备战2019中考数学热点难点突破第3.1讲 探求规律题(教师版)

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资源描述

1、 1 【备战 2019 年中考数学热点、难点突破】 专题专题 0101 探求规律题探求规律题 考纲要求考纲要求: 探索规律型问题:指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过 程,要求通过观察、分析、推理,探求其中所隐含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论 基础知识回顾基础知识回顾: 1数字猜想型:在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问 题 2数式规律型:通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要 内容 3图形规律型:图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别

2、,用相应 的算式描述其中的规律,注意对应思想和数形结合 4数形结合猜想型:首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出 来,从而得出图形与数或式的对应关系 5动态规律型:要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有 发生变化,从而逐步发现规律 应用举例应用举例: 类型一、类型一、数字猜想型 【例【例 1】一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和,例如:23,33和 43分别可以按如图所示的 方式“分裂”,则 63“分裂”出的奇数中,最大的奇数是_ 【答案】41 【解析】 23有 3、5 共 2 个奇数,33有 7、9、11

3、共 3 个奇数,43有 13、15、17、19 共 4 个奇数, , 63共有 6 个奇数, 到 63“分裂”出的奇数为止,一共有奇数:2+3+4+5+6=20, 2 又3 是第一个奇数, 第 20 个奇数为 20 2+1=41, 即 63“分裂”出的奇数中,最大的奇数是 41. 故答案为:41. 类型二、类型二、数式规律型 【例【例 2】观察下面三行数 (1)第行数的第 n 个数是 . (2)请将第行数中的每一个数分别减去第行数中对应位置的数,并找出规律,根据你得到的结论,直接 写出第行数的第 n 个数是 ; 同理,直接写出第行数的第 n 个数是 . (3)取每行的第 k 个数,这三个数的和

4、能否等于-509?如果能,请求出 k 的值;如果不能,请说明理由. 【答案】(1)(-2)n;(2)(-2)n+2;-(-2)n+1;(3)能;k=9. 【解析】 【分析】 (1)第一组,各数后一项是前一项的-2 倍, (2)第二组,各数依次相加了+6,-12,+24,-48,+96,总结规律得第 n 个数是(-2)n+2,同理,第三组 第 n 个数是-(-2)n+1, (3)根据前两问将第 k 个数表示出来,解关于 k 的方程即可。 【详解】 (1)(-2)n; (2)(-2)n+2; (3)能; (-2)k+(-2)k+2+-(-2)k+1=-509, 所以(-2)k=-512, 解得 k

5、=9. 类型三、类型三、图形规律型: 【例【例 3】 把三角形按如图所示的规律拼图案, 其中第个图案中有 4 个三角形, 第个图案中有 6 个三角形, 3 第个图案中有 8 个三角形,按此规律排列下去,则第个图案中三角形的个数为( ) A 12 B 14 C 16 D 18 【答案】C 【解析】【分析】观察第 1 个、第 2 个、第 3 个图案中的三角形个数,从而可得到第 n 个图案中三角形的 个数为 2(n+1),由此即可得. 类型四、数形结合猜想型: 【例【例 4】如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABOC 是正方形,点 A 的坐标为(1,1),是以点 B 为 圆心,BA 为半径的圆弧;是

6、以点 O 为圆心,OA1为半径的圆弧,是以点 C 为圆心,CA2为半 径的圆弧,是以点 A 为圆心,AA3为半径的圆弧,继续以点 B、O、C、A 为圆心按上述作法得到的 曲线 AA1A2A3A4A5称为正方形的“渐开线”,那么点 A5的坐标是_,点 A2018的坐标是_ 【答案】(6,0)(0,2016) 【解析】 4 【详解】 解:观察,找规律:A(1,1),A1(2,0),A2(0,2),A3(3,1),A4(1,5),A5(6,0), A6(0,6),A7(7,1),A8(1,9), A4n=(1,4n+1),A4n+1=(4n+2,0),A4n+2=(0,(4n+2),A 4n+3=(

