,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN BD是否仍然成立?若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明 (中考三轮复习精准训练)(中考三轮复习精准训练)20202020 年中考数学模拟试卷:年中考数学模拟试卷:三角形三角形压轴压轴 题汇编题汇编 1已知,ABC是等边三角形,过点C作CDAB,且CDAB,连接BD交AC于点

10、O (1)如图 1,求证:AC垂直平分BD; (2)如图 2,点M在BC的延长线上,点N在线段CO上,且NDNM,连接BN求证:NB NM (1)证明:ABC是等边三角形, ABCACBCAB60, CDAB,且CDAB, CDCABC,ACDACB60, BODO,COBD, AC垂直平分BD; (2)由(1)知AC垂直平分BD, NBND, NDNM, NBNM 2等腰 RtABC,点D为斜边AB上的中点,点E在线段BD上,连结CD,CE,作AHCE, 垂足为H,交CD于点G,AH的延长线交BC于点F (1)求证:ADGCDE (2)若点H恰好为CE的中点,求证: CGFCFG 证明: (

11、1)在等腰 RtABC中, 点D为斜边AB上的中点, CDAB,CDAB, ADAB, ADCD, CDAB, ADGCDE90, AHCE, CGH+GCH90, AGD+GAD90, 又AGDCGH, GADGCH, 在ADG和CDE中 ADGCDE90,ADCD,GADGCH ADGCDE(ASA) , (2)AHCE,点H为CE的中点, ACAE, CAHEAH, CAH+AFC90, EAH+AGD90, AFCAGD, AGDCGH, AFCCGH, 即CGFCFG 3如图,在ABC中,ADBC且BDDE,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E (1)若BAE32,求C的度数

12、; (2)若AC6cm,DC5cm,求ABC的周长 解: (1)ADBC,BDDE,EF垂直平分AC ABAEEC CCAE, BAE32 AED(18032)74; CAED37; (2)由(1)知:AEECAB, BDDE, AB+BDEC+DEDC, ABC的周长AB+BC+AC, AB+BD+DC+AC, 2DC+AC25+616(cm) 4如图,在ABC中,BAC和ABC的平分线相交于点O,过点O作EFAB交BC于F, 交AC于E,过点O作ODBC于D (1)求证:AOB90+C; (2)求证:AE+BFEF; (3)若ODa,CE+CF2b,请用含a,b的代数式表示CEF的面积,S

13、CEF ab (直 接写出结果) 证明: (1)OA,OB平分BAC和ABC, , AOB 180 OAB OBA (2)EFAB, OABAOE,ABOBOF 又OABEAO,OBAOBF, AOEEAO,BOFOBF, AEOE,BFOF, EFOE+OFAE+BF; (3)点O在ACB的平分线上, 点O到AC的距离等于OD, SCEF(CE+CF) OD2baab, 故答案为:ab 5如图,在ABC中,ABAC,AD为BC边上的中线,DEAB于点E (1)求证:BDADDEAC (2)若AB13,BC10,求线段DE的长 (3)在(2)的条件下,求 cosBDE的值 证明: (1)ABA

14、C,BDCD, ADBC,BC, DEAB, DEBADC, BDECAD , BAADDECA; (2)ABAC,BDCD, ADBC, 在 RtADB中,AD12, ADBDABDE, DE (3)ADBAED90, BDEBAD, cosBDEcosBAD 6如图,在ABC中,ABAC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D,交AC于点E (1)求证:BDCD (2)若弧DE50,求C的度数 (3)过点D作DFAB于点F,若BC8,AF3BF,求弧BD的长 (1)证明:如图,连接AD AB是圆O的直径, ADBD 又ABAC, BDCD (2)解:弧DE50, EOD50 DAEDOE25

