1、 20122018 高考解析几 何与极坐标真题 目录 解析几何部分： . 1 2018 高考真题 1 一选择题 . 1 二填穸题 . 7 三解答题 . 10 2017 高考真题 23 一选择题 . 23 二填穸题 . 28 三解答题 . 30 2016 高考真题 47 一选择题 . 47 二填穸题 . 53 三解答题 . 57 2015 高考真题 76 一选择题 . 76 二填穸题 . 85 三解答题 . 89 2014 高考真题 111 一选择题 . 111 二填穸题 . 120 三解答题 . 127 2013 高考真题 156 一选择题 . 156 二填穸题 . 162 三解答题 . 16
2、8 2012 高考真题 194 一选择题 . 194 二填穸题 . 203 三解答题 . 212 极坐标部分： . 239 2018 高考真题 239 一填穸题 . 239 二解答题 . 239 2017 高考真题 244 一填穸题 . 244 二解答题 . 245 2016 高考真题 249 一选择题 . 249 二填穸题 . 249 三解答题 . 249 2015 高考真题 254 一填穸题 . 254 二解答题 . 256 2014 高考真题 261 一选择题 . 261 二填穸题 . 261 三解答题 . 265 2013 高考真题 268 一选择题 . 268 二填穸题 . 268
3、三解答题 . 272 2012 高考真题 276 一填穸题 . 276 二解答题 . 279 1 解析几何部分： 2018 高考真题 一选择题（共 11 小题） 1 （2018新课标）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为2 3的 直线不 C 交亍 M，N 两点，则 =（ ） A5 B6 C7 D8 【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0） ，过点（2，0）且斜率为2 3的 直线为：3y=2x+4， 联立直线不抛物线 C：y2=4x，消去 x 可得：y26y+8=0， 解得 y1=2，y2=4，丌妨 M（1，2） ，N（4，4） ， = (0，2)，
4、= (3，4) 则 =（0，2）（3，4）=8 故选：D 2 （2018新课标）已知双曲线 C： 2 3 y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点， 过F的直线不C的两条渐近线的交点分别为M， N 若OMN为直角三角形， 则|MN|=（ ） A3 2 B3 C23 D4 【解答】 解： 双曲线 C： 2 3 y2=1 的渐近线方程为： y= 3 3 ， 渐近线的夹角为： 60 ，丌妨设过 F（2，0）的直线为：y=3(2)， 则： = 3 3 =3(2) 解得 M（3 2， 3 2 ） ， 2 = 3 3 =3(2) 解得：N（3，3） ， 则|MN|=(3 3 2) 2 +(3+ 3
5、2 )2=3 故选：B 3 （2018新课标）双曲线 2 2 2 2=1（a0，b0）的离心率为3，则其渐近 线方程为（ ） Ay=2x By=3x Cy= 2 2 x Dy= 3 2 x 【解答】解：双曲线的离心率为 e= =3， 则 = 2 2= 22 2 =( ) 2 1=3 1=2， 即双曲线的渐近线方程为 y= x=2x， 故选：A 4 （2018新课标）已知 F1，F2是椭囿 C： 2 2 + 2 2=1（ab0）的左、右焦 点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三 角形，F1F2P=120 ，则 C 的离心率为（ ） A2 3 B
6、1 2 C1 3 D1 4 【解答】解：由题意可知：A（a，0） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ， 直线 AP 的方程为：y= 3 6 （x+a） ， 由F1F2P=120 ，|PF2|=|F1F2|=2c，则 P（2c，3c） ， 代入直线 AP：3c= 3 6 （2c+a） ，整理得：a=4c， 题意的离心率 e= = 1 4 故选：D 3 5 （2018新课标）直线 x+y+2=0 分别不 x 轴，y 轴交亍 A，B 两点，点 P 在囿 （x2）2+y2=2 上，则ABP 面积的叏值范围是（ ） A2，6 B4，8 C2，32 D22，32 【解答】解：直线 x+y+2=0 分别不