7、4n+3),1) 5=4+1,2016=504 4+2, A5的坐标为(64+2,0)=(6,0),A2016的坐标为(0,2016) 故答案为:(6,0);(0,2016) 类型五、动态规律型: 【例【例 5】如图,将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90 至图位置,继续绕右下角的顶点按 顺时针方向旋转 90 至图位置,以此类推,这样连续旋转 2017 次若 AB=4,AD=3,则顶点 A 在整个旋 转过程中所经过的路径总长为( ) A2017 B2034 C3024 D3026 【答案】D 【解析】 考点:1轨迹;2矩形的性质;3旋转的性质;4规律型;5综合题 方法、规律归

8、纳方法、规律归纳: 数字规律: 标序数(1,2,3,n); 找规律,观察: 5 当所给的一组数字是整数时: A.数字与序数的关系;B.数字的符号规律,若为正负号交替,则用() 1 n 或 1 ( 1)n表示符号; 代数式规律: 标序数(1,2,3,n); 找规律,观察:A.系数、代数式字母的指数与序数的关系;B.符号规律方法同“数字规律”时. 图形规律: (1)基础图形固定累加: 标 序号:记每组图形的序数为“1,2,3,n”; 数图形个数:数出每组图形的个数; 寻找第 n 项(某项)的个数与序数 n 的关系:将后一个 图形的个数与前一个图形的个数进行对比,通常作差 来观察累加个数,然后按照定

9、量变化推导出关系式; 验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确 (2)基础图形递变累加: 标序号:记每组图形的序数为“1,2,3,n”; 数图形个数:数出每组图形的个数; 寻找第 n 项(某项)的个数与序数 n 的关系:将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比,通常作商 来观察图形个数;或将图形个数与 n 进行对比,寻找是否是与 n 有关的平方、平方加 1、平方减 1 等 关系; 验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确 实战演练实战演练: 1、根据以下图形变化的规律,第 2016 个图形中黑色正方形的数量是_ 【答案】3024 【解析】第 1 个图形中黑色正方形的个数是 2 个, 第 2 个

10、图形中黑色正方形的个数是 3 个, 6 第 3 个图形中黑色正方形的个数是 5 个, 第 4 个图形中黑色正方形的个数是 6 个, 第 5 个图形中黑色正方形的个数是 8 个, 第 6 个图形中黑色正方形的个数是 9 个, 由此可知当 n 为奇数时,第 n 个图形中黑色正方形的个数为 31 2 n 个 , 当 n 为偶数时,第 n 个图形中黑色正方形的个数是 3 2 n个, 故第 2016 个图形中黑色正方形的数量是 3024 个. 2. 在一列数:a1,a2,a3,an中,a1=3,a2=7,从第三个数开始,每一个数都等于它前两个数之积的个 位数字,则这一列数中的第 2017 个数是( )

11、A1 B3 C7 D9 【答案】B 【解析】 试题分析:依题意得:a1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,a8=7; 周期为 6; 20176=3361,所以 a2017=a1=3 故选 B 考点:规律型:数字的变化类 3. 如图,动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第 1 次从原点运动到点(1,1),第 2 次 接着运动到点(2,0),第 3 次接着运动到点(3,2),按这样的运动规律,经过第 2017 次运动后, 动点 P 的坐标是_ 【答案】( 2017 , 1 ) 7 4. 观察下列 格式: 111 1 1 222 111112 1 1 2

12、2 32233 111111113 1 1 22 33 4223344 请按上述规律,写出第 n 个式子的计算结果(n 为正整数) (写出最简计算结果即可) 【答案】 1 n n 【解析】 试题分析:n=1 时,结果为: 11 1 12 ; n=2 时,结果为: 22 2 13 ; n=3 时,结果为: 33 3 14 ; 所以第 n 个式子的结果为: 1 n n 故答案为: 1 n n 5. 已知 a0,S1= ,S2=S11,S3= ,S4=S31,S5= ,(即当 n 为大于 1 的奇数时,Sn=;当 n 为大于 1 的偶数时,Sn=Sn11),按此规律,S2018=_ 【答案】- 【解

