1、 1 【类型综述】 图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题来源:Z,xx,k.Com 计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算； 三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平 方 前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单 【方法揭秘】 一般情况下，在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后，会提出在什么情况下（x 为何值时） ，S 取得最大值 或最小值 关于面积的最值问题，有许多经典的结论 例 1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大
2、例 2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小 例 3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆 例 4，如图 1，锐角ABC 的内接矩形 DEFG 的面积为 y，ADx，当点 D 是 AB 的中点时，面积 y 最大 例 5，如图 2，点 P 在直线 AB 上方的抛物线上一点，当点 P 位于 AB 的中点 E 的正上方时，PAB 的面积 最大 例 6，如图 3，ABC 中，A 和对边 BC 是确定的，当 ABAC 时，ABC 的面积最大 图 1 图 2 图 3 【典例分析】 例 1 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直
3、接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标； （2）将图1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 2 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A1、 B1的坐标分别为 (x1， y1)、(x2，y2)用含 S 的代数式表示 x2x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运 动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q
4、两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、 x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不 存在，请说明理由 图 1 图 2 例 2 如图 1，抛物线 yax2bxc（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和 1 (,) 16 a两点， 点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2) （1）求 a、b、c 的值； （2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交； （3
5、）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标 图 1 例3 如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B 3 （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度， 沿 OCA 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线
6、l 都停止运动在运动过 程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由 例 4 如图 1，在 RtABC 中，ACB90 ，AB13，CD/AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ， 联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G （1）当 CE3 时，求 S CEF S CAF 的值； （2）设 CEx，AEy，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）当 AC5 时，联结 EG，若A
7、EG 为直角三角形，求 BG 的长 图 1 例 5 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 22 15 32 44 mm yxxmm 与 x 轴的交点分别为原点 O 和 点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上 （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当点 P 运动时，点 C、D 也随 之运动） 来源:ZXXK 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；来源: 若点 P 从
8、点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向 4 点 O 作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的 垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三 角形 QMN（当点 Q 运动时，点 M、N 也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一 条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值 来源:Z （2）写出时,y与 x 之间的关系式； （3）当 y=12 时，求 x的值； （
9、4）当 P 在线段 BC上运动时，是否存在点 P 使得APD 的周长最小，若存在，求出此时APD的度数， 若不存在，请说明理由 11如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，A(3，0)，B(2，0)，C为 y轴正半轴上一点，且 BC=4. (1)求OBC的度数； (2)如图 2，点 P 从点 A出发，沿射线 AB 方向运动，同时点 Q在边 BC上从点 B 向点 C运动，在运动过程 中： 若点 P 的速度为每秒 2个单位长度，点 Q 的速度为每秒 1个单位长度，运动时间为 t秒，已知PQB是直 9 角三角形，求 t的值； 若点 P，Q的运动路程分别是 a，b，已知PQB是等腰三角形时，求 a与 b
10、 满足的数量关系. 12如图，在 RtABC 中，C=90 ，A=30 ，AB=8，点 P 从点 A 出发，沿折线 ABBC 向终点 C 运动， 在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 Q 从点 C 出发， 沿 CA 方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之停止设点 P 运 动的时间为 t 秒 （1）求线段 AQ 的长； （用含 t 的代数式表示） （2）当点 P 在 AB 边上运动时，求 PQ 与ABC 的一边垂直时 t 的值； （3）设APQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （4）当
11、APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，直接写出 t 的值 13 （本题满分 10 分） 如图， 矩形 AOCB 的顶点 A、 C 分别位于 x 轴和 y 轴的正半轴上， 线段 OA、 OC 的长度满足方程|x-15|+=0(OB OC)，直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点，连接 BN将BCN 沿直线 BN 折叠，点 C 恰好落 在直线 MN 上的点 D 处，且 tanCBD=. 求点 B 的坐标 求直线 BN 的解析式 将直线 BN 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移，求直线 BN 扫过矩形 AOCB 的面积 S 关于运动 的时间 t（0t13）的函数关
12、系式. 10 14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4）三点， 点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明 理由； （3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 15.如图，M 的圆心 M（1，2） ，M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析 式为：y=x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴
13、上点 D（2，0）和点 C（4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线 l 是M 的切线； （3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E，PFy 轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样 的点 P，使PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点 P 的坐标及PEF 面积的最小值；若不存在，请说明 理由 11 16.如图在平面直角坐标系中，直线 3 3 4 yx 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P、Q 同时从点 A 出 发，运动时间为 秒.其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位长度，点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每 秒 5 个单位长
14、度.以点 Q 为圆心，PQ 长为半径 作Q. （1）求证：直线 AB 是Q 的切线； （2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0）,作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M，若 CM 与Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、CM、y 轴与Q 同时相切，若存在，请直接写出 此时点 C 的坐标，若不存在，请说明理由. 17.如图，直线 y= 3 3 x+ 3分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上，ACB=90 ，抛物线 y=ax2+bx+ 3经过 A，B 两点 （1）求 A
15、、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3） 点 M 是直线BC上方抛物线上的一点， 过点 M作 MHBC 于点H， 作MDy轴交 BC 于点 D， 求DMH 周长的最大值 12 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 yaxbxc（a0）与 y 轴交与点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 坐标为（4，0） ，抛物线的对称轴方程为 x=1来源:Zxxk.Com （1）求抛物线的解析式；来源: （2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发，在 线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C
16、点运动， 其中一个点到达终点时， 另一个点也停止运动， 设MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值； （3）在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值；若不存在， 请说明理由 19.已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，4,3OAOC.动点P从点C出 发，沿射线CB方向以每秒 2 个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每 秒 1 个单位长度的速度运动.设点P、点Q的运动时间为 t s. （1）当1ts时，求经过点, ,O P A 三点的抛物线的
17、解析式； 13 （2）当2ts时，求tanQPA的值； （3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且2BMAM时，求 t s的值； （4）连接CQ，当点,P Q在运动过程中，记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与的函数关 系式 20.如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x 轴，y 轴分别相交于 M（4，0） ，N（0， 3）两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D来源: （1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）设抛物线交 x轴于 A，B 两点， 在抛物线上是否存在点 Q，使得 S四边形OPMN=8SQAB，且QABOBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由
