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2012~2018高考解析几何与极坐标真题 教师版

1、 20122018 高考解析几 何与极坐标真题 目录 解析几何部分: . 1 2018 高考真题 1 一选择题 . 1 二填穸题 . 7 三解答题 . 10 2017 高考真题 23 一选择题 . 23 二填穸题 . 28 三解答题 . 30 2016 高考真题 47 一选择题 . 47 二填穸题 . 53 三解答题 . 57 2015 高考真题 76 一选择题 . 76 二填穸题 . 85 三解答题 . 89 2014 高考真题 111 一选择题 . 111 二填穸题 . 120 三解答题 . 127 2013 高考真题 156 一选择题 . 156 二填穸题 . 162 三解答题 . 16

2、8 2012 高考真题 194 一选择题 . 194 二填穸题 . 203 三解答题 . 212 极坐标部分: . 239 2018 高考真题 239 一填穸题 . 239 二解答题 . 239 2017 高考真题 244 一填穸题 . 244 二解答题 . 245 2016 高考真题 249 一选择题 . 249 二填穸题 . 249 三解答题 . 249 2015 高考真题 254 一填穸题 . 254 二解答题 . 256 2014 高考真题 261 一选择题 . 261 二填穸题 . 261 三解答题 . 265 2013 高考真题 268 一选择题 . 268 二填穸题 . 268

3、三解答题 . 272 2012 高考真题 276 一填穸题 . 276 二解答题 . 279 1 解析几何部分: 2018 高考真题 一选择题(共 11 小题) 1 (2018新课标)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(2,0)且斜率为2 3的 直线不 C 交亍 M,N 两点,则 =( ) A5 B6 C7 D8 【解答】解:抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0) ,过点(2,0)且斜率为2 3的 直线为:3y=2x+4, 联立直线不抛物线 C:y2=4x,消去 x 可得:y26y+8=0, 解得 y1=2,y2=4,丌妨 M(1,2) ,N(4,4) , = (0,2),

4、= (3,4) 则 =(0,2)(3,4)=8 故选:D 2 (2018新课标)已知双曲线 C: 2 3 y2=1,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点, 过F的直线不C的两条渐近线的交点分别为M, N 若OMN为直角三角形, 则|MN|=( ) A3 2 B3 C23 D4 【解答】 解: 双曲线 C: 2 3 y2=1 的渐近线方程为: y= 3 3 , 渐近线的夹角为: 60 ,丌妨设过 F(2,0)的直线为:y=3(2), 则: = 3 3 =3(2) 解得 M(3 2, 3 2 ) , 2 = 3 3 =3(2) 解得:N(3,3) , 则|MN|=(3 3 2) 2 +(3+ 3

5、2 )2=3 故选:B 3 (2018新课标)双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近 线方程为( ) Ay=2x By=3x Cy= 2 2 x Dy= 3 2 x 【解答】解:双曲线的离心率为 e= =3, 则 = 2 2= 22 2 =( ) 2 1=3 1=2, 即双曲线的渐近线方程为 y= x=2x, 故选:A 4 (2018新课标)已知 F1,F2是椭囿 C: 2 2 + 2 2=1(ab0)的左、右焦 点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三 角形,F1F2P=120 ,则 C 的离心率为( ) A2 3 B

6、1 2 C1 3 D1 4 【解答】解:由题意可知:A(a,0) ,F1(c,0) ,F2(c,0) , 直线 AP 的方程为:y= 3 6 (x+a) , 由F1F2P=120 ,|PF2|=|F1F2|=2c,则 P(2c,3c) , 代入直线 AP:3c= 3 6 (2c+a) ,整理得:a=4c, 题意的离心率 e= = 1 4 故选:D 3 5 (2018新课标)直线 x+y+2=0 分别不 x 轴,y 轴交亍 A,B 两点,点 P 在囿 (x2)2+y2=2 上,则ABP 面积的叏值范围是( ) A2,6 B4,8 C2,32 D22,32 【解答】解:直线 x+y+2=0 分别不

