1、（中考三轮复习精准训练）（中考三轮复习精准训练）20202020 年中考数学模拟试卷：年中考数学模拟试卷：三角形三角形压轴压轴 题汇编题汇编 1已知，ABC是等边三角形，过点C作CDAB，且CDAB，连接BD交AC于点O （1）如图 1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图 2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且NDNM，连接BN求证：NB NM 2等腰 RtABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AHCE， 垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F （1）求证：ADGCDE （2）若点H恰好为CE的中点，求证： CGFCFG 3如图，在ABC中，A
2、DBC且BDDE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E （1）若BAE32，求C的度数； （2）若AC6cm，DC5cm，求ABC的周长 4如图，在ABC中，BAC和ABC的平分线相交于点O，过点O作EFAB交BC于F， 交AC于E，过点O作ODBC于D （1）求证：AOB90+C； （2）求证：AE+BFEF； （3）若ODa，CE+CF2b，请用含a，b的代数式表示CEF的面积，SCEF ab （直 接写出结果） 5如图，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的中线，DEAB于点E （1）求证：BDADDEAC （2）若AB13，BC10，求线段DE的长 （3）在（2）的条件下，求
3、cosBDE的值 6如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E （1）求证：BDCD （2）若弧DE50，求C的度数 （3）过点D作DFAB于点F，若BC8，AF3BF，求弧BD的长 7阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AEEF求证：ACBF 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图，添加辅助线后依据SAS可证得ADCGDB，再利用AEEF可以进一步 证得GFAEAFEBFG，从而证明结论 思路二如图，添加辅助线后并利用AEEF可证得GBFGAFEFAE，再依据 AAS可以进一步证得A
4、DCGDB，从而证明结论 完成下面问题： （1）思路一 的辅助线的作法是： ； 思路二的辅助线的作法是： （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画 出相应的图形，不需要写出证明过程） 8如图 1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分AOB交AB于点C，点D为 线段AB上一点，过点D作DEOC交y轴于点E，已知AOm，BOn，且m、n满足n 2 8n+16+|n2m|0 （1）求A、B两点的坐标； （2）若点D为AB中点，求OE的长； （3）如图 2，若点P（x，2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴 上一动点，以E为直角顶点作
5、等腰直角PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标 始终相等，求点P的坐标 9在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边CDE，连结BE （1）若点D在线段AM上时（如图 1） ，则AD BE（填“” 、 “”或“” ） ，CAM 度； （2）设直线BE与直线AM的交点为O 当动点D在线段AM的延长线上时 （如图 2） ， 试判断AD与BE的数量关系， 并说明理由； 当动点D在直线AM上时， 试判断AOB是否为定值？若是， 请直接写出AOB的度数； 若不是，请说明理由 10数学课上，王老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后，进行了如下
6、解答： （1）特殊情况探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点 延长线上，且EDEC；如图 1，确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论 ； （2）特例启发，解答题目 王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是： 理由如下： 如图 2，过点E作EFBC，交AC于点F， （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在ABC中，ABBCAC1；点E在AB的延长线上，AE2；点D在CB的延长线上，ED EC，如图 3，请直接写CD的长 11定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角 三角形” （1）如图 1，ABC中，ABAC，
