1、 1 解决几何最值问题的理论依据有：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三 边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)；定圆中的所有弦中，直径最长；圆外一点与圆心 的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.根据不同特征转化从而减少变量是解决 最值问题的关键，直接套用基本模型是解决几何最值问题的高效手段. 解题模型一解题模型一 图形图形 转化转化 直线 l 外有一定点 A，点 B 是直线 l 上的一个动点， 求 AB 的最小值. 过定点 A 作 ABl 于点 B. 针对训练针对训练 1.（2018长春）如图，在ABCD 中，AD=7，AB=2，B=60E 是边
2、 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将 ABE 沿 BC 方向平移到DCF 的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD 周长的最小值为 20 【答案】20 【点睛】此题考查平移的性质，关键是根据当 AEBC 时，四边形 AEFD 的周长最小进行分析来源:Z+xx+k.Com 解题模型二解题模型二 图形图形 转化转化 2 A，B 为定点，l 为定直线，P 为直线 l 上的一个动点， 求 APBP 的最小值. 作其中一个定点关于定直线 l 的对称点， 连接对称点 与另一定点. 点 A 是 l1上的动点，B，P 是定点，求 PA+AB 的最小 值. 作点 P 关于直线 l1的对称点 P，则 P
3、B 为 PA+AB 的最小值. 针对训练针对训练 2 （2018天津）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，P 为对角线 BD 上的一个动点，则 下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是（ ） AAB BDE CBD DAF 【答案】D 故选：D # 3 【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出 A 关于 BD 的对称点 C 是解答此题的关键 3.（2018十堰）如图，RtABC 中，BAC=90，AB=3，AC=6，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为 【答案】 AFD=DEC=90，ADF=CDE， A=C， AE
4、A=BAC=90， AEABAC， ， ， 4 AE=， 即 AD+DE 的最小值是； 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识， 解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题 解题模型三解题模型三 图形图形 转化转化 P 为定点，M，N 为定直线上的动点，求PMN 周长 的最小值. 过定点 P 分别作关于两条定直线的对称点， 连接两对 称点. 求直线 l1，l2上的点 M，N，使得四边形 PQMN 的周长 最小. 作定点 Q 关于直线 l1的对称点 Q，作定点 P 关于直 线 l2的对称点 P，连
5、接 QP，分别交直线 l1，l2 于点 M，N 针对训练针对训练 4 （2015营口）如图，点 P 是AOB 内任意一点，OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动 点，PMN 周长的最小值是 5cm，则AOB 的度数是（ ） 5 A25 B30 C35 D40 【答案】B PMN 周长的最小值是 5cm， PM+PN+MN=5， DM+CN+MN=5， 即 CD=5=OP， OC=OD=CD， 即OCD 是等边三角形， COD=60， AOB=30； 故选：B 6 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质， 证明三
6、角形是等边三角形是解决问题的关键 5 （2015玉林）如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 的 动点（均不与顶点重合） ，当四边形 AE PQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面 积是 【答案】 # AD=AD=3，BE=BE=1， AA=6，AE=4 DQAE，D 是 AA的中点， DQ 是AAE的中位线， 7 【点睛】本题考查了轴对称，利用轴对称确定 A、E，连接 AE得出 P、Q 的位置是解题关键，又利用了相 似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法 解题模型四解题模型四 图形图形 转化转化 直线 mn
7、，在 m，n 上分别求点 M，N，使 MNm， 且 AMMNBN 的值最小.来源: 将点 A 向下平移 MN 的单位长度得 A，连接 AB，交 n 于点 N，过点 N 作 MNm 于 M，点 M，N 即为所 求. 在直线 l 上求两点 M，N（M 在左） ，使 MNa，并 使 AMMNNB 的值最小. 将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A， 作 A关于 l 的对 称点 A，连接 AB，交直线 l 于点 N，将 N 点向左平 移 a 个单位长度得 M. 针对训练针对训练 6.（2017内江）如图，已知直线 l1l2，l1、l2之间的距离为 8，点 P 到直线 l1的距离为 6，点 Q 到直线
8、 l2的 距离为 4，PQ=4，在直线 l1上有一动点 A，直线 l2上有一动点 B，满足 ABl2，且 PA+AB+BQ 最小， 此时 PA+BQ= 8 【答案】16 【点睛】本题考查轴对称最短问题、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题 的关键是学会构建平行四边形解决问题，属于中考常考题型 % 解题模型五解题模型五 图形图形 转化转化 9 来源:ZXXK P 是圆上一动点，求 AP 的最大值和最小值 当 P 点运动到点 B 时，AP 取得最小值；当 P 点运动 到点 C 时，AP 取得最大值. P 为圆内一定点，求过点 P 的弦的最小值与最大值. AB 是过圆 O 内定
9、点 P 的弦.当 OPAB 时，过点 P 的 弦的最小值为线段 AB；过点 P 的弦的最大值为圆的 直径. 针对训练针对训练 7 （2015自贡）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是 AB 边的中 点，F 是线段 BC 上的动点，将EBF 沿 EF 所在直线折叠得到EBF，连接 BD，则 BD 的最小值是（ ） A22 B6 C22 D4 【答案】A AE=EB=2， AD=6， DE=2， 10 DB=22 故选：A 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点 B 在何位置时，BD 的值最小，是解决问题的关键 8 （2018
10、内江）如图，以 AB 为直径的O 的圆心 O 到直线 l 的距离 OE=3，O 的半径 r=2，直线 AB 不垂 直于直线 l， 过点 A， B 分别作直线 l 的垂线， 垂足分别为点 D， C， 则四边形 ABCD 的面积的最大值为 12 【答案】最大值为 12 % 【点睛】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 解题模型六解题模型六 图例来源:Zxxk.Com 11 圆柱 展开 则 AB2BA2BB2 长 方 体 阶梯 问题 基本 思路 将立体图形展开成平面图形利用两点之间线段最短确定最 短路线构造 直角三角形利用勾股定理求解.来源: 针对训练针对训练 9 （2
11、018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处 的最短距离为 20 cm（杯壁厚度不计） 【答案】20 【解析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求 解：如图： # 将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A， 连接 AB，则 AB 即为最短距离，AB=20（cm） 12 故答案为 20 【 点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算 是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 10 （2017东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕 而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺， 则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处， 则问题中葛藤的最短长度是 25 尺 【答案】25 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为 直角三角形按照勾股定理可求出解
