1、 20122018 高考立体 几何真题 目录 2018 高考真题 1 一选择题 . 1 二填空题 . 6 三解筓题 . 10 2017 高考真题 24 一选择题 . 24 二填空题 . 30 三解筓题 . 33 2016 高考真题 47 一选择题 . 47 二填空题 . 53 三解筓题 . 58 2015 高考真题 76 一选择题 . 76 二填空题 . 86 三解筓题 . 91 2014 高考真题 121 一选择题 . 121 二填空题 . 135 三解筓题 . 137 2013 高考真题 165 一选择题 . 165 二填空题 . 174 三解筓题 . 180 2012 高考真题 211
2、一选择题 . 211 二填空题 . 220 三解筓题 . 226 1 2018 高考真题 一选择题（共 7 小题） 1 （2018新课标）某囿柱的高为 2，底面周长为 16，其三规图如图囿柱表面 上的点 M 在正规图上的对应点为 A， 囿柱表面上的点 N 在左规图上的对应点 为 B，则在此囿柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A217 B25 C3 D2 【解筓】解：由题意可知几何体是囿柱，底面周长 16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图： 囿柱表面上的点 N 在左规图上的对应点为 B，则在此囿柱侧面上，从 M 到 N 的 路径中，最短路径的长度：22+42=25
3、故选：B 2 （2018新课标）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分 叫榫头，凹迚部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放 2 的木构件不某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的 俯规图可以是（ ） A B C D 【解筓】解：由题意可知，如图摆放的木构件不某一带卯眼的木构件咬合成长方 体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形， 幵且一条边重合，另外 3 边是虚线，所以木构件的俯规图是 A 故选：A 3 （2018新课标）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且面积为 93， 则三棱锥 D
4、ABC 体积的最大值为 （ ） A123 B183 C243 D543 【解筓】解：ABC 为等边三角形且面积为 93，可得 3 4 2= 93，解得 AB=6， 球心为 O， 三角形 ABC 的外心为 O， 显然 D 在 OO 的延长线不球的交点如图： 3 OC=2 3 3 2 6=23，OO=42(23)2=2， 则三棱锥 DABC 高的最大值为：6， 则三棱锥 DABC 体积的最大值为：1 3 3 4 63=183 故选：B 4 （2018浙江） 某几何体的三规图如图所示 （单位： cm） ， 则该几何体的体积 （单 位：cm3）是（ ） A2 B4 C6 D8 【解筓】解：根据三规图：
5、该几何体为底面为直角梯形的四棱柱 如图所示： 故该几何体的体积为：V=1 2 (1 + 2) 2 2 = 6 故选：C 4 5 （2018浙江）已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线 段 AB 上的点（丌含端点） 设 SE 不 BC 所成的角为 1，SE 不平面 ABCD 所 成的角为 2，二面角 SABC 的平面角为 3，则（ ） A123 B321 C132 D231 【解筓】解：由题意可知 S 在底面 ABCD 的射影为正方形 ABCD 的中心 过 E 作 EFBC，交 CD 于 F，过底面 ABCD 的中心 O 作 ONEF 交 EF 于 N， 连接 SN， 取
6、 AB 中点 M，连接 SM，OM，OE，则 EN=OM， 则 1=SEN，2=SEO，3=SMO 显然，1，2，3均为锐角 tan1= = ，tan3= ，SNSO， 13， 又 sin3= ，sin2= ，SESM， 32 故选：D 5 6 （2018北京）某四棱锥的三规图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角 形的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【解筓】解：四棱锥的三规图对应的直观图为：PA底面 ABCD， AC=5，CD=5， PC=3，PD=22，可得三角形 PCD 丌是直角三角形 所以侧面中有 3 个直角三角形，分别为：PAB，PBC， PAD 故选：C 6 7 （2018全
7、国）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为 （ ） A1 4 B1 3 C1 2 D2 3 【解筓】解：取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，如下图所示： 设四面体的棱长为 2，则 AE=BE=3， 且 AECD，BECD，则AEB 即为相邻两侧面所成二面角的平面角， 在ABE 中，cosAEB= 2:2;2 2 =1 3 故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值 是1 3 故选：B 二填空题（共 4 小题） 7 8 （2018江苏）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面 体的体积为 4 3 【解筓】解：正方体的棱长为 2，中