7、A36，求证：ABC是倍角三角形； （2）若ABC是倍角三角形，ABC，B30，AC，求ABC面积； （3）如图 2，ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得 AEAB，若AB+ACBD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明 12如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ACCD，已知两点A（4，0） ，C（0，7） ，点D 在第一象限内，DCA90，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M， AC与BD交于点N （1）点B的坐标为： ； （2）求点D的坐标； （3）求证：CMCN 13如图，在ABC中，BDAC，垂足为C，且AC，点E是一动点，其在BC上移动
8、， 连接DE，并过点E作EFDE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G （1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图 （2）当ABD与FDE全等，且ADFE，A30，AFD40，求C的度数 14如图CP是等边ABC的外角ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一 条边作ADF60，另一边交射线CP于F （1）求证ADFD； （2）若AB2，BDx，DFy，求y关于x的函数解析式； （3）联结AF，当ADF的面积为时，求BD的长 15如图，ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个 120的角，角的两 边分别交直线AB、直线AC于M、N两点以点D为中心旋转MDN
9、（MDN的度数不变） ， 当DM与AB垂直时（如图所示） ，易证BM+CNBD （1）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CNBD是否 仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明 （中考三轮复习精准训练）（中考三轮复习精准训练）20202020 年中考数学模拟试卷：年中考数学模拟试卷：三角形三角形压轴压轴 题汇编题汇编 1已知，ABC是等边三角形，过点C作CDAB，且CDAB，连接BD交AC于点
10、O （1）如图 1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图 2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且NDNM，连接BN求证：NB NM （1）证明：ABC是等边三角形， ABCACBCAB60， CDAB，且CDAB， CDCABC，ACDACB60， BODO，COBD， AC垂直平分BD； （2）由（1）知AC垂直平分BD， NBND， NDNM， NBNM 2等腰 RtABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AHCE， 垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F （1）求证：ADGCDE （2）若点H恰好为CE的中点，求证： CGFCFG 证明： （
11、1）在等腰 RtABC中， 点D为斜边AB上的中点， CDAB，CDAB， ADAB， ADCD， CDAB， ADGCDE90， AHCE， CGH+GCH90， AGD+GAD90， 又AGDCGH， GADGCH， 在ADG和CDE中 ADGCDE90，ADCD，GADGCH ADGCDE（ASA） ， （2）AHCE，点H为CE的中点， ACAE， CAHEAH， CAH+AFC90， EAH+AGD90， AFCAGD， AGDCGH， AFCCGH， 即CGFCFG 3如图，在ABC中，ADBC且BDDE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E （1）若BAE32，求C的度数
12、； （2）若AC6cm，DC5cm，求ABC的周长 解： （1）ADBC，BDDE，EF垂直平分AC ABAEEC CCAE， BAE32 AED（18032）74； CAED37； （2）由（1）知：AEECAB， BDDE， AB+BDEC+DEDC， ABC的周长AB+BC+AC， AB+BD+DC+AC， 2DC+AC25+616（cm） 4如图，在ABC中，BAC和ABC的平分线相交于点O，过点O作EFAB交BC于F， 交AC于E，过点O作ODBC于D （1）求证：AOB90+C； （2）求证：AE+BFEF； （3）若ODa，CE+CF2b，请用含a，b的代数式表示CEF的面积，S