15、由(1)知,ADBD,则ADB90, ABD902565 ABAC, CABD65 (3)BC8,BDCD, BD4 设半径ODx则AB2x 由AF3BF可得AFABx,BFABx, ADBD,DFAB, BD 2BFAB,即 42 x2x 解得x4 OBODBD4, OBD是等边三角形, BOD60 弧BD的长是: 7阅读下面材料: 数学课上,老师给出了如下问题: 如图,AD为ABC中线,点E在AC上,BE交AD于点F,AEEF求证:ACBF 经过讨论,同学们得到以下两种思路: 思路一如图,添加辅助线后依据SAS可证得ADCGDB,再利用AEEF可以进一步 证得GFAEAFEBFG,从而证明

16、结论 思路二如图,添加辅助线后并利用AEEF可证得GBFGAFEFAE,再依据 AAS可以进一步证得ADCGDB,从而证明结论 完成下面问题: (1)思路一 的辅助线的作法是: 延长AD至点G,使DGAD,连接BG ; 思路二的辅助线的作法是: 作BGBF交AD的延长线于点G (2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求: 只写出辅助线的作法,并 画出相应的图形,不需要写出证明过程) 解: (1)延长AD至点G,使DGAD,连接BG,如图,理由如下: AD为ABC中线, BDCD, 在ADC和GDB中, ADCGDB(SAS) , ACBG, AEEF, CADEFA, BFGG,GC

17、AD, GBFG, BGBF, ACBF 故答案为:延长AD至点G,使DGAD,连接BG; 作BGBF交AD的延长线于点G,如图理由如下: BGBF, GBFG, AEEF, EAFEFA, EFABFG, GEAF, 在ADC和GDB中, A DCGDB(AAS) , ACBG, ACBF; 故答案为:作BGBF交AD的延长线于点G; (2)作BGAC交AD的延长线于G,如图所示: 则GCAD, AD为ABC中线, BDCD, 在ADC和GDB中, ADCGDB(AAS) , ACBG, AEEF, CADEFA, BFGG,GCAD, GBFG, BGBF, ACBF 8如图 1,直线AB

18、分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分AOB交AB于点C,点D为 线段AB上一点,过点D作DEOC交y轴于点E,已知AOm,BOn,且m、n满足n 2 8n+16+|n2m|0 (1)求A、B两点的坐标; (2)若点D为AB中点,求OE的长; (3)如图 2,若点P(x,2x+4)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴 上一动点,以E为直角顶点作等腰直角PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标 始终相等,求点P的坐标 解: (1)n 28n+16+|n2m|0, (n4) 2+|n2m|0, (n4) 20,|n2m|0, (n4) 20,|n2m|0, m2,n4, 点A为(2

19、,0) ,点B为(0,4) ; (2)延长DE交x轴于点F,延长FD到点G,使得DGDF,连接BG, 设OEx, OC平分AOB, BOCAOC45, DEOC, EFOFEOBEGBOCAOC45, OEOFx, 在ADF和BDG中, , ADFBDG(SAS) , BGAF2+x,GAFE45, GBEG45, BGBE4x, 4x2+x,解得:x1, OE1; (3)如图 2,分别过点F、P作FMy轴于点M,PNy轴于点N,设点E为(0,m) , 点P的坐标为(x,2x+4) , PNx,ENm+2x4, PEF90, PEN+FEM90, FMy轴, MFE+FEM90, PENMFE

20、, 在EFM和PEN中, , EFMPEN(AAS) , MENPx,FMENm+2x4, 点F为(m+2x4,m+x) , F点的横坐标与纵坐标相等, m+2x4m+x, 解得:x4, 点P为(4,4) 9在等边ABC中,线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD 的下方作等边CDE,连结BE (1)若点D在线段AM上时(如图 1) ,则AD BE(填“” 、 “”或“” ) ,CAM 30 度; (2)设直线BE与直线AM的交点为O 当动点D在线段AM的延长线上时 (如图 2) , 试判断AD与BE的数量关系, 并说明理由; 当动点D在直线AM上时, 试判断AOB是否

