1、 典例 5 (12 分)(2018 全国)设椭圆 C：x 2 2y 21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，点 M 的坐标为(2,0). (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB. 审题路线图 1l 与 x 轴垂直l 的方程为 x1将 l的方程与椭圆 C 的方程联立解得 A 点坐标得到直 线 AM 的方程 2先考虑 l 与 x 轴垂直或 l与 x 轴重合的特殊情况要证的结论再考虑 l 与 x 轴不垂直也不 重合的一般情况设 l 的方程并与椭圆方程联立得 x1x2，x1x2用过两点的斜率公式写出 kMA，
2、kMB计算 kMAkMB得 kMAkMB0OMAOMB. