1、 1 【类型综述】 图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题 产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系还有一种不常见的，就 是线段全长等于部分线段之和由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例 一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域关 键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错 【方法揭秘】 由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用 类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边如
2、图 1，已知点 A 的坐标为(3, 4)，点 B 是 x 轴 正半轴上的一个动点，设 OBx，ABy，那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 类型二，图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示，AB5，点 O 沿直线 EF 翻折后，点 O 的对应点 D 落在 AB 边上，设 ADx，OEy， 那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 图 1 图 2 【典例分析】 例 1 如图 1，在 RtABC 中，BAC90 ，B60 ，BC16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D，BE 1cm，点 M 从
3、点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的 速度运动以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH点 M 到达点 D 时停止运动，点 N 到达点 C 时停止运 动设运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上？ 2 （2）设正方形 MNGH 与 RtABC 重叠部分的图形的面积为 S当重叠部分的图形是正方形时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围； （3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连结 DP，当 t 为何值时，CPD 是等腰三角 形？
4、 来源:Z。xx。k.Com 图 1 例 3 如图 1，ABC 为等边三角形，边长为 a，点 F 在 BC 边上，DFAB，EFAC，垂足分别为 D、E （1）求证：BDFCEF； （2）若 a4，设 BFm，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S 取得最大值； （3）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tanEDF 3 2 ，求此圆的直径（用含 a 的式子表示） 例 4 如图 1，图 2，已知四边形 ABCD 为正方形，在射线 AC 上有一动点 P，作 PEAD（或延长线）于 E， 作 PFDC（或延长线）于 F，作射线 BP 交 EF
5、于 G （1）在图 1 中，正方形 ABCD 的边长为 2，四边形 ABFE 的面积为 y，设 APx，求 y 关于x的函数表达 式； （2）GBEF 对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明； （3）请根据图 2 证明：FGCPFB 3 图 1 图 2 例 5 已知抛物线 yx2(2m1)xm21 经过坐标原点，且当0 时，y 随 x 的增大而减小。来源:Z_X_X_K （1）求抛物线的解析式，并写出 y 0 时，对应 x 的取值范围； （2）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于点 B， DCx 轴
6、于点 C. 当 BC1 时，直接写出矩形 ABCD 的周长； 设动点 A 的坐标为(a, b)，将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是 否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点 A 的坐标；如果不存在，请说明理由 【变式训练】 1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax3a（a0）与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC 与 x 轴相交于点 E （1）当 a=1 时，求抛物线顶点 D 的坐标，OE 等于多少； （2）OE 的长是否与 a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO=，4560，
7、求 a 的取值范围； （4）以 DE 为斜边，在直线 DE 的左下方作等腰直角三角形 PDE设 P（m，n） ，直接写出 n 关于 m 的函 数解析式及自变量 m 的取值范围 2如图，抛物线与 轴交于， 两点（点 在点 的左侧） ，与 轴交于点 ，且 4 ，的平分线交 轴于点 ，过点 且垂直于的直线 交 轴于点 ，点 是 轴下方抛 物线上的一个动点，过点 作轴，垂足为 ，交直线于点 （1）求抛物线的解析式； （2）设点 的横坐标为 ，当时，求 的值； （3）当直线为抛物线的对称轴时，以点 为圆心，为半径作，点 为上的一个动点，求 的最小值 3如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4） ，抛
8、物线与 x 轴相交于 B、C两点，与 y轴交于点 E（0，3） 来 源:+网 Z+X+X+K （1）求抛物线的表达式； （2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB的垂线，分别与线段 AB、抛物线 相交于点 M、N（点 M、N都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN最大时，求PON的面积 5 4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y= x2+ x2 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 与
9、 y 轴交于点 C，直线 l 经过 A，C 两点，连接 BC （1）求直线 l 的解析式； （2）若直线 x=m（m0）与该抛物线在第三象限内交于点 E，与直线 l 交于点 D，连接 OD当 ODAC 时，求线段 DE 的长； （3）取点 G（0，1） ，连接 AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点 P，使BAP=BCOBAG？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 5如图，以 D 为顶点的抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 BC 的表达式为 y= x+3 （1）求抛物线的表达式； （2）在直线 BC 上有一点 P，使 PO+PA 的
10、值最小，求点 P 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的 坐标；若不 存在，请说明理由 6如图，已知抛物线（ 0）与 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左边） ，与 轴交于点 C。 （1）如图 1，若ABC 为直角三角形，求 的值； 6 （2）如图 1，在（1）的条件下，点 P 在抛物线上，点 Q 在抛物线的对称轴上，若以 BC 为边，以点 B，C， P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点的坐标； （3）如图 2，过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于另一点 D，交 轴交于点 E，若 AE:ED
11、1:4，求 的值. 7 （题文）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 l 与抛物线相交于 A（1，） ， B（4，0）两点 （1）求出抛物线的解析式； （2） 在坐标轴上是否存在点 D， 使得ABD 是以线段 AB 为斜边的直角三角形？若存在， 求出点 D 的坐标； 若不存在，说明理由； （3）点 P 是线段 AB 上一动点， （点 P 不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 PMOA，交第一象限内的抛物线于 点 M， 过点 M 作 MCx 轴于点 C， 交 AB 于点 N， 若BCN、 PMN 的面积 SBCN、 SPMN满足 SBCN=2SPMN， 求出的值，并求出此时点 M