13、CEF ab （直 接写出结果） 证明： （1）OA，OB平分BAC和ABC， ， AOB 180 OAB OBA （2）EFAB， OABAOE，ABOBOF 又OABEAO，OBAOBF， AOEEAO，BOFOBF， AEOE，BFOF， EFOE+OFAE+BF； （3）点O在ACB的平分线上， 点O到AC的距离等于OD， SCEF（CE+CF） OD2baab， 故答案为：ab 5如图，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的中线，DEAB于点E （1）求证：BDADDEAC （2）若AB13，BC10，求线段DE的长 （3）在（2）的条件下，求 cosBDE的值 证明： （1）ABA
14、C，BDCD， ADBC，BC， DEAB， DEBADC， BDECAD ， BAADDECA； （2）ABAC，BDCD， ADBC， 在 RtADB中，AD12， ADBDABDE， DE （3）ADBAED90， BDEBAD， cosBDEcosBAD 6如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E （1）求证：BDCD （2）若弧DE50，求C的度数 （3）过点D作DFAB于点F，若BC8，AF3BF，求弧BD的长 （1）证明：如图，连接AD AB是圆O的直径， ADBD 又ABAC， BDCD （2）解：弧DE50， EOD50 DAEDOE25
15、由（1）知，ADBD，则ADB90， ABD902565 ABAC， CABD65 （3）BC8，BDCD， BD4 设半径ODx则AB2x 由AF3BF可得AFABx，BFABx， ADBD，DFAB， BD 2BFAB，即 42 x2x 解得x4 OBODBD4， OBD是等边三角形， BOD60 弧BD的长是： 7阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AEEF求证：ACBF 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图，添加辅助线后依据SAS可证得ADCGDB，再利用AEEF可以进一步 证得GFAEAFEBFG，从而证明
16、结论 思路二如图，添加辅助线后并利用AEEF可证得GBFGAFEFAE，再依据 AAS可以进一步证得ADCGDB，从而证明结论 完成下面问题： （1）思路一 的辅助线的作法是： 延长AD至点G，使DGAD，连接BG ； 思路二的辅助线的作法是： 作BGBF交AD的延长线于点G （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求： 只写出辅助线的作法，并 画出相应的图形，不需要写出证明过程） 解： （1）延长AD至点G，使DGAD，连接BG，如图，理由如下： AD为ABC中线， BDCD， 在ADC和GDB中， ADCGDB（SAS） ， ACBG， AEEF， CADEFA， BFGG，GC
17、AD， GBFG， BGBF， ACBF 故答案为：延长AD至点G，使DGAD，连接BG； 作BGBF交AD的延长线于点G，如图理由如下： BGBF， GBFG， AEEF， EAFEFA， EFABFG， GEAF， 在ADC和GDB中， A DCGDB（AAS） ， ACBG， ACBF； 故答案为：作BGBF交AD的延长线于点G； （2）作BGAC交AD的延长线于G，如图所示： 则GCAD， AD为ABC中线， BDCD， 在ADC和GDB中， ADCGDB（AAS） ， ACBG， AEEF， CADEFA， BFGG，GCAD， GBFG， BGBF， ACBF 8如图 1，直线AB
18、分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分AOB交AB于点C，点D为 线段AB上一点，过点D作DEOC交y轴于点E，已知AOm，BOn，且m、n满足n 2 8n+16+|n2m|0 （1）求A、B两点的坐标； （2）若点D为AB中点，求OE的长； （3）如图 2，若点P（x，2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴 上一动点，以E为直角顶点作等腰直角PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标 始终相等，求点P的坐标 解： （1）n 28n+16+|n2m|0， （n4） 2+|n2m|0， （n4） 20，|n2m|0， （n4） 20，|n2m|0， m2，n4， 点A为（2
19、，0） ，点B为（0，4） ； （2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DGDF，连接BG， 设OEx， OC平分AOB， BOCAOC45， DEOC， EFOFEOBEGBOCAOC45， OEOFx， 在ADF和BDG中， ， ADFBDG（SAS） ， BGAF2+x，GAFE45， GBEG45， BGBE4x， 4x2+x，解得：x1， OE1； （3）如图 2，分别过点F、P作FMy轴于点M，PNy轴于点N，设点E为（0，m） ， 点P的坐标为（x，2x+4） ， PNx，ENm+2x4， PEF90， PEN+FEM90， FMy轴， MFE+FEM90， PENMFE
20、， 在EFM和PEN中， ， EFMPEN（AAS） ， MENPx，FMENm+2x4， 点F为（m+2x4，m+x） ， F点的横坐标与纵坐标相等， m+2x4m+x， 解得：x4， 点P为（4，4） 9在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边CDE，连结BE （1）若点D在线段AM上时（如图 1） ，则AD BE（填“” 、 “”或“” ） ，CAM 30 度； （2）设直线BE与直线AM的交点为O 当动点D在线段AM的延长线上时 （如图 2） ， 试判断AD与BE的数量关系， 并说明理由； 当动点D在直线AM上时， 试判断AOB是否
21、为定值？若是， 请直接写出AOB的度数； 若不是，请说明理由 解： （1） ）ABC与DEC都是等边三角形 ACBC，CDCE，ACBDC E60 ACD+DCBDCB+BCE ACDBCE 在ADC和BEC中 ， ACDBCE（SAS） ， ADBE； ABC是等边三角形， BAC60 线段AM为BC边上的中线 CAMBAC， CAM30 故答案为：，30； （2）ADBE， 理由如下：ABC和CDE都是等边三角形 ABBC，DCEC，ACBDCE60， ACDACBDCB，BCEDCEDCB， ACDBCE， ACDBCE（SAS） ADBE AOB是定值，AOB60， 理由如下： 当点D
22、在线段AM上时，如图 1，由知ACDBCE，则CBECAD30， 又ABC60， CBE+ABC60+3090， ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线 AM平分BAC，即， BOA903060 当点D在线段AM的延长线上时，如图 2， ABC与DEC都是等边三角形 ACBC，CDCE，ACBDCE60 ACB+DCBDCB+DCE ACDBCE 在ACD和BCE中 ， ACDBCE（SAS） CBECAD30， 同理可得：BAM30， BOA903060 10数学课上，王老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况探索结论：在等边三角形ABC中，当点E
23、为AB的中点时，点D在CB点 延长线上，且EDEC；如图 1，确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论 AE DB ； （2）特例启发，解答题目 王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是： AEDB 理由如下： 如图 2，过点E作EFBC，交AC于点F， （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在ABC中，ABBCAC1；点E在AB的延长线上，AE2；点D在CB的延长线上，ED EC，如图 3，请直接写CD的长 1 或 3 解： （1）如图 1，过点E作EFBC，交AC于点F， ABC为等边三角形， AFEACBABC60，AEF为等边三角形， EFCEBD120，EFAE，
24、 EDEC， EDBECB，ECBFEC， EDBFEC， 在BDE和FEC中， ， BDEFEC（AAS） ， BDEF， AEBD， 故答案为：； （2 ）解答过程如下：如图 2，过点E作EFBC，交AC于点F， ABC为等边三角形， AFEACBABC60，AEF为等边三角形， EFCEBD120，EFAE， EDEC， EDBECB，ECBFEC， EDBFEC， 在BDE和FEC中 ， BDEFEC（AAS） ， BDEF， AEBD 故答案为：AEDB （3）解：分为四种情况： 如图 3， ABAC1，AE2， B是AE的中点， ABC是等边三角形， ABACBC1， ACE是直角
25、 三角形 （根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） ， ACE90，AEC30， DECBBEC30，DBEABC60， DEB180306090， 即DEB是直角三角形 BD2BE2（30所对的直角边等于斜边的一半） ， 即CD1+23 如图 4， 过A作ANBC于N，过E作EMCD于M， 等边三角形ABC，ECED， BNCNBC，CMMDCD，ANEM， BANBEM， ， ABC边长是 1，AE2， ， MN1， CMMNCN1， CD2CM1； 如图 5， ECDEBC（EBC120） ，而ECD不能大于 120，否则EDC不符合三角形内 角和定理， 此时不存在ECED； 如图 6
26、， EDCABC，ECBACB， 又ABCACB60， ECDEDC， 即此时EDEC， 此时情况不存在， 答：CD的长是 3 或 1 故答案为：1 或 3 11定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角 三角形” （1）如图 1，ABC中，ABAC，A36，求证：ABC是倍角三角形； （2）若ABC是倍角三角形，ABC，B30，AC，求ABC面积； （3）如图 2，ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得 AEAB，若AB+ACBD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明 （1）证明：ABAC， BC， A+B+C180，A36，