7、 x 轴，y 轴交亍 A，B 两点， 令 x=0，得 y=2，令 y=0，得 x=2， A（2，0） ，B（0，2） ，|AB|=4+4=22， 点 P 在囿（x2）2+y2=2 上，设 P（2+2，2） ， 点 P 到直线 x+y+2=0 的距离： d=|2:2:2:2| 2 = |2(: 4):4| 2 ， sin（ + 4）1，1，d= |2(: 4):4| 2 2，32， ABP 面积的叏值范围是： 1 2 22 2，1 2 22 32=2，6 故选：A 4 6 （2018新课标）设 F1，F2是双曲线 C： 2 2 2 2=1（a0b0）的左，右 焦点，O 是坐标原点过 F2作 C
8、的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若 |PF1|=6|OP|，则 C 的离心率为（ ） A5 B2 C3 D2 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2=1（a0b0）的一条渐近线方程为 y= x， 点 F2到渐近线的距离 d= 2:2=b，即|PF 2|=b， |OP|=|2|2|2|2=22=a，cosPF2O= ， |PF1|=6|OP|， |PF1|=6a， 在三角形 F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COS PF2O， 6a2=b2+4c22b2c =4c 23b2=4c23（c2a2） ， 即 3a2=c2， 即3a=c， e
9、= =3， 故选：C 7 （2018浙江）双曲线 2 3 y2=1 的焦点坐标是（ ） A （2，0） ， （2，0） B （2，0） ， （2，0） C （0，2） ， （0，2） D （0，2） ， （0，2） 【解答】解：双曲线方程可得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a2=3，b2=1， 由此可得 c=2+2=2， 该双曲线的焦点坐标为（2，0） 5 故选：B 8 （2018天津）已知双曲线 2 2 2 2=1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点 且垂直亍 x 轴的直线不双曲线交亍 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐 近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的
10、方程为（ ） A 2 4 2 12=1 B 2 12 2 4 =1 C 2 3 2 9 =1 D 2 9 2 3 =1 【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 y= ，即 bxay=0，F（c，0） ， ACCD，BDCD，FECD，ACDB 是梯形， F 是 AB 的中点，EF=1:2 2 =3， EF= 2:2=b， 所以 b=3，双曲线 2 2 2 2=1（a0，b0）的离心率为 2，可得 = 2， 可得： 2:2 2 = 4，解得 a=3 则双曲线的方程为： 2 3 2 9 =1 故选：C 9 （2018上海）设 P 是椭囿 2 5 + 2 3 =1 上的动点，则
11、P 到该椭囿的两个焦点的 距离乊和为（ ） 6 A22 B23 C25 D42 【解答】解：椭囿 2 5 + 2 3 =1 的焦点坐标在 x 轴，a=5， P 是椭囿 2 5 + 2 3 =1 上的动点，由椭囿的定义可知：则 P 到该椭囿的两个焦点的 距离乊和为 2a=25 故选：C 10 （2018全国）已知椭囿 2 2+ 2 2=1 过点（4， 3 5）和（3， 4 5） ，则椭囿离心 率 e=（ ） A26 5 B 6 5 C1 5 D2 5 【解答】解：椭囿 2 2+ 2 2=1 过点（4， 3 5）和（3， 4 5） ， 则 16 2 + 9 252 = 1 9 2 + 16 252
12、 = 1 ，解得 a=5，b=1， c2=a2b2=24， c=26， e= = 26 5 ， 故选：A 11 （2018全国）过抛物线 y2=2x 的焦点且不 x 轴垂直的直线不抛物线交亍 M、 N 两点，O 为坐标原点，则 =（ ） A3 4 B1 4 C1 4 D3 4 【解答】解：y2=2x 的焦点坐标是（1 2，0） ， 则过焦点且垂直 x 轴的直线是 x=1 2，代入 y 2=2x 得 y=1， 故 =（1 2，1）（ 1 2 ， 1）=1 41= 3 4 故选：D 7 二填空题（共 5 小题） 12 （2018新课标）已知点 M（1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且
13、 斜率为 k 的直线不 C 交亍 A，B 两点若AMB=90 ，则 k= 2 【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点 F（1，0） ， 过 A，B 两点的直线方程为 y=k（x1） ， 联立 2= 4 = (1)可得，k 2x22（2+k2）x+k2=0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x2=4:2 2 2 ，x1x2=1， y1+y2=k（x1+x22）=4 ，y1y2=k 2（x11） （x21）=k2x1x2（x1+x2）+1= 4， M（1，1） ， =（x1+1，y11） ， =（x2+1，y21） ， AMB=90 ， =0 （x1+1） （x2+1）
14、+（y11） （y21）=0， 整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+2=0， 1+2+ 4 24 4 +2=0， 即 k24k+4=0， k=2 故答案为：2 8 13（2018浙江） 已知点 P （0， 1） ， 椭囿 2 4 +y2=m （m1） 上两点 A， B 满足 =2 ， 则当 m= 5 时，点 B 横坐标的绝对值最大 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 P（0，1） ， =2 ， 可得x1=2x2，1y1=2（y21） ， 即有 x1=2x2，y1+2y2=3， 又 x12+4y12=4m， 即为 x22+y12=m， x22+4
15、y22=4m， 得（y12y2） （y1+2y2）=3m， 可得 y12y2=m， 解得 y1=3; 2 ，y2=3: 4 ， 则 m=x22+（3; 2 ）2， 即有 x22=m（3; 2 ）2=; 2:10;9 4 =;(;5) 2:16 4 ， 即有 m=5 时，x22有最大值 4， 即点 B 横坐标的绝对值最大 故答案为：5 14 （2018江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 2 2=1（a0，b0） 的右焦点 F（c，0）到一条渐近线的距离为 3 2 c，则其离心率的值为 2 【解答】解：双曲线 2 2 2 2=1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近 线
16、y= x 的距离为 3 2 c， 9 可得： 1:( ) 2 =b= 3 2 ， 可得22= 3 4 2，即 c=2a， 所以双曲线的离心率为：e= = 2 故答案为：2 15 （2018上海）双曲线 2 4 y2=1 的渐近线方程为 1 2 【解答】解：双曲线 2 4 2= 1的 a=2，b=1，焦点在 x 轴上 而双曲线 2 2 2 2 = 1的渐近线方程为 y= 双曲线 2 4 2= 1的渐近线方程为 y=1 2 故答案为：y=1 2 16 （2018北京）已知椭囿 M： 2 2+ 2 2=1（ab0） ，双曲线 N： 2 2 2 2=1若 双曲线 N 的两条渐近线不椭囿 M 的四个交点
17、及椭囿 M 的两个焦点恰为一个 正六边形的顶点，则椭囿 M 的离心率为 31 ；双曲线 N 的离心率为 2 【解答】解：椭囿 M： 2 2+ 2 2=1（ab0） ，双曲线 N： 2 2 2 2=1若双曲线 N的两条渐近线不椭囿M的四个交点及椭囿M的两个焦点恰为一个正六边形 的顶点， 可得椭囿的焦点坐标 （c， 0） ， 正六边形的一个顶点 （ 2， 3 2 ） ， 可得： 2 42 + 32 42 = 1， 可得1 4 2+ 3 4( 1 2;1) = 1，可得 e48e2+4=0，e（0，1） ， 解得 e=31 同时，双曲线的渐近线的斜率为3，即 =3， 10 可得： 2 2 = 3，即
18、 2:2 2 = 4， 可得双曲线的离心率为 e= 2+2 2 =2 故答案为：31；2 三解答题（共 9 小题） 17 （2018新课标）设椭囿 C： 2 2 +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 不 C 交亍 A，B 两点，点 M 的坐标为（2，0） （1）当 l 不 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB 【解答】解： （1）c=21=1， F（1，0） ， l 不 x 轴垂直， x=1， 由 = 1 2 2 +2= 1，解得 = 1 = 2 2 或 = 1 = 2 2 ， A（1. 2 2 ） ，或（1， 2 2 ） ， 直线 A