21、为定值?若是, 请直接写出AOB的度数; 若不是,请说明理由 解: (1) )ABC与DEC都是等边三角形 ACBC,CDCE,ACBDC E60 ACD+DCBDCB+BCE ACDBCE 在ADC和BEC中 , ACDBCE(SAS) , ADBE; ABC是等边三角形, BAC60 线段AM为BC边上的中线 CAMBAC, CAM30 故答案为:,30; (2)ADBE, 理由如下:ABC和CDE都是等边三角形 ABBC,DCEC,ACBDCE60, ACDACBDCB,BCEDCEDCB, ACDBCE, ACDBCE(SAS) ADBE AOB是定值,AOB60, 理由如下: 当点D

22、在线段AM上时,如图 1,由知ACDBCE,则CBECAD30, 又ABC60, CBE+ABC60+3090, ABC是等边三角形,线段AM为BC边上的中线 AM平分BAC,即, BOA903060 当点D在线段AM的延长线上时,如图 2, ABC与DEC都是等边三角形 ACBC,CDCE,ACBDCE60 ACB+DCBDCB+DCE ACDBCE 在ACD和BCE中 , ACDBCE(SAS) CBECAD30, 同理可得:BAM30, BOA903060 10数学课上,王老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况探索结论:在等边三角形ABC中,当点E

23、为AB的中点时,点D在CB点 延长线上,且EDEC;如图 1,确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论 AE DB ; (2)特例启发,解答题目 王老师给出的题目中,AE与DB的大小关系是: AEDB 理由如下: 如图 2,过点E作EFBC,交AC于点F, (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题 在ABC中,ABBCAC1;点E在AB的延长线上,AE2;点D在CB的延长线上,ED EC,如图 3,请直接写CD的长 1 或 3 解: (1)如图 1,过点E作EFBC,交AC于点F, ABC为等边三角形, AFEACBABC60,AEF为等边三角形, EFCEBD120,EFAE,

24、 EDEC, EDBECB,ECBFEC, EDBFEC, 在BDE和FEC中, , BDEFEC(AAS) , BDEF, AEBD, 故答案为:; (2 )解答过程如下:如图 2,过点E作EFBC,交AC于点F, ABC为等边三角形, AFEACBABC60,AEF为等边三角形, EFCEBD120,EFAE, EDEC, EDBECB,ECBFEC, EDBFEC, 在BDE和FEC中 , BDEFEC(AAS) , BDEF, AEBD 故答案为:AEDB (3)解:分为四种情况: 如图 3, ABAC1,AE2, B是AE的中点, ABC是等边三角形, ABACBC1, ACE是直角

25、 三角形 (根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半) , ACE90,AEC30, DECBBEC30,DBEABC60, DEB180306090, 即DEB是直角三角形 BD2BE2(30所对的直角边等于斜边的一半) , 即CD1+23 如图 4, 过A作ANBC于N,过E作EMCD于M, 等边三角形ABC,ECED, BNCNBC,CMMDCD,ANEM, BANBEM, , ABC边长是 1,AE2, , MN1, CMMNCN1, CD2CM1; 如图 5, ECDEBC(EBC120) ,而ECD不能大于 120,否则EDC不符合三角形内 角和定理, 此时不存在ECED; 如图 6

26、, EDCABC,ECBACB, 又ABCACB60, ECDEDC, 即此时EDEC, 此时情况不存在, 答:CD的长是 3 或 1 故答案为:1 或 3 11定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍,则称这样的三角形为“倍角 三角形” (1)如图 1,ABC中,ABAC,A36,求证:ABC是倍角三角形; (2)若ABC是倍角三角形,ABC,B30,AC,求ABC面积; (3)如图 2,ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D,延长CA到点E,使得 AEAB,若AB+ACBD,请你找出图中的倍角三角形,并进行证明 (1)证明:ABAC, BC, A+B+C180,A36,

27、BC72, A2C, 即ABC是倍角三角形, (2)解:ABC,B30, 当B2C,得C15, 过C作CH直线AB,垂足为H, 可得CAH45, AHCHAC4 BH, ABBHAH4, S 当A2B或A2C时,与ABC矛盾,故不存在 综上所述,ABC面积为 (3)AD平分BAE, BADEAD, ABAE,ADAD, ABDAED(SAS) , ADEADB,BDDE 又AB+ACBD, AE+ACBD,即CEBD CEDE CBDE2ADC ADC是倍角三角形 12如图,在平面直角坐标系中,OAOB,ACCD,已知两点A(4,0) ,C(0,7) ,点D 在第一象限内,DCA90,点B在线