27、BC72， A2C， 即ABC是倍角三角形， （2）解：ABC，B30， 当B2C，得C15， 过C作CH直线AB，垂足为H， 可得CAH45， AHCHAC4 BH， ABBHAH4， S 当A2B或A2C时，与ABC矛盾，故不存在 综上所述，ABC面积为 （3）AD平分BAE， BADEAD， ABAE，ADAD， ABDAED（SAS） ， ADEADB，BDDE 又AB+ACBD， AE+ACBD，即CEBD CEDE CBDE2ADC ADC是倍角三角形 12如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ACCD，已知两点A（4，0） ，C（0，7） ，点D 在第一象限内，DCA90，点B在线
28、段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M， AC与BD交于点N （1）点B的坐标为： （0，4） ； （2）求点D的坐标； （3）求证：CMCN 解： （1）A（4，0） ， OAOB4， B（0，4） ， 故答案为： （0，4） （2）C（0，7） ， OC7， 过点D作DEy轴，垂足为E， DECAOC90， DCA90， ECD+BCAECD+EDC90 BCAEDC， DECCOA（AAS） ， DEOC7，ECOA4， OEOC+EC11， D（7，11） ； （3）证明：BEOEOB1147 BEDE， DBE是等腰直角三角形， DBE45， OAOB， OBA45， DBA9
29、0， BAN+ANB90， DCA90， CDN+DNC90， DNCANB， CDNBAN， DCA90， ACMDCN90， DCNACM（ASA） ， CMCN 13如图，在ABC中，BDAC，垂足为C，且AC，点E是一动点，其在BC上移动， 连接DE，并过点E作EFDE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G （1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图 （2）当ABD与FDE全等，且ADFE，A30，AFD40，求C的度数 解： （1）补全示意图如图所示， （2）DEEF，BDAC， DEFADB90 ABD与DEF全等， ABDF， 又ADFE， ABDFDE， BDDE
30、 在 RtABD中，ABD90A60 FDE60 ABDBDF+AFD， AFD40， BDF20 BDEBDF+FDE20+6080 BDDE， DBEBED（180BDE）50 在 RtBDC中，C90DBE905040 14如图CP是等边ABC的外角ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一 条边作ADF60，另一边交射线CP于F （1）求证ADFD； （2）若AB2，BDx，DFy，求y关于x的函数解析式； （3）联结AF，当ADF的面积为时，求BD的长 证明： （1）如图 1，连接AF， ACB60， ACE120， CP平分ACE， ACPPCE60， ADFACP60，
31、 A、D、C、F四点共圆， AFDACB60， ADFAFD60， DAF60， ADF是等边三角形， ADFD； （2）如图 2，过点A作AHBC， ABC是等边三角形，AHBC，AB2， BH1，AHBH， HDBDBHx1， DF， y （3）ADF是等边三角形，且ADF的面积为， DF 2 ， DF 2 x 22x+4 x BD或 15如图，ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个 120的角，角的两 边分别交直线AB、直线AC于M、N两点以点D为中心旋转MDN（MDN的度数不变） ， 当DM与AB垂直时（如图所示） ，易证BM+CNBD （1）如图，当DM与AB不垂直，
32、点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CNBD是否 仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明 解： （1）结论BM+CNBD成立，理由如下： 如图，过点D作DEAC交AB于E， ABC是等边三角形， ABC60， DEAC， BEDA60，BDEC60， BBEDBDE60， BDE是等边三角形，EDC120， BDBEDE，EDN+CDN120， EDM+EDNMDN120， CDNEDM， D是BC边的中点， DEB
33、DCD， 在CDN和EDM中， ， CDNEDM（ASA） ， CNEM， BDBEBM+EMBM+CN； （2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BMCNBD；理由如下： 如图，过点D作DEAC交AB于E， ABC是等边三角形， ABC60， NCD120， DEAC， BEDA60，BDEC60， BBEDBDE60， BDE是等边三角形，MEDEDC120， BDBEDE，NCDMED，EDM+CDM120， CDN+CDMMDN120， CDNEDM， D是BC边的中点， DEBDCD， 在CDN和EDM中， ， CDNEDM（ASA） ， CNEM， BDBEBMEMBMCN， BMCNBD