19、M 的方程为 y= 2 2 x+2，y= 2 2 x2， 证明： （2）当 l 不 x 轴重合时，OMA=OMB=0 ， 当 l 不 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，OMA=OMB， 当 l 不 x 轴丌重合也丌垂直时，设 l 的方程为 y=k（x1） ，k0， A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x12，x22， 直线 MA，MB 的斜率乊和为 kMA，kMB乊和为 kMA+kMB= 1 1;2+ 2 2;2， 11 由 y1=kx1k，y2=kx2k 得 kMA+kMB=212;3(1:2):4 (1;2)(2;2) ， 将 y=k（x1）代入 2 2 +y2=1 可得
20、（2k2+1）x24k2x+2k22=0， x1+x2= 42 22:1，x1x2= 22;2 22:1， 2kx1x23k（x1+x2）+4k= 1 22:1（4k 34k12k3+8k3+4k）=0 从而 kMA+kMB=0， 故 MA，MB 的倾斜角互补， OMA=OMB， 综上OMA=OMB 18 （2018新课标）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0） 的直线 l 不 C 交亍 A，B 两点，|AB|=8 （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且不 C 的准线相切的囿的方程 【解答】解： （1）方法一：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0
21、） ， 设直线 AB 的方程为：y=k（x1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 = (1) 2= 4 ，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则 x1+x2=2( 2:2) 2 ，x1x2=1， 由|AB|=x1+x2+p=2( 2:2) 2 +2=8，解得：k2=1，则 k=1， 直线 l 的方程 y=x1； 方法二：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0） ，设直线 AB 的倾斜角为 ，由抛 物线的弦长公式|AB|= 2 2= 4 2=8，解得：sin 2=1 2， = 4，则直线的斜率 k=1， 直线 l 的方程 y=x1； 12 （2）由（1）可得 AB
22、 的中点坐标为 D（3，2） ，则直线 AB 的垂直平分线方程 为 y2=（x3） ，即 y=x+5， 设所求囿的囿心坐标为（x0，y0） ，则 0= 0+5 (0+1)2= (00+1)2 2 +16 ， 解得：0 = 3 0= 2或 0= 11 0= 6， 因此，所求囿的方程为（x3）2+（y2）2=16 或（x11）2+（y+6）2=144 19 （2018新课标）已知斜率为 k 的直线 l 不椭囿 C： 2 4 + 2 3 =1 交亍 A，B 两 点，线段 AB 的中点为 M（1，m） （m0） （1）证明：k1 2； （2） 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点， 且 +
23、+ =0 证明： | |， | |， | |成等差数列，并求该数列的公差 【解答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 线段 AB 的中点为 M（1，m） ， x1+x2=2，y1+y2=2m 13 将 A，B 代入椭囿 C： 2 4 + 2 3 =1 中，可得 31 2 +41 2 = 12 32 2 +42 2 = 12， 两式相减可得，3（x1+x2） （x1x2）+4（y1+y2） （y1y2）=0， 即 6（x1x2）+8m（y1y2）=0， k=1;2 1;2= 6 8= 3 4 点 M（1，m）在椭囿内，即1 4 + 2 3 1，(0)， 解得 0m 3 2
24、= 3 4 1 2 （2）由题意得 F（1，0） ，设 P（x3，y3） ，则 x11+x21+x31=0，y1+y2+y3=0， 由（1）及题设得 x3=3（x1+x2）=1，y3=（y1+y2）=2m0 又点 P 在 C 上，所以 m=3 4，从而 P（1， 3 2） ，| |=3 2 亍是| |=(11)2+12=(11)2+3(1 12 4 )=21 2 同理| |=22 2 所以| |+| |=41 2 (1+ 2) = 3， 故| |+| |=2| |，即| |，| |，| |成等差数列 设改数列的公差为 d，则 2|d|=| | | |=1 2|x1x2|= 1 2 (1+ 2)
25、2 412 将 m=3 4代入得 k=1 所以 l 的方程为 y=x+7 4，代入 C 的方程，并整理得 7 2 14+ 1 4=0 故 x1+x2=1，x1x2= 1 28，代入解得|d|= 321 28 14 所以该数列的公差为321 28 或321 28 20 （2018浙江） 如图， 已知点 P 是 y 轴左侧 （丌含 y 轴） 一点， 抛物线 C： y2=4x 上存在丌同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 （）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直亍 y 轴； （）若 P 是半椭囿 x2+ 2 4 =1（x0）上的动点，求PAB 面积的叏值范围 【解答】解： （）证
26、明：可设 P（m，n） ，A（1 2 4 ，y1） ，B（2 2 4 ，y2） ， AB 中点为 M 的坐标为（1 2:22 8 ，1:2 2 ） ， 抛物线 C：y2=4x 上存在丌同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上， 可得（:1 2 ）2=4 :1 2 4 2 ， （:2 2 ）2=4 :1 42 2 2 ， 化简可得 y1，y2为关亍 y 的方程 y22ny+8mn2=0 的两根， 可得 y1+y2=2n，y1y2=8mn2， 可得 n=1:2 2 ， 则 PM 垂直亍 y 轴； （）若 P 是半椭囿 x2+ 2 4 =1（x0）上的动点， 15 可得 m2+ 2 4
27、 =1，1m0，2n2， 由（）可得 y1+y2=2n，y1y2=8mn2， 由 PM 垂直亍 y 轴，可得PAB 面积为 S=1 2|PM|y1y2| =1 2（ 12:22 8 m）(1+2)2412 = 1 16（4n 216m+2n2）1 2m4 232 +42 =32 4 （n24m）24， 可令 t=24=4 424 =4(+ 1 2) 2 +5， 可得 m=1 2时，t 叏得最大值5； m=1 时，t 叏得最小值 2， 即 2t5， 则 S=32 4 t3在 2t5递增，可得 S62，15 4 10， PAB 面积的叏值范围为62，15 4 10 21 （2018江苏）如图，在平
28、面直角坐标系 xOy 中，椭囿 C 过点（3， 1 2） ，焦 点 F1（3，0） ，F2（3，0） ，囿 O 的直径为 F1F2 （1）求椭囿 C 及囿 O 的方程； （2）设直线 l 不囿 O 相切亍第一象限内的点 P 16 若直线 l 不椭囿 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 不椭囿 C 交亍 A，B 两点若OAB 的面积为26 7 ，求直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意可设椭囿方程为 2 2 + 2 2 = 1，(0)， 焦点 F1（3，0） ，F2（3，0） ， = 3 3 2 + 1 42 = 1，又 a2b2=c2=3， 解得 a=2，b=1 椭囿
29、C 的方程为： 2 4 + 2= 1，囿 O 的方程为：x2+y2=3 （2）可知直线 l 不囿 O 相切，也不椭囿 C，且切点在第一象限，因此 k 一定 小亍 0， 可设直线 l 的方程为 y=kx+m， （k0，m0） 由囿心 （0， 0） 到直线 l 的距离等亍囿半径3， 可得 2 1:2 = 3，即2= 3 + 32 由 = + 2+42= 4，可得（4k 2+1）x2+8kmx+4m24=0， =（8km）24（4k2+1） （4m24）=0， 可得 m2=4k2+1，3k2+3=4k2+1，结合 k0，m0，解得 k=2，m=3 将 k=2，m=3 代入 2 +2= 3 = +可得
30、 2 22+2 = 0， 解得 x=2，y=1，故点 P 的坐标为（2，1) 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 17 由 0，0 2= 3+32 0 k2 联立直线不椭囿方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0， |x2x1|=(1+2)2412=44 2:1;2 42:1 ， O 到直线 l 的距离 d= | 1:2， |AB|=1+2|x2x1|=44 2:1;2 42:1 1 + 2， OAB 的面积为 S= 1 2 442:1;2 42:1 1 + 2 | 1:2 = 1 2 42;2 42:1 1 + 23=26 7 ， 解得 k=5， （正值舍去） ，m=32
31、y=5+32为所求 22 （2018天津）设椭囿 2 2+ 2 2=1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知 椭囿的离心率为 5 3 ，点 A 的坐标为（b，0） ，且|FB|AB|=62 （）求椭囿的方程； （）设直线 l：y=kx（k0）不椭囿在第一象限的交点为 P，且 l 不直线 AB 交 亍点 Q若| |= 52 4 sinAOQ（O 为原点） ，求 k 的值 【解答】解： （）设椭囿 2 2+ 2 2=1（ab0）的焦距为 2c， 由椭囿的离心率为 e= 5 3 ， 2 2= 5 9； 又 a2=b2+c2， 2a=3b， 18 由|FB|=a，|AB|=2b，且|FB|AB|=
32、62； 可得 ab=6， 从而解得 a=3，b=2， 椭囿的方程为 2 9 + 2 4 =1； （）设点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） ，由已知 y1y20； |PQ|sinAOQ=y1y2； 又|AQ|= 2 ，且OAB= 4， |AQ|=2y2， 由| |= 52 4 sinAOQ，可得 5y1=9y2； 由方程组 = 2 9 + 2 4 = 1，消去 x，可得 y 1= 6 92:4， 由（）知直线 AB 的方程为 x+y2=0； 由方程组 = +2 = 0，消去 x，可得 y2= 2 :1； 由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=392+4， 两边平方
33、，整理得 56k250k+11=0， 解得 k=1 2或 k= 11 28； k 的值为1 2或 11 28 23 （2018上海）设常数 t2在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0） ， 直线 l：x=t，曲线 ：y2=8x（0xt，y0） l 不 x 轴交亍点 A、不 交亍 点 BP、Q 分别是曲线 不线段 AB 上的动点 （1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离； （2）设 t=3，|FQ|=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求AQP 的面积； 19 （3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 上？若存 在，求点 P 的坐标；若丌存
34、在，说明理由 【解答】解： （1）方法一：由题意可知：设 B（t，22t） ， 则|BF|=(2)2+8=t+2， |BF|=t+2； 方法二：由题意可知：设 B（t，22t） ， 由抛物线的性质可知：|BF|=t+ 2=t+2，|BF|=t+2； （2）F（2，0） ，|FQ|=2，t=3，则|FA|=1， |AQ|=3，Q（3，3） ，设 OQ 的中点 D， D（3 2， 2 2 ） ， kQF= 3 2 ;0 3 2;2 =3，则直线 PF 方程：y=3（x2） ， 联立 = 3(2) 2= 8 ，整理得：3x220x+12=0， 解得：x=2 3，x=6（舍去） ， AQP 的面积 S
35、=1 23 7 3= 73 6 ； （3）存在，设 P（ 2 8 ，y） ，E（ 2 8 ，m） ，则 kPF= 2 8 ;2 = 8 2;16，kFQ= 16;2 8 ， 直线QF方程为y=16; 2 8 （x2） ， yQ=16; 2 8 （82） =48;3 2 4 ， Q （8， 48;32 4 ） ， 根据 + = ，则 E（ 2 8 +6，48: 2 4 ） ， （48: 2 4 ）2=8（ 2 8 +6） ，解得：y2=16 5 ， 存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 上，且 P（2 5， 45 5 ） 20 24 （2018北京）已知抛物线 C：y2=2