13、析】 【分析】 根据 Sn的变化规律,得出 Sn的值每 6 个为一个循环,由 2018=336 6+2,可知 S2018= S2. 【详解】 8 由已知可得: S1= ,S2=-,S3=-,S4=-,S5=-(a+1), S6=a, S7= 根据 Sn的变化规律,得出 Sn的值每 6 个为一个循环, 因为,2018=336 6+2, 所以,S2018= S2=-. 故答案为:- 6.观察下列各式: 211 1 313 , 211 2424 211 3 535 请利用你所得结论, 化简代数式 2 1 3 2 24 2 3 5 2 (2)n n (n3 且为整数) , 其结果为_ 【答案】 2 3

14、5 2(1)(2) nn nn 【解析】 7.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点 O 出发,沿着箭头所示方向,每次移动 1 个单位,依次得到 点 P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,1),P5(2,1),P6(2,0),则点 P2017的 坐标是 9 【答案】(672,1) 【解析】 8. 观察下列各式及其验证过程: ,验证: ,验证: (1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用 a(a 为自然数,且 a2)表示的等式,并给出验证; (3)用 a(a 为任意自然数,且 a2)写出三次根式的类似规律,并给出验证说

15、理过程 【答案】(1)见解析;(2),验收见解析;(3)见解析 【解析】 (1), ,验证: (2)由(1)中的规律可知 3=221,8=321,15=421, , 验证: (3) (a 为任意自然数,且 a2), 验证: 10 9. 图是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层 多一个圆圈,一共堆了 n 层.将图倒置后与原图拼成图的形状,这样我们可以算出图中所有圆圈的个 数为 1+2+3+n=. 如果图和图中的圆圈都有 13 层. (1)我们自上往下,在图的每个圆圈中填上一串连续的正整数 1,2,3,4,则最底层最左边这个圆圈 中的数是_; (2

16、)我们自上往下,在图每个圆圈中填上一串连续的整数23,22,21,20,求最底层最右边圆圈 内的数是_; (3)求图中所有圆圈中各数之和.(写出计算过程) 【答案】(1)79;(2)67;(3)2002. 【解析】 (1)当有 13 层时,前 12 层共有:1+2+3+12=78 个圆圈,78+1=79, 故答案为:79; (2)图中所有圆圈中共有 1+2+3+13=91 个数,其中 23 个负数,1 个 0,67 个正数, 故答案为:67; (3)图中共有 91 个数,分别为-23,-22,-21,66,67, 图中所有圆圈中各数的和为: -23+(-22)+(-1)+0+1+2+67=20

17、02. 10. 观察下列等式: (1)第 1 个等式:a1= 111 1 1 323 ; 第 2 个等式:a2= 1111 3 5235 ; 第 3 个等式:a3= 1111 5 7257 ; 第 4 个等式:a4= 1111 7 9279 ; 用含有 n 的代数式表示第 n 个等式:an=_=_(n 为正整数); 11 (2)按一定规律排列的一列数依次为 2 3 ,1, 8 7 , 11 9 , 14 11 , 17 13 ,按此规律,这列数中的第 100 个数是_ 【答案】 1 1 2n-1)(2n1) () ( 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n1 ) (2) 299 201 【解析】试题分析:(1)观察可得等式的变化规律:分子不变为 1,分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号 之间的关系为序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1, (2)通过观察可发现:相邻的两个分数,后一项的的分子与前一项的分子的差是 3,后一项的分母与前一项的分 母的差是 2,所以第 n 个数为 31 21 n n ,然后把 100 代入即可求解. 试题解析:(1) 1111 21212 2121 n a nnnn , (2) 通过观察可发现可得第 n 个数为 31 21 n n , 所以当 n=100 时, 31299 21201 n n .

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