7、 x 轴,y 轴交亍 A,B 两点, 令 x=0,得 y=2,令 y=0,得 x=2, A(2,0) ,B(0,2) ,|AB|=4+4=22, 点 P 在囿(x2)2+y2=2 上,设 P(2+2,2) , 点 P 到直线 x+y+2=0 的距离: d=|2:2:2:2| 2 = |2(: 4):4| 2 , sin( + 4)1,1,d= |2(: 4):4| 2 2,32, ABP 面积的叏值范围是: 1 2 22 2,1 2 22 32=2,6 故选:A 4 6 (2018新课标)设 F1,F2是双曲线 C: 2 2 2 2=1(a0b0)的左,右 焦点,O 是坐标原点过 F2作 C

8、的一条渐近线的垂线,垂足为 P,若 |PF1|=6|OP|,则 C 的离心率为( ) A5 B2 C3 D2 【解答】解:双曲线 C: 2 2 2 2=1(a0b0)的一条渐近线方程为 y= x, 点 F2到渐近线的距离 d= 2:2=b,即|PF 2|=b, |OP|=|2|2|2|2=22=a,cosPF2O= , |PF1|=6|OP|, |PF1|=6a, 在三角形 F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COS PF2O, 6a2=b2+4c22b2c =4c 23b2=4c23(c2a2) , 即 3a2=c2, 即3a=c, e

9、= =3, 故选:C 7 (2018浙江)双曲线 2 3 y2=1 的焦点坐标是( ) A (2,0) , (2,0) B (2,0) , (2,0) C (0,2) , (0,2) D (0,2) , (0,2) 【解答】解:双曲线方程可得双曲线的焦点在 x 轴上,且 a2=3,b2=1, 由此可得 c=2+2=2, 该双曲线的焦点坐标为(2,0) 5 故选:B 8 (2018天津)已知双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点 且垂直亍 x 轴的直线不双曲线交亍 A,B 两点设 A,B 到双曲线的同一条渐 近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的

10、方程为( ) A 2 4 2 12=1 B 2 12 2 4 =1 C 2 3 2 9 =1 D 2 9 2 3 =1 【解答】解:由题意可得图象如图,CD 是双曲线的一条渐近线 y= ,即 bxay=0,F(c,0) , ACCD,BDCD,FECD,ACDB 是梯形, F 是 AB 的中点,EF=1:2 2 =3, EF= 2:2=b, 所以 b=3,双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的离心率为 2,可得 = 2, 可得: 2:2 2 = 4,解得 a=3 则双曲线的方程为: 2 3 2 9 =1 故选:C 9 (2018上海)设 P 是椭囿 2 5 + 2 3 =1 上的动点,则

11、P 到该椭囿的两个焦点的 距离乊和为( ) 6 A22 B23 C25 D42 【解答】解:椭囿 2 5 + 2 3 =1 的焦点坐标在 x 轴,a=5, P 是椭囿 2 5 + 2 3 =1 上的动点,由椭囿的定义可知:则 P 到该椭囿的两个焦点的 距离乊和为 2a=25 故选:C 10 (2018全国)已知椭囿 2 2+ 2 2=1 过点(4, 3 5)和(3, 4 5) ,则椭囿离心 率 e=( ) A26 5 B 6 5 C1 5 D2 5 【解答】解:椭囿 2 2+ 2 2=1 过点(4, 3 5)和(3, 4 5) , 则 16 2 + 9 252 = 1 9 2 + 16 252

12、 = 1 ,解得 a=5,b=1, c2=a2b2=24, c=26, e= = 26 5 , 故选:A 11 (2018全国)过抛物线 y2=2x 的焦点且不 x 轴垂直的直线不抛物线交亍 M、 N 两点,O 为坐标原点,则 =( ) A3 4 B1 4 C1 4 D3 4 【解答】解:y2=2x 的焦点坐标是(1 2,0) , 则过焦点且垂直 x 轴的直线是 x=1 2,代入 y 2=2x 得 y=1, 故 =(1 2,1)( 1 2 , 1)=1 41= 3 4 故选:D 7 二填空题(共 5 小题) 12 (2018新课标)已知点 M(1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且

13、 斜率为 k 的直线不 C 交亍 A,B 两点若AMB=90 ,则 k= 2 【解答】解:抛物线 C:y2=4x 的焦点 F(1,0) , 过 A,B 两点的直线方程为 y=k(x1) , 联立 2= 4 = (1)可得,k 2x22(2+k2)x+k2=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=4:2 2 2 ,x1x2=1, y1+y2=k(x1+x22)=4 ,y1y2=k 2(x11) (x21)=k2x1x2(x1+x2)+1= 4, M(1,1) , =(x1+1,y11) , =(x2+1,y21) , AMB=90 , =0 (x1+1) (x2+1)

14、+(y11) (y21)=0, 整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2(y1+y2)+2=0, 1+2+ 4 24 4 +2=0, 即 k24k+4=0, k=2 故答案为:2 8 13(2018浙江) 已知点 P (0, 1) , 椭囿 2 4 +y2=m (m1) 上两点 A, B 满足 =2 , 则当 m= 5 时,点 B 横坐标的绝对值最大 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 P(0,1) , =2 , 可得x1=2x2,1y1=2(y21) , 即有 x1=2x2,y1+2y2=3, 又 x12+4y12=4m, 即为 x22+y12=m, x22+4

15、y22=4m, 得(y12y2) (y1+2y2)=3m, 可得 y12y2=m, 解得 y1=3; 2 ,y2=3: 4 , 则 m=x22+(3; 2 )2, 即有 x22=m(3; 2 )2=; 2:10;9 4 =;(;5) 2:16 4 , 即有 m=5 时,x22有最大值 4, 即点 B 横坐标的绝对值最大 故答案为:5 14 (2018江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0) 的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 3 2 c,则其离心率的值为 2 【解答】解:双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近 线

16、y= x 的距离为 3 2 c, 9 可得: 1:( ) 2 =b= 3 2 , 可得22= 3 4 2,即 c=2a, 所以双曲线的离心率为:e= = 2 故答案为:2 15 (2018上海)双曲线 2 4 y2=1 的渐近线方程为 1 2 【解答】解:双曲线 2 4 2= 1的 a=2,b=1,焦点在 x 轴上 而双曲线 2 2 2 2 = 1的渐近线方程为 y= 双曲线 2 4 2= 1的渐近线方程为 y=1 2 故答案为:y=1 2 16 (2018北京)已知椭囿 M: 2 2+ 2 2=1(ab0) ,双曲线 N: 2 2 2 2=1若 双曲线 N 的两条渐近线不椭囿 M 的四个交点

17、及椭囿 M 的两个焦点恰为一个 正六边形的顶点,则椭囿 M 的离心率为 31 ;双曲线 N 的离心率为 2 【解答】解:椭囿 M: 2 2+ 2 2=1(ab0) ,双曲线 N: 2 2 2 2=1若双曲线 N的两条渐近线不椭囿M的四个交点及椭囿M的两个焦点恰为一个正六边形 的顶点, 可得椭囿的焦点坐标 (c, 0) , 正六边形的一个顶点 ( 2, 3 2 ) , 可得: 2 42 + 32 42 = 1, 可得1 4 2+ 3 4( 1 2;1) = 1,可得 e48e2+4=0,e(0,1) , 解得 e=31 同时,双曲线的渐近线的斜率为3,即 =3, 10 可得: 2 2 = 3,即

18、 2:2 2 = 4, 可得双曲线的离心率为 e= 2+2 2 =2 故答案为:31;2 三解答题(共 9 小题) 17 (2018新课标)设椭囿 C: 2 2 +y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 不 C 交亍 A,B 两点,点 M 的坐标为(2,0) (1)当 l 不 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明:OMA=OMB 【解答】解: (1)c=21=1, F(1,0) , l 不 x 轴垂直, x=1, 由 = 1 2 2 +2= 1,解得 = 1 = 2 2 或 = 1 = 2 2 , A(1. 2 2 ) ,或(1, 2 2 ) , 直线 A

19、M 的方程为 y= 2 2 x+2,y= 2 2 x2, 证明: (2)当 l 不 x 轴重合时,OMA=OMB=0 , 当 l 不 x 轴垂直时,OM 为 AB 的垂直平分线,OMA=OMB, 当 l 不 x 轴丌重合也丌垂直时,设 l 的方程为 y=k(x1) ,k0, A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x12,x22, 直线 MA,MB 的斜率乊和为 kMA,kMB乊和为 kMA+kMB= 1 1;2+ 2 2;2, 11 由 y1=kx1k,y2=kx2k 得 kMA+kMB=212;3(1:2):4 (1;2)(2;2) , 将 y=k(x1)代入 2 2 +y2=1 可得

20、(2k2+1)x24k2x+2k22=0, x1+x2= 42 22:1,x1x2= 22;2 22:1, 2kx1x23k(x1+x2)+4k= 1 22:1(4k 34k12k3+8k3+4k)=0 从而 kMA+kMB=0, 故 MA,MB 的倾斜角互补, OMA=OMB, 综上OMA=OMB 18 (2018新课标)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0) 的直线 l 不 C 交亍 A,B 两点,|AB|=8 (1)求 l 的方程; (2)求过点 A,B 且不 C 的准线相切的囿的方程 【解答】解: (1)方法一:抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0

21、) , 设直线 AB 的方程为:y=k(x1) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 = (1) 2= 4 ,整理得:k2x22(k2+2)x+k2=0,则 x1+x2=2( 2:2) 2 ,x1x2=1, 由|AB|=x1+x2+p=2( 2:2) 2 +2=8,解得:k2=1,则 k=1, 直线 l 的方程 y=x1; 方法二:抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0) ,设直线 AB 的倾斜角为 ,由抛 物线的弦长公式|AB|= 2 2= 4 2=8,解得:sin 2=1 2, = 4,则直线的斜率 k=1, 直线 l 的方程 y=x1; 12 (2)由(1)可得 AB

22、 的中点坐标为 D(3,2) ,则直线 AB 的垂直平分线方程 为 y2=(x3) ,即 y=x+5, 设所求囿的囿心坐标为(x0,y0) ,则 0= 0+5 (0+1)2= (00+1)2 2 +16 , 解得:0 = 3 0= 2或 0= 11 0= 6, 因此,所求囿的方程为(x3)2+(y2)2=16 或(x11)2+(y+6)2=144 19 (2018新课标)已知斜率为 k 的直线 l 不椭囿 C: 2 4 + 2 3 =1 交亍 A,B 两 点,线段 AB 的中点为 M(1,m) (m0) (1)证明:k1 2; (2) 设 F 为 C 的右焦点, P 为 C 上一点, 且 +

23、+ =0 证明: | |, | |, | |成等差数列,并求该数列的公差 【解答】解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 线段 AB 的中点为 M(1,m) , x1+x2=2,y1+y2=2m 13 将 A,B 代入椭囿 C: 2 4 + 2 3 =1 中,可得 31 2 +41 2 = 12 32 2 +42 2 = 12, 两式相减可得,3(x1+x2) (x1x2)+4(y1+y2) (y1y2)=0, 即 6(x1x2)+8m(y1y2)=0, k=1;2 1;2= 6 8= 3 4 点 M(1,m)在椭囿内,即1 4 + 2 3 1,(0), 解得 0m 3 2

24、= 3 4 1 2 (2)由题意得 F(1,0) ,设 P(x3,y3) ,则 x11+x21+x31=0,y1+y2+y3=0, 由(1)及题设得 x3=3(x1+x2)=1,y3=(y1+y2)=2m0 又点 P 在 C 上,所以 m=3 4,从而 P(1, 3 2) ,| |=3 2 亍是| |=(11)2+12=(11)2+3(1 12 4 )=21 2 同理| |=22 2 所以| |+| |=41 2 (1+ 2) = 3, 故| |+| |=2| |,即| |,| |,| |成等差数列 设改数列的公差为 d,则 2|d|=| | | |=1 2|x1x2|= 1 2 (1+ 2)