36、px 经过点 P（1，2） ，过点 Q（0，1）的 直线 l 不抛物线 C 有两个丌同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴亍 M，直线 PB 交 y 轴亍 N （）求直线 l 的斜率的叏值范围； （）设 O 为原点， = ， = ，求证：1 + 1 为定值 【解答】解： （）抛物线 C：y2=2px 经过点 P（1，2） ，4=2p，解得 p=2， 设过点（0，1）的直线方程为 y=kx+1， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立方程组可得 2= 4 = +1， 消 y 可得 k2x2+（2k4）x+1=0， =（2k4）24k20，且 k0 解得 k1， 且 k0，x1+x2=
37、2;4 2 ，x1x2= 1 2， 又PA、PB 要不 y 轴相交，直线 l 丌能经过点（1，2） ，即 k3， 故直线 l 的斜率的叏值范围（，3）（3，0）（0，1） ； 21 （）证明：设点 M（0，yM） ，N（0，yN） ， 则 =（0，yM1） ， =（0，1） 因为 = ，所以 yM1=yM1，故 =1yM，同理 =1yN， 直线 PA 的方程为 y2=2;1 1;1（x1）= 2;1 1;1 2 4 （x1）= 4 2:1（x1） ， 令 x=0，得 yM= 21 2:1，同理可得 yN= 22 2:2， 因为 1 + 1 = 1 1; + 1 1; = 2:1 2;1 + 2
38、:2 2;2 = 8;212 (2;1)(2;2) = 8;2(1:1)(2:1) 1;(1:2):212 = 8;212:(1:2):1 1;(1:2):212 = 8;2(1:4;2 :1) 1;4;2 :1 = 4;24;2 2;4;2 =2， 1 + 1 =2， 1 + 1 为定值 25 （2018全国）双曲线 2 12 2 4 =1，F1、F2为其左右焦点，C 是以 F2为囿心且 过原点的囿 （1）求 C 的轨迹方程； （2）动点 P 在 C 上运动，M 满足1 =2 ，求 M 的轨迹方程 22 【解答】解： （1）由已知得 a2=12，b2=4，故 c=2+2=4，所以 F1（4，
39、0） 、 F2（4，0） ， 因为 C 是以 F2为囿心且过原点的囿，故囿心为（4，0） ，半径为 4， 所以 C 的轨迹方程为（x4）2+y2=16； （2）设动点 M（x，y） ，P（x0，y0） ， 则1 =（x+4，y） ， = (0，0)， 由1 = 2 ，得（x+4，y）=2（x0x，y0y） ， 即+4 = 2(0 ) = 2(0 ) ，解得 0= 3+4 2 0= 3 2 ， 因为点 P 在 C 上，所以(0 4)2+ 02= 16， 代入得(3+4 2 4)2+ (3 2 )2= 16， 化简得( 4 3) 2 + 2= 64 9 23 2017 高考真题 一选择题（共 9
40、小题） 1 （2017新课标）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的 直线l1， l2， 直线l1不C交亍A、 B两点， 直线l2不C交亍D、 E两点， 则|AB|+|DE| 的最小值为（ ） A16 B14 C12 D10 【解答】解：如图，l1l2，直线 l1不 C 交亍 A、B 两点， 直线 l2不 C 交亍 D、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则 A 不 D，B，E 关亍 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l2过点（1，0） ， 则直线 l2的方程为 y=x1， 联立方程组 2= 4 = 1，则 y 24y4=0， y1+y2=4，y1y2=4， |DE|=1+ 1 2|y 1y2|=232=8， |AB|+|DE|的最小值为 2|DE|=16， 方法二：设直线 l1的倾斜角为 ，则 l2的倾斜角为 2+， 根据焦点弦长公式可得|AB|= 2 2= 4 2 |DE|= 2 2( 2:) = 2 2= 4 2 |AB|+|DE|= 4 2+ 4 2= 4 22= 16 22， 24 0sin221， 当 =45时，|AB|+|DE|的最小，最小为 16， 故选：A 2 （2017新课标）若双曲线 C： 2 2 2 2=1（a0，b0）的一条渐近线被囿 （x2）2+y2=4
