1、 1 2019 版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 专题专题 14 图形变换和类比探究类几何压轴综合问题图形变换和类比探究类几何压轴综合问题 【类型综述】 本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材，可以对函数图象进行平移，可以对几何图 形进行平移、旋转，考查学生的数学综合应用能力在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用只 要抓住全等变换的特点，找到变与不变的量就可以解决问题预计在 2019 年中考中仍会在压轴部分渗透变 换，但是会有新情境的渗透 【方法揭秘】 1.平移的性质 (1)平移前后，对应线段平行、对应角相等； (2)各对应点所连接的线段平
2、行（或在同一直线上）或相等； 来源: (3)平移前后的图形全等，注意：平移不改变图形的形状和大小. 2.旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等. 3.中心对称的性质： 在成中心对称的两个图形中，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分_成中心对称的两个图 形全等. 【典例分析】 例 1如图 小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得，在 进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决 （1）将的顶点 移到矩形的顶点 处，再将三角形绕点 顺时针旋转使 点落在边上，此时，恰 好经
3、过点 （如图 ） ，请你求出和的长度； （2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边和矩形边重合，然后将沿直线向右平移，至 点与 重合时停止在平移过程中，设 点平移的距离为 ，两纸片重叠部分面积为 ，求在平移的整个过程 中， 与 的函数关系式，并求当重叠部分面积为时，平移距离 的值（如图 ） 2 例 2如图，点 E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点，AB4，以点 A 为中心，把ADE 顺时针旋转 90 得到ADF （1）画出旋转后的图形，求证：点 C、B、F三点共线； （2）AG 平分EAF 交 BC于点 G 如图 2，连接 EF若 BG：CE5：6，求AEF的面积； 如图 3，若 B
4、M、DN 分别为正方形的两个外角角平分线，交 AG、AE 的延长线于点 M、N当 MMDC 时，直接写出 DN 的长 例 3已知长方形 ABCD 中，AD=10cm,AB=6cm,点 M 在边 CD 上，由 C 往 D 运动，速度为 1cm/s，运动时 间为 t 秒，将ADM 沿着 AM 翻折至AD M，点 D 对应点为 D ，AD 所在直线与边 BC 交于点 P. （1）如图 1，当 t=0 时，求证：PA=PC； （2）如图 2，当 t 为何值时，点 D 恰好落在边 BC 上； （3）如图 3，当 t=3 时，求 CP 的长. （ 例 4如图(1)，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩
5、形纸片，O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴 上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=5，OC=4，在 OC 边上取一点 D，将将纸片沿 AD 翻转，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处 (1)求 D、E 两点的坐标； 3 (2)如图(2)，若 AE 上有一动点 P（不与 A，E 重合） ，自点 A 沿 AE 方向向点 E 做匀速运动，运动的速 度为每秒 1 个单位长度，设运动时间为 t 秒，过点 P 作 ED 的平行线交 AD 于点 M，过点 M 作 AE 平 行线交 DE 于点 N求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式；当 t 取何值时，s 有最大值， 最大值
6、是多少？ (3)请探究：在(2)的条件下，当 t 为何值时，以 A，M，E 为顶点的三角形是等腰三角形？ 例 5 如图，抛物线 l：y=（xh）22 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，将抛物线 在 x 轴 下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数 的图象 （1）若点 A 的坐标为（1，0） 求抛物线 l 的表达式，并直接写出当 x 为何值时，函数 的值 y 随 x 的增大而增大； 如图 2，若过 A 点的直线交函数 的图象于另外两点 P，Q，且 SABQ=2SABP，求点 P 的坐标； （2）当 2x3 时，若函数 f 的值随 x 的增大而增大，直接写
7、出 h 的取值范围 【变式训练】 1如图，正方形 ABCD的边长为 8，M在 DC 上，且 DM=2，N是 AC 上的一动点，则 DN+MN 的最小值 是（ ） 4 A8 B9 C10 D12 2如图，矩形 ABCD 的外接圆 O 与水平地面有唯一交点 A，圆 O 的半径为 4，且BC2AB若在没有 滑动的情况下，将圆 O 向右滚动，使得 O 点向右移动了 98，则此时该圆与地面交点在（ ）上 来源:Z&X&X&K 来源:Z#X#X#K AAB BBC CCD DDA 来源:Zxxk.Com 3如图，在 RtABC 中，B=45 ，AB=AC，点 D为 BC中点，直角MDN绕点 D旋转，DM、
8、DN 分别与 边 AB、AC交于 E、F两点，下列结论：DEF 是等腰直角三角形；AE=CF；BDEADF；BE CF=EF，其中正确结论是（ ） A B C D 4如图，矩形 ABCD 中，AB3，AD，将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转后得到矩形 EBGF，此 时恰好四边形 AEHB 为菱形，连接 CH交 FG于点 M，则 HM（ ） A B1 C D 5 5在平面直角坐标系中，按如图方式放置（直角顶点为 A） ，已知 A（2，0） ，B（0，4） ，点 C 在双曲线（x0）上，且 AC=，将沿 x轴正方向向右平移，当点 B落在该双曲线上时，点 A 的横坐标变成（ ） A3 B4
9、 C5 D6 6如图，中， ，以斜边的中点 为旋转中心，把这个三角形按逆 时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ） A B C D 7如图，在 RtABC 中，ACB = 90 ，BC = 3，AC = 4，点 D为边 AB上一点将BCD沿直线 CD翻折， 点 B 落在点 E处，联结 AE如果 AE / CD，那么 BE =_ 8如图，在平面直角坐标系中，将绕点 顺时针旋转到的位置，点 、 分别落在点、处， 点在 轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在 轴上，将绕点顺时针 旋转到的位置，点在 轴上，依次进行下去.若点，则点的坐标为_ 6 9如图，正方形 ABCD 中，AB