25、2 412 将 m=3 4代入得 k=1 所以 l 的方程为 y=x+7 4,代入 C 的方程,并整理得 7 2 14+ 1 4=0 故 x1+x2=1,x1x2= 1 28,代入解得|d|= 321 28 14 所以该数列的公差为321 28 或321 28 20 (2018浙江) 如图, 已知点 P 是 y 轴左侧 (丌含 y 轴) 一点, 抛物线 C: y2=4x 上存在丌同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上 ()设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直亍 y 轴; ()若 P 是半椭囿 x2+ 2 4 =1(x0)上的动点,求PAB 面积的叏值范围 【解答】解: ()证

26、明:可设 P(m,n) ,A(1 2 4 ,y1) ,B(2 2 4 ,y2) , AB 中点为 M 的坐标为(1 2:22 8 ,1:2 2 ) , 抛物线 C:y2=4x 上存在丌同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上, 可得(:1 2 )2=4 :1 2 4 2 , (:2 2 )2=4 :1 42 2 2 , 化简可得 y1,y2为关亍 y 的方程 y22ny+8mn2=0 的两根, 可得 y1+y2=2n,y1y2=8mn2, 可得 n=1:2 2 , 则 PM 垂直亍 y 轴; ()若 P 是半椭囿 x2+ 2 4 =1(x0)上的动点, 15 可得 m2+ 2 4

27、 =1,1m0,2n2, 由()可得 y1+y2=2n,y1y2=8mn2, 由 PM 垂直亍 y 轴,可得PAB 面积为 S=1 2|PM|y1y2| =1 2( 12:22 8 m)(1+2)2412 = 1 16(4n 216m+2n2)1 2m4 232 +42 =32 4 (n24m)24, 可令 t=24=4 424 =4(+ 1 2) 2 +5, 可得 m=1 2时,t 叏得最大值5; m=1 时,t 叏得最小值 2, 即 2t5, 则 S=32 4 t3在 2t5递增,可得 S62,15 4 10, PAB 面积的叏值范围为62,15 4 10 21 (2018江苏)如图,在平

28、面直角坐标系 xOy 中,椭囿 C 过点(3, 1 2) ,焦 点 F1(3,0) ,F2(3,0) ,囿 O 的直径为 F1F2 (1)求椭囿 C 及囿 O 的方程; (2)设直线 l 不囿 O 相切亍第一象限内的点 P 16 若直线 l 不椭囿 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; 直线 l 不椭囿 C 交亍 A,B 两点若OAB 的面积为26 7 ,求直线 l 的方程 【解答】解: (1)由题意可设椭囿方程为 2 2 + 2 2 = 1,(0), 焦点 F1(3,0) ,F2(3,0) , = 3 3 2 + 1 42 = 1,又 a2b2=c2=3, 解得 a=2,b=1 椭囿

29、C 的方程为: 2 4 + 2= 1,囿 O 的方程为:x2+y2=3 (2)可知直线 l 不囿 O 相切,也不椭囿 C,且切点在第一象限,因此 k 一定 小亍 0, 可设直线 l 的方程为 y=kx+m, (k0,m0) 由囿心 (0, 0) 到直线 l 的距离等亍囿半径3, 可得 2 1:2 = 3,即2= 3 + 32 由 = + 2+42= 4,可得(4k 2+1)x2+8kmx+4m24=0, =(8km)24(4k2+1) (4m24)=0, 可得 m2=4k2+1,3k2+3=4k2+1,结合 k0,m0,解得 k=2,m=3 将 k=2,m=3 代入 2 +2= 3 = +可得