28、段OC上,AB的延长线与DC的延长线交于点M, AC与BD交于点N (1)点B的坐标为: (0,4) ; (2)求点D的坐标; (3)求证:CMCN 解: (1)A(4,0) , OAOB4, B(0,4) , 故答案为: (0,4) (2)C(0,7) , OC7, 过点D作DEy轴,垂足为E, DECAOC90, DCA90, ECD+BCAECD+EDC90 BCAEDC, DECCOA(AAS) , DEOC7,ECOA4, OEOC+EC11, D(7,11) ; (3)证明:BEOEOB1147 BEDE, DBE是等腰直角三角形, DBE45, OAOB, OBA45, DBA9

29、0, BAN+ANB90, DCA90, CDN+DNC90, DNCANB, CDNBAN, DCA90, ACMDCN90, DCNACM(ASA) , CMCN 13如图,在ABC中,BDAC,垂足为C,且AC,点E是一动点,其在BC上移动, 连接DE,并过点E作EFDE,点F在AB的延长线上,连接DF交BC于点G (1)请同学们根据以上提示,在上图基础上补全示意图 (2)当ABD与FDE全等,且ADFE,A30,AFD40,求C的度数 解: (1)补全示意图如图所示, (2)DEEF,BDAC, DEFADB90 ABD与DEF全等, ABDF, 又ADFE, ABDFDE, BDDE

30、 在 RtABD中,ABD90A60 FDE60 ABDBDF+AFD, AFD40, BDF20 BDEBDF+FDE20+6080 BDDE, DBEBED(180BDE)50 在 RtBDC中,C90DBE905040 14如图CP是等边ABC的外角ACE的平分线,点D在边BC上,以D为顶点,DA为一 条边作ADF60,另一边交射线CP于F (1)求证ADFD; (2)若AB2,BDx,DFy,求y关于x的函数解析式; (3)联结AF,当ADF的面积为时,求BD的长 证明: (1)如图 1,连接AF, ACB60, ACE120, CP平分ACE, ACPPCE60, ADFACP60,

31、 A、D、C、F四点共圆, AFDACB60, ADFAFD60, DAF60, ADF是等边三角形, ADFD; (2)如图 2,过点A作AHBC, ABC是等边三角形,AHBC,AB2, BH1,AHBH, HDBDBHx1, DF, y (3)ADF是等边三角形,且ADF的面积为, DF 2 , DF 2 x 22x+4 x BD或 15如图,ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个 120的角,角的两 边分别交直线AB、直线AC于M、N两点以点D为中心旋转MDN(MDN的度数不变) , 当DM与AB垂直时(如图所示) ,易证BM+CNBD (1)如图,当DM与AB不垂直,

32、点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CNBD是否 仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (2)如图,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN BD是否仍然成立?若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明 解: (1)结论BM+CNBD成立,理由如下: 如图,过点D作DEAC交AB于E, ABC是等边三角形, ABC60, DEAC, BEDA60,BDEC60, BBEDBDE60, BDE是等边三角形,EDC120, BDBEDE,EDN+CDN120, EDM+EDNMDN120, CDNEDM, D是BC边的中点, DEB

33、DCD, 在CDN和EDM中, , CDNEDM(ASA) , CNEM, BDBEBM+EMBM+CN; (2)上述结论不成立,BM,CN,BD之间的数量关系为:BMCNBD;理由如下: 如图,过点D作DEAC交AB于E, ABC是等边三角形, ABC60, NCD120, DEAC, BEDA60,BDEC60, BBEDBDE60, BDE是等边三角形,MEDEDC120, BDBEDE,NCDMED,EDM+CDM120, CDN+CDMMDN120, CDNEDM, D是BC边的中点, DEBDCD, 在CDN和EDM中, , CDNEDM(ASA) , CNEM, BDBEBMEMBMCN, BMCNBD

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