10、3cm，以 B为圆心，1cm 为半径画圆，点 P是B 上一个动点，连接 AP， 并将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90 至 AP，连接 BP，在点 P移动的过程中，BP长度的取值范围是_cm 10如图，在锐角三角形 ABC 中，BC6，ABC45 ，BD 平分ABC，M、N 分别是 BD、BC 上的 动点，则 CM+MN 的最小值是_ 11如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E是 AB边的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE，BG （1）发现 线段 DE、BG之间的数量关系是 ； 直线 DE、BG之间的位置关系是 （2）探究 如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转
11、， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由 7 （3）应用 如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE与 BG的交点为 P，若 AB=4，请直接写出点 P 到 CD所在直线距离的最大值和最小值 12 （1）如图 1，AEC 中，E90 ，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 60 得到ADB，AC与 AB对应，AE与 AD 对应 请证明ABC 为等边三角形； 如图 2，BD所在的直线为 b，分别过点 A、C 作直线 b的平行线 a、c，直线 a、b 之间的距离为 2，直线 a、 c 之间的距离为 7，则等边ABC 的边长为 （2）如图 3，P
12、OQ60 ，ABC为等边三角形，点 A 为POQ内部一点，点 B、C 分别在射线 OQ、OP 上，AEOP于 E，OE5，AE2，求ABC的边长 13四边形是边长为的正方形，点 在边 上，矩形的边，. （1）如图，求的长； （2）如图，将矩形绕点 顺时针旋转 （） ，得到矩形，点 恰好在上. 求 的度数； 求的长； （3）若将矩形绕点 顺时针旋转，得到矩形，此时点 在矩形的内部、外部，还是边上？ （直接写出答案即可） 14已知ABC是边长为 4 的等边三角形，边 AB 在射线 OM上，且 OA6，点 D 是射线 OM 上的动点，当 点 D 不与点 A重合时，将ACD 绕点 C逆时针方向旋转 6
13、0 得到BCE，连接 DE 8 （1）如图 1，求证：CDE 是等边三角形 （2）设 ODt， 当 6t10 时，BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出BDE 周长的最小值；若不存在，请说明 理由 求 t为何值时，DEB 是直角三角形（直接写出结果即可） 15如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BC5，CD6，DCB60 ，等边PMN（N为 固定点）的边长为 x，边 MN在直线 BC 上，NC8将直角梯形 ABCD 绕点 C按逆时针方向旋转到的位 置，再绕点 D1按逆时针方向旋转到的位置，如此旋转下去来源:ZXXK （1）将直角梯形按此方法旋转四次，如果等边PMN的边长为
14、x5+3，求梯形与等边三角形的重叠部分 的面积； （2）将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形的重叠部分的面积是，求等边PMN 的边 长 x的范围 （3）将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形的重叠部分的面积是梯形面积的一半，求等边 PMN 的边长 x 16如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点 A 沿表面爬行到顶点 B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶 点 C 呢？请完成下列问题: （1）第二个图是将立方体表面展开的一部分，请将图形补充完整； （画一种即可） （2）在第二个图中画出点 A 到点 B 的最短爬行路线； （3）在第二个图中标出点 C，并画出 A、C两点的最短爬行路
15、线（画一种即可） 9 17(1)如图 1，ABC 中，BAC90 ，ABAC，D，E 在 BC 上，DAE45 ，为了探究 BD，DE， CE 之间的等量关系，现将AEC绕 A顺时针旋转 90 后成AFB，连接 DF，经探究，你所得到的 BD，DE， CE 之间的等量关系式是 ；(无须证明) (2)如图 2，在ABC 中，BAC120 ，ABAC，D，E 在 BC上，DAE60 ，ADE45 ，试仿照(1) 的方法，利用图形的旋转变换，探究 BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论 18如图，在ABC 中，BC10，BC 边上的高为 3将点 A 绕点 B 逆时针旋转 90 得到点 E，绕
16、点 C 顺时 针旋转90 得到点D 沿BC翻折得到点F， 从而得到一个凸五边形BFCDE， 则五边形BFCDE的面积为_ 19已知ABC 是等边三角形，将一块含有 30 角的直角三角尺 DEF 按如图所示放置，让三角尺在 BC 所在 的直线上向右平移如图，当点 E 与点 B 重合时，点 A 恰好落在三角尺的斜边 DF 上 (1)利用图证明：EF2BC. (2)在三角尺的平移过程中，在图中线段 AHBE 是否始终成立(假定 AB，AC 与三角尺的斜边的交点分 别为 G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由 20如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+4与 x轴交于 A，B 两
17、点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 D，且 3OC4OB，对称轴为直线 x，点 E，连接 CE交对称轴 10 于点 F，连接 AF 交抛物线于点 G （1）求抛物线的解析式和直线 CE 的解析式； （2）如图，过 E作 EPx轴交抛物线于点 P，点 Q 是线段 BC上一动点，当 QG+ QB最小时，线段 MN 在线段 CE上移动，点 M在点 N上方，且MN，请求出四边形 PQMN周长最小时点 N 的横坐标； （3） 如图， BC与对称轴交于点 R， 连接 BD， 点 S是线段 BD上一动点， 将DRS沿直线 RS 折叠至DRS， 是否存在点 S 使得DRS 与BRS 重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出 BS 的长，若不存在，请 说明理由 （参考数据：tanDBC）