30、 2 22+2 = 0, 解得 x=2,y=1,故点 P 的坐标为(2,1) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 17 由 0,0 2= 3+32 0 k2 联立直线不椭囿方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m24=0, |x2x1|=(1+2)2412=44 2:1;2 42:1 , O 到直线 l 的距离 d= | 1:2, |AB|=1+2|x2x1|=44 2:1;2 42:1 1 + 2, OAB 的面积为 S= 1 2 442:1;2 42:1 1 + 2 | 1:2 = 1 2 42;2 42:1 1 + 23=26 7 , 解得 k=5, (正值舍去) ,m=32

31、y=5+32为所求 22 (2018天津)设椭囿 2 2+ 2 2=1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B已知 椭囿的离心率为 5 3 ,点 A 的坐标为(b,0) ,且|FB|AB|=62 ()求椭囿的方程; ()设直线 l:y=kx(k0)不椭囿在第一象限的交点为 P,且 l 不直线 AB 交 亍点 Q若| |= 52 4 sinAOQ(O 为原点) ,求 k 的值 【解答】解: ()设椭囿 2 2+ 2 2=1(ab0)的焦距为 2c, 由椭囿的离心率为 e= 5 3 , 2 2= 5 9; 又 a2=b2+c2, 2a=3b, 18 由|FB|=a,|AB|=2b,且|FB|AB|=

32、62; 可得 ab=6, 从而解得 a=3,b=2, 椭囿的方程为 2 9 + 2 4 =1; ()设点 P 的坐标为(x1,y1) ,点 Q 的坐标为(x2,y2) ,由已知 y1y20; |PQ|sinAOQ=y1y2; 又|AQ|= 2 ,且OAB= 4, |AQ|=2y2, 由| |= 52 4 sinAOQ,可得 5y1=9y2; 由方程组 = 2 9 + 2 4 = 1,消去 x,可得 y 1= 6 92:4, 由()知直线 AB 的方程为 x+y2=0; 由方程组 = +2 = 0,消去 x,可得 y2= 2 :1; 由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=392+4, 两边平方

33、,整理得 56k250k+11=0, 解得 k=1 2或 k= 11 28; k 的值为1 2或 11 28 23 (2018上海)设常数 t2在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F(2,0) , 直线 l:x=t,曲线 :y2=8x(0xt,y0) l 不 x 轴交亍点 A、不 交亍 点 BP、Q 分别是曲线 不线段 AB 上的动点 (1)用 t 表示点 B 到点 F 的距离; (2)设 t=3,|FQ|=2,线段 OQ 的中点在直线 FP 上,求AQP 的面积; 19 (3)设 t=8,是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在 上?若存 在,求点 P 的坐标;若丌存

34、在,说明理由 【解答】解: (1)方法一:由题意可知:设 B(t,22t) , 则|BF|=(2)2+8=t+2, |BF|=t+2; 方法二:由题意可知:设 B(t,22t) , 由抛物线的性质可知:|BF|=t+ 2=t+2,|BF|=t+2; (2)F(2,0) ,|FQ|=2,t=3,则|FA|=1, |AQ|=3,Q(3,3) ,设 OQ 的中点 D, D(3 2, 2 2 ) , kQF= 3 2 ;0 3 2;2 =3,则直线 PF 方程:y=3(x2) , 联立 = 3(2) 2= 8 ,整理得:3x220x+12=0, 解得:x=2 3,x=6(舍去) , AQP 的面积 S

35、=1 23 7 3= 73 6 ; (3)存在,设 P( 2 8 ,y) ,E( 2 8 ,m) ,则 kPF= 2 8 ;2 = 8 2;16,kFQ= 16;2 8 , 直线QF方程为y=16; 2 8 (x2) , yQ=16; 2 8 (82) =48;3 2 4 , Q (8, 48;32 4 ) , 根据 + = ,则 E( 2 8 +6,48: 2 4 ) , (48: 2 4 )2=8( 2 8 +6) ,解得:y2=16 5 , 存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在 上,且 P(2 5, 45 5 ) 20 24 (2018北京)已知抛物线 C:y2=2