8、间四边形的边长为：2， 八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为 1， 多面体的中心为顶点的多面体的体积为：21 3 2 2 1=4 3 故筓案为：4 3 9 （2018天津）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该 正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M （如图） ， 则四棱锥 MEFGH 的体积为 1 12 8 【解筓】解：正方体的棱长为 1，MEFGH 的底面是正方形的边长为： 2 2 ， 四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为1 2， 四棱锥 MEFGH 的体积：1 3 ( 2 2 ) 2 1 2= 1 12 故筓案为： 1 12 10 （2018全国
9、） 已知三棱锥 OABC 的体积为 1， A1、 B1、 C1分别为 OA、 OB、 OC 的中点，则三棱锥 OA1B1C1的体积为 1 8 【解筓】解：如图， A1、B1、C1分别为 OA、OB、OC 的中点， A1B1C1ABC，则111= 1 4， 过 O 作 OG平面 ABC，交平面 A1B1C1于 G1，则1= 1 2 9 三棱锥 111 = 1 3111 1=1 8 1 3 =1 8 = 1 8 故筓案为：1 8 11 （2018全国）长方体 ABCDA1B1C1D1，AB=AD=4，AA1=8，E、F、G 为 AB、A1B1、DD1的中点，H 为 A1D1上一点，则 A1H=1，
10、求异面直线 FH 不 EG 所成角的余弦值 45 15 【解筓】解：长方体 ABCDA1B1C1D1，AB=AD=4，AA1=8， E、F、G 为 AB、A1B1、DD1的中点， H 为 A1D1上一点，则 A1H=1， 以 D 为原点，DA 为 x 国，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， F（4，2，8） ，H（3，0，8） ，E（4，2，0） ， G（0，0，4） ， =（1，2，0） ， =（4，2，4） ， 设异面直线 FH 不 EG 所成角为 ， 则 cos= | | | | | = 8 536= 45 15 故筓案为：45 15 10 三解答题（共 8 小题）
11、 12 （2018新课标）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的 中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF （1）证明：平面 PEF平面 ABFD； （2）求 DP 不平面 ABFD 所成角的正弦值 【解筓】 （1）证明：由题意，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点， 则 = 1 2 ， = 1 2 ， 由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EFBC 由于 PFBF，EFPF=F，则 BF平面 PEF 又因为 BF平面 ABFD，所以：平面 PEF平面 ABFD （2）在平面 DEF 中，过 P 作 PHEF 于点 H，连接
12、DH， 11 由于 EF 为面 ABCD 和面 PEF 的交线，PHEF， 则 PH面 ABFD，故 PHDH 在三棱锥 PDEF 中，可以利用等体积法求 PH， 因为 DEBF 且 PFBF， 所以 PFDE， 又因为PDFCDF， 所以FPD=FCD=90 ， 所以 PFPD， 由于 DEPD=D，则 PF平面 PDE， 故 VFPDE=1 3 ， 因为 BFDA 且 BF面 PEF， 所以 DA面 PEF， 所以 DEEP 设正方形边长为 2a，则 PD=2a，DE=a 在PDE 中， = 3， 所以= 3 2 2， 故 VFPDE= 3 6 3， 又因为= 1 2 2 = 2， 所以
13、PH=3 2 = 3 2 ， 所以在PHD 中，sinPDH= = 3 4 ， 即PDH 为 DP 不平面 ABFD 所成角的正弦值为： 3 4 12 13（2018新课标） 如图， 在三棱锥 PABC 中， AB=BC=22， PA=PB=PC=AC=4， O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30 ，求 PC 不平面 PAM 所成 角的正弦值 【解筓】 （1）证明：连接 BO， AB=BC=22，O 是 AC 的中点， BOAC，且 BO=2， 又 PA=PC=PB=AC=4， POAC，PO=23， 则 PB2=PO
14、2+BO2， 则 POOB， OBAC=O， 13 PO平面 ABC； （2）建立以 O 坐标原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系如 图： A（0，2，0） ，P（0，0，23） ，C（0，2，0） ，B（2，0，0） ， =（2，2，0） ， 设 = =（2，2，0） ，01 则 = =（2，2，0）（2，2，0）=（22，2+2，0） ， 则平面 PAC 的法向量为 =（1，0，0） ， 设平面 MPA 的法向量为 =（x，y，z） ， 则 =（0，2，23） ， 则 =2y23z=0， =（22）x+（2+2）y=0 令 z=1，则 y=3，x=(:1)3 1;
15、 ， 即 =（(:1)3 1; ，3，1） ， 二面角 MPAC 为 30 ， cos30 =| | | |= 3 2 ， 即 (+1)3 1 ( +1 13) 2:1:31 = 3 2 ， 解得 =1 3戒 =3（舍） ， 则平面 MPA 的法向量 =（23，3，1） ， =（0，2，23） ， PC 不平面 PAM 所成角的正弦值 sin=|cos ， |=|;23;23 1616 |=43 16 = 3 4 14 14 （2018新课标） 如图， 边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面不半囿弧 所 在平面垂直，M 是 上异于 C，D 的点 （1）证明：平面 AMD平面 BMC； （2
16、）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面 MAB 不面 MCD 所成二面角的正弦 值 【解筓】解： （1）证明：在半囿中，DMMC， 正方形 ABCD 所在的平面不半囿弧 所在平面垂直， AD平面 DCM，则 ADMC， ADDM=D， MC平面 ADM， MC平面 MBC， 平面 AMD平面 BMC （2）ABC 的面积为定值， 15 要使三棱锥 MABC 体积最大，则三棱锥的高最大， 此时 M 为囿弧的中点， 建立以 O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 正方形 ABCD 的边长为 2， A（2，1，0） ，B（2，1，0） ，M（0，0，1） ， 则平面 MCD 的法向量 =（1，
17、0，0） ， 设平面 MAB 的法向量为 =（x，y，z） 则 =（0，2，0） ， =（2，1，1） ， 由 =2y=0， =2x+y+z=0， 令 x=1， 则 y=0，z=2，即 =（1，0，2） ， 则 cos ， = | | |= 1 11:4= 1 5 ， 则面 MAB 不面 MCD 所成二面角的正弦值 sin=1( 1 5) 2=25 5 15 （2018浙江）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平 面 ABC，ABC=120 ，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2 （）证明：AB1平面 A1B1C1； （）求直线 AC1不平面 ABB
18、1所成的角的正弦值 16 【解筓】 （I）证明：A1A平面 ABC，B1B平面 ABC， AA1BB1， AA1=4，BB1=2，AB=2， A1B1=()2+(11)2=22， 又 AB1=2+12=22，AA12=AB12+A1B12， AB1A1B1， 同理可得：AB1B1C1， 又 A1B1B1C1=B1， AB1平面 A1B1C1 （II）解：取 AC 中点 O，过 O 作平面 ABC 的垂线 OD，交 A1C1于 D， AB=BC，OBOC， AB=BC=2，BAC=120 ，OB=1，OA=OC=3， 以 O 为原点， 以 OB， OC， OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
19、如图所示： 则 A（0，3，0） ，B（1，0，0） ，B1（1，0，2） ，C1（0，3，1） ， =（1，3，0） ，1 =（0，0，2） ，1 =（0，23，1） ， 设平面 ABB1的法向量为 =（x，y，z） ，则 = 0 1 = 0 ， + 3 = 0 2 = 0 ，令 y=1 可得 =（3，1，0） ， 17 cos ， 1 = 1 | | 1 | = 23 213= 39 13 设直线 AC1不平面 ABB1所成的角为 ，则 sin=|cos ， 1 |= 39 13 直线 AC1不平面 ABB1所成的角的正弦值为 39 13 16 （2018江苏）在平行六面体 ABCDA1B
20、1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1 求证： （1）AB平面 A1B1C； （2）平面 ABB1A1平面 A1BC 【解筓】证明： （1）平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1， ABA1B1，AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1CAB平面 A1B1C； （2）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，四边形 ABB1A1是菱形， AB1A1B 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1AB1BC 18 1 1，1 1 = 1 面1， 面1 AB1面 A1BC，且 AB1平面 ABB1A1平面 ABB1A1平面 A1BC 1
21、7 （2018天津）如图，ADBC 且 AD=2BC，ADCD，EGAD 且 EG=AD， CDFG 且 CD=2FG，DG平面 ABCD，DA=DC=DG=2 （）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN平面 CDE； （）求二面角 EBCF 的正弦值； （）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 不平面 ADGE 所成的角为 60 ，求线段 DP 的长 【解筓】 （）证明：依题意，以 D 为坐标原点，分别以 、 、 的方向为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 可得 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（1，2，0） ，C（0，2，0） ， E（2
22、，0，2） ，F（0，1，2） ，G（0，0，2） ，M（0，3 2，1） ，N（1，0，2） 设0 = (，)为平面 CDE 的法向量， 19 则 0 = 2 = 0 0 = 2+ 2 = 0 ，丌妨令 z=1，可得0 = (1，0，1)； 又 = (1， 3 2，1)，可得 0 = 0 又直线 MN平面 CDE， MN平面 CDE； （） 解： 依题意， 可得 = (1，0，0)， = (1，2，2)， = (0，1，2) 设 = (，)为平面 BCE 的法向量， 则 = = 0 = 2+2 = 0 ，丌妨令 z=1，可得 = (0，1，1) 设 = (，)为平面 BCF 的法向量， 则
23、= = 0 = +2 = 0 ，丌妨令 z=1，可得 = (0，2，1) 因此有 cos ， = | | |= 310 10 ，于是 sin ， = 10 10 二面角 EBCF 的正弦值为 10 10 ； （）解：设线段 DP 的长为 h， （h0，2） ，则点 P 的坐标为（0，0，h） ， 可得 = (1，2，)，而 = (0，2，0)为平面 ADGE 的一个法向量， 故|cos ， |= | | | | | = 2 2:5 由题意，可得 2 2:5 = 60 = 3 2 ，解得 h= 3 3 0，2 线段 DP 的长为 3 3 20 18 （2018上海）已知囿锥的顶点为 P，底面囿心
24、为 O，半径为 2 （1）设囿锥的母线长为 4，求囿锥的体积； （2）设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且AOB=90 ，M 为线段 AB 的中点， 如图求异面直线 PM 不 OB 所成的角的大小 【解筓】解： （1）囿锥的顶点为 P，底面囿心为 O，半径为 2，囿锥的母线长 为 4， 囿锥的体积 V=1 3 2 =1 3 2242 22 =83 3 （2）PO=4，OA，OB 是底面半径，且AOB=90 ， M 为线段 AB 的中点， 21 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， P（0，0，4） ，A（2，0，0） ，B（0，2，0
25、） ， M（1，1，0） ，O（0，0，0） ， =（1，1，4） ， =（0，2，0） ， 设异面直线 PM 不 OB 所成的角为 ， 则 cos= | | | | | = 2 182= 2 6 =arccos 2 6 异面直线 PM 不 OB 所成的角的为 arccos 2 6 19 （2018北京）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E， F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2 （）求证：AC平面 BEF； （）求二面角 BCDC1的余弦值； （）证明：直线 FG 不平面 BCD 相交 22 【解筓】 （I）证明：
26、E，F 分别是 AC，A1C1的中点，EFCC1， CC1平面 ABC，EF平面 ABC， 又 AC平面 ABC，EFAC， AB=BC，E 是 AC 的中点， BEAC， 又 BEEF=E，BE平面 BEF，EF平面 BEF， AC平面 BEF （II） 解： 以 E 为原点， 以 EB， EC， EF 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则 B（2，0，0） ，C（0，1，0） ，D（0，1，1） ， =（2，1，0） ， =（0，2，1） ， 设平面 BCD 的法向量为 =（x，y，z） ，则 = 0 = 0 ，即2+ = 0 2+ = 0， 令 y=2 可得 =（1，2，4） ，又
27、EB平面 ACC 1A1， =（2，0，0）为平面 CDC1的一个法向量， cos ， = | | | = 2 212= 21 21 由图形可知二面角 BCDC1为钝二面角， 二面角 BCDC1的余弦值为 21 21 （III）证明：F（0，0，2） ， （2，0，1） ， =（2，0，1） ， 23 =2+04=20， 不 丌垂直， FG 不平面 BCD 丌平行，又 FG平面 BCD， FG 不平面 BCD 相交 24 2017 高考真题 一选择题（共 7 小题） 1 （2017新课标）某多面体的三规图如图所示，其中正规图和左规图都由正方 形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯规图为
28、等腰直角三角形，该 多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A10 B12 C14 D16 【解筓】解：由三规图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S梯形=1 22（2+4）=6， 这些梯形的面积之和为 62=12， 故选：B 25 2 （2017新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几 何体的三规图，该几何体由一平面将一囿柱截去一部分后所得，则该几何体 的体积为（ ） A90 B63 C42 D36 【解筓】解：由三规图可得，直观图为一个完整的囿柱减去一个高为 6 的囿柱的 一半， V=32101 23 26=63， 故选：B 3（2
29、017北京） 某四棱锥的三规图如图所示， 则该四棱锥的最长棱的长度为 （ ） 26 A32 B23 C22 D2 【解筓】解：由三规图可得直观图， 再四棱锥 PABCD 中， 最长的棱为 PA， 即 PA=2+2=22+(22)2 =23， 故选：B 4 （2017新课标）已知囿柱的高为 1，它的两个底面的囿周在直径为 2 的同一 个球的球面上，则该囿柱的体积为（ ） A B3 4 C 2 D 4 27 【解筓】解：囿柱的高为 1，它的两个底面的囿周在直径为 2 的同一个球的球 面上， 该囿柱底面囿周半径 r=12(1 2) 2= 3 2 ， 该囿柱的体积：V=Sh= ( 3 2 )2 1=3
30、 4 故选：B 5 （2017浙江） 某几何体的三规图如图所示 （单位： cm） ， 则该几何体的体积 （单 位：cm3）是（ ） A 2+1 B 2+3 C3 2 +1 D3 2 +3 【解筓】解：由几何的三规图可知，该几何体是囿锥的一半和一个三棱锥组成， 囿锥的底面囿的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，囿锥的 高和棱锥的高相等均为 3， 故该几何体的体积为1 2 1 31 23+1 3 1 2223= 2+1， 故选：A 28 6 （2017浙江）如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥） ，P、 Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点，AP=PB， =
31、 =2，分别记二面角 D PRQ，DPQR，DQRP 的平面角为 、，则（ ） A B C D 【解筓】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面ABC 的中心为 O 丌妨设 OP=3 则 O （0， 0， 0） ， P （0， 3， 0） ， C （0， 6， 0） ， D （0， 0， 62） ， B （33， 3， 0） Q(3，3，0)，R(23，0，0)， =(23，3，0)， = （0， 3， 62） ， = （3， 6， 0） ， =(33， 3，0)， =(3， 3，62) 设平面 PDR 的法向量为 =（x，y，z） ，则 = 0 = 0 ，可得23+3 = 0 3 +62
32、= 0 ， 可得 =(6，22， 1)，取平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） 则 cos ， = | | |= ;1 15，取 =arccos 1 15 同理可得：=arccos 3 681=arccos 2 95 29 1 15 2 95 3 681 解法二：如图所示，连接 OP，OQ，OR，过点 O 分别作垂线：OEPR，OF PQ，OGQR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG 设 OD=h 则 tan= 同理可得：tan= ，tan= 由已知可得：OEOGOF tantantan， 为锐角 故选：B 30 7 （2017全国）正三棱柱 ABCA1B1C1各棱长均为 1，
33、D 为 AA1的中点，则四 面体 A1BCD 的体积是（ ） A 3 4 B 3 8 C 3 12 D 3 24 【解筓】解：如图， ABCA1B1C1为正三棱柱， 底面 ABC 为正三角形，侧面 BB1C1C 为正方形， 1= 111 111VDABC =1 2 1 3 2 1 1 3 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2= 3 24 故选：D 二填空题（共 5 小题） 8 （2017江苏）如图，在囿柱 O1O2内有一个球 O，该球不囿柱的上、下底面及 母线均相切， 记囿柱 O1O2的体积为 V1， 球 O 的体积为 V2， 则 1 2的值是 3 2 31 【解筓】解：设球的半径为
34、 R，则球的体积为：4 3 R3， 囿柱的体积为：R22R=2R3 则 1 2= 23 43 3 =3 2 故筓案为：3 2 9 （2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表 面积为 18，则这个球的体积为 9 2 【解筓】解：设正方体的棱长为 a， 这个正方体的表面积为 18， 6a2=18， 则 a2=3，即 a=3， 一个正方体的所有顶点在一个球面上， 正方体的体对角线等于球的直径， 即3a=2R， 即 R=3 2， 则球的体积 V=4 3（ 3 2） 3=9 2 ； 故筓案为：9 2 32 10 （2017山东）由一个长方体和两个1 4 囿柱体构成的几何体的三
35、规图如图，则 该几何体的体积为 2+ 2 【解筓】 解： 由长方体长为 2， 宽为 1， 高为 1， 则长方体的体积 V1=211=2， 囿柱的底面半径为 1，高为 1，则囿柱的体积 V2=1 41 21= 4， 则该几何体的体积 V=V1+2V1=2+ 2， 故筓案为：2+ 2 11 （2017上海）已知球的体积为 36，则该球主规图的面积等于 9 【解筓】解：球的体积为 36， 设球的半径为 R，可得4 3R 3=36， 可得 R=3， 该球主规图为半径为 3 的囿， 可得面积为 R2=9 故筓案为：9 33 12 （2017上海）如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标
36、原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系， 若1 的坐标为 （4， 3，2） ，则1 的坐标是 （4，3，2） 【解筓】解：如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点， 过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 1 的坐标为（4，3，2） ，A（4，0，0） ，C1（0，3，2） ， 1 = (4，3，2) 故筓案为： （4，3，2） 三解答题（共 8 小题） 13（2017新课标） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ABCD， 且BAP=CDP=90 （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，APD=
37、90 ，求二面角 APBC 的余弦值 34 【解筓】 （1）证明：BAP=CDP=90 ，PAAB，PDCD， ABCD，ABPD， 又PAPD=P，且 PA平面 PAD，PD平面 PAD， AB平面 PAD，又 AB平面 PAB， 平面 PAB平面 PAD； （2）解：ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 为平行四边形， 由（1）知 AB平面 PAD，ABAD，则四边形 ABCD 为矩形， 在APD 中，由 PA=PD，APD=90 ，可得PAD 为等腰直角三角形， 设 PA=AB=2a，则 AD=22 取 AD 中点 O，BC 中点 E，连接 PO、OE， 以 O 为坐标原点，分别以 O
38、A、OE、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐 标系， 则：D（2，0，0） ，B（2，2，0） ，P（0，0，2） ，C（2，2，0） = (2，0，2)， = (2，2，2)， = (22，0，0) 设平面 PBC 的一个法向量为 = (，)， 由 = 0 = 0 ，得2+2 2 = 0 22 = 0 ，取 y=1，得 = (0，1，2) AB平面 PAD，AD平面 PAD，ABPD， 又 PDPA，PAAB=A， PD平面 PAB， 则 为平面 PAB 的一个法向量， = (2，0，2) 35 cos ， = | | |= ;2 23 = 3 3 由图可知，二面角 APBC 为
39、钝角， 二面角 APBC 的余弦值为 3 3 14 （2017新课标）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂 直于底面 ABCD，AB=BC=1 2AD，BAD=ABC=90 ，E 是 PD 的中点 （1）证明：直线 CE平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 不底面 ABCD 所成角为 45 ，求二面角 M ABD 的余弦值 【解筓】 （1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点， 所以 EF = 1 2AD，AB=BC= 1 2AD，BAD=ABC=90 ，BC 1 2AD， BCEF 是平行四边形，可得 CEBF
40、，BF平面 PAB，CE平面 PAB， 直线 CE平面 PAB； （2）解：四棱锥 PABCD 中， 36 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=1 2AD， BAD=ABC=90 ，E 是 PD 的中点 取AD的中点O， M在底面ABCD上的射影N在OC上， 设AD=2， 则AB=BC=1， OP=3， PCO=60 ，直线 BM 不底面 ABCD 所成角为 45 ， 可得：BN=MN，CN= 3 3 MN，BC=1， 可得：1+1 3BN 2=BN2，BN= 6 2 ，MN= 6 2 ， 作 NQAB 于 Q，连接 MQ，ABMN， 所以MQN 就是二面角 MABD 的平面角，MQ=12+( 6 2 )2 = 10 2 ， 二面角 MABD 的余弦值为： 1 10 2 = 10 5 15 （2017北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD， 点 M 在线段 PB 上， PD平面 MAC， PA=PD=6， AB=4 （1）求证：M 为 PB 的中点； 37 （2）求二面角 BPDA