12、 的坐标 8如图，在平面角坐标系中，抛物线 C1：y=ax2+bx1 经过点 A（2，1）和点 B（1，1） ，抛物线 C2：y=2x2+x+1，动直线 x=t 与抛物线 C1交于点 N，与抛物线 C2交于点 M （1）求抛物线 C1的表达式； （2）直接用含 t的代数式表示线段 MN的长； （3）当AMN是以 MN为直角边的等腰直角三角形时，求 t的值； （4）在（3）的条件下，设抛物线 C1与 y轴交于点 P，点 M 在 y轴右侧的抛物线 C2上，连接 AM交 y轴于 7 点 k，连接 KN，在平面内有一点 Q，连接 KQ 和 QN，当 KQ=1且KNQ=BNP 时，请直接写出点 Q的 坐
13、标 9如图，抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= x+3交于 A，B 两点，交 x 轴于 C、D两点，连接 AC、BC，已知 A（0，3） ，C（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l上找一点 M，使|MBMD|的值最大，并求出这个最大值； （3）点 P 为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA交 y轴于点 Q，问：是否存在点 P使得 以 A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由 10如图，抛物线 y=ax2+bx5与坐标轴交于 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0，5）三点，顶
14、点为 D （1）请直接写出抛物线的解析式及顶点 D的坐标； （2）连接 BC与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC上的一个动点（点 P 不与 B、C两点重合） ，过 点 P 作 PFDE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m 是否存在点 P，使四边形 PEDF为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 过点 F作 FHBC于点 H，求PFH周长的最大值 8 11如图 ，已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y轴相交于点 C（0，3） （1）求这个二次函数的表达式； （2）若 P 是第四象限内这个二次函数的
15、图象上任意一点，PHx 轴于点 H，与 BC交于点 M，连接 PC 求线段 PM的最大值； 当PCM是以 PM为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标 12如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（4，0） ，与 y轴交于点 C（0，4） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在 x 轴下方的抛物线上，过点 P 的直线 y=x+m与直线 BC交于点 E，与 y轴交于点 F，求 PE+EF 的最大值； （3）点 D为抛物线对称轴上一点 当BCD是以 BC为直角边的直角三角形时，直接写出点 D的坐标； 若BCD是锐角三角形，直接写出点 D的纵坐标 n 的取值范围
16、 9 13.如图，在平面直角坐标系x y中，已知，两点的坐标分别为4,0，4,0，C,0m是线段 上一点（与，点不重合） ，抛物线 1 L : 2 11 yaxb xc（0a ）经过点，C，顶点为D，抛物线 2 L : 2 22 yaxb xc（0a ）经过点C，顶点为，D，的延长线相交于点F （1）若 1 2 a ，1m ，求抛物线 1 L， 2 L的解析式； （2）若1a ，FF ，求m的值； （3）是否存在这样的实数a（0a ） ，无论m取何值，直线F与F都不可能互相垂直？若存在，请直 接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由 14.如图， 在矩形纸片CD中， 已知1 ，C3， 点在
17、边CD上移动， 连接， 将多边形C 沿直线折叠，得到多边形C ，点、C的对应点分别为点、 C （1）当C 恰好经过点D时（如图 1） ，求线段C的长； （2）若C 分别交边D、CD于点F、G，且D22.5 （如图 2） ，求DFG的面积； （3）在点从点C移动到点D的过程中，求点 C 运动的路径长 10 15.如图 1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 2 33 8 3 123 yxx 与x轴正半轴交于点A， 与y轴交于点B， 连接AB， 点,M N分别是,OA AB的中点.Rt CDERt ABO，且CDE始终保持边ED经 过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交
18、于点G.来源: （1）填空，OA的长是 ，ABO的度数是 度 （2）如图 2，当/ /DEAB，连接HN 求证：四边形AMHN是平行四边形； 判断点D是否在抛物线的对称轴上，并说明理由； （3）如图 3，当边CD经过点O时（此时点O与点G重合） ，过点D作/ /DOOB，交AB延长线上于点O， 延长ED到点K，使DKDN，过点K作/ /KIOB，在KI上取一点P，使得45PDK（若,P O在直线 ED的同侧） ，连接PO，请直接 写出的PO长. 16.如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x 轴，y 轴分别相交于 M（4，0） ，N（0， 3）两点已知抛物线开口向上，与C
19、交于 N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D （1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3） 设抛物线交 x 轴于 A， B 两点， 在抛物线上是否存在点 Q， 使得 S四边形OPMN=8SQAB， 且QABOBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 11 17. 如图，直线 ykxb（k、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A(4，0)、B(0，3)，抛物线 yx2 2x1 与 y 轴交于点 C （1）求直线 ykxb 的解析式； （2）若点 P(x，y)是抛物线 yx22x1 上
20、的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，求 d 关于 x 的函 数解析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标； （3）若点 E 在抛物线 yx22x1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CEEF 的最小值 18.如图， 抛物线 2 1648 (0)ymxmxm m与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 左侧） ，与 y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、BD、AC、AD，延长 AD 交 y 轴于点 E。 （1）若OAC为等腰直角三角形，求m的值； （2）若对任意0m，EC,两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表
21、示） ； （3）当点D运动到某一位置时，恰好使得OADODB，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛 物线上任意一点),( 00 yxP总有5031234 6 1 0 2 0 ymyn成立，求实数n的最小值 12 19.如图，直线 2 3 yxc 与x轴交于点(3,0)A，与y轴交于点B， 抛物线 2 4 3 yxbxc 经过点A， B. （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N， 点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标； 点M在x轴上自由运动，
22、若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点 （三点重合除外） ， 则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值. 20.已知二次函数 y=x2+bx+c+1， 当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； 若 c= 1 4 b22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切？ 若二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x1，0） ，B（x2，0） ，且 x1x2，与 y 轴的正半轴交于点 M，以 AB 为直径的半圆恰好过点 M，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点 D、E、F，且满 足 1 3 DE EF ，求二次函数的表达式来源:Zxxk.Com 13