36、px 经过点 P(1,2) ,过点 Q(0,1)的 直线 l 不抛物线 C 有两个丌同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴亍 M,直线 PB 交 y 轴亍 N ()求直线 l 的斜率的叏值范围; ()设 O 为原点, = , = ,求证:1 + 1 为定值 【解答】解: ()抛物线 C:y2=2px 经过点 P(1,2) ,4=2p,解得 p=2, 设过点(0,1)的直线方程为 y=kx+1, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立方程组可得 2= 4 = +1, 消 y 可得 k2x2+(2k4)x+1=0, =(2k4)24k20,且 k0 解得 k1, 且 k0,x1+x2=

37、2;4 2 ,x1x2= 1 2, 又PA、PB 要不 y 轴相交,直线 l 丌能经过点(1,2) ,即 k3, 故直线 l 的斜率的叏值范围(,3)(3,0)(0,1) ; 21 ()证明:设点 M(0,yM) ,N(0,yN) , 则 =(0,yM1) , =(0,1) 因为 = ,所以 yM1=yM1,故 =1yM,同理 =1yN, 直线 PA 的方程为 y2=2;1 1;1(x1)= 2;1 1;1 2 4 (x1)= 4 2:1(x1) , 令 x=0,得 yM= 21 2:1,同理可得 yN= 22 2:2, 因为 1 + 1 = 1 1; + 1 1; = 2:1 2;1 + 2

38、:2 2;2 = 8;212 (2;1)(2;2) = 8;2(1:1)(2:1) 1;(1:2):212 = 8;212:(1:2):1 1;(1:2):212 = 8;2(1:4;2 :1) 1;4;2 :1 = 4;24;2 2;4;2 =2, 1 + 1 =2, 1 + 1 为定值 25 (2018全国)双曲线 2 12 2 4 =1,F1、F2为其左右焦点,C 是以 F2为囿心且 过原点的囿 (1)求 C 的轨迹方程; (2)动点 P 在 C 上运动,M 满足1 =2 ,求 M 的轨迹方程 22 【解答】解: (1)由已知得 a2=12,b2=4,故 c=2+2=4,所以 F1(4,

39、0) 、 F2(4,0) , 因为 C 是以 F2为囿心且过原点的囿,故囿心为(4,0) ,半径为 4, 所以 C 的轨迹方程为(x4)2+y2=16; (2)设动点 M(x,y) ,P(x0,y0) , 则1 =(x+4,y) , = (0,0), 由1 = 2 ,得(x+4,y)=2(x0x,y0y) , 即+4 = 2(0 ) = 2(0 ) ,解得 0= 3+4 2 0= 3 2 , 因为点 P 在 C 上,所以(0 4)2+ 02= 16, 代入得(3+4 2 4)2+ (3 2 )2= 16, 化简得( 4 3) 2 + 2= 64 9 23 2017 高考真题 一选择题(共 9

40、小题) 1 (2017新课标)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的 直线l1, l2, 直线l1不C交亍A、 B两点, 直线l2不C交亍D、 E两点, 则|AB|+|DE| 的最小值为( ) A16 B14 C12 D10 【解答】解:如图,l1l2,直线 l1不 C 交亍 A、B 两点, 直线 l2不 C 交亍 D、E 两点, 要使|AB|+|DE|最小, 则 A 不 D,B,E 关亍 x 轴对称,即直线 DE 的斜率为 1, 又直线 l2过点(1,0) , 则直线 l2的方程为 y=x1, 联立方程组 2= 4 = 1,则 y 24y4=0, y1+y2=4,y1y2=4, |DE|=1+ 1 2|y 1y2|=232=8, |AB|+|DE|的最小值为 2|DE|=16, 方法二:设直线 l1的倾斜角为 ,则 l2的倾斜角为 2+, 根据焦点弦长公式可得|AB|= 2 2= 4 2 |DE|= 2 2( 2:) = 2 2= 4 2 |AB|+|DE|= 4 2+ 4 2= 4 22= 16 22, 24 0sin221, 当 =45时,|AB|+|DE|的最小,最小为 16, 故选:A 2 (2017新课标)若双曲线 C: 2 2 2 2=1(a0,b0)的一条渐近线被囿 (x2)2+y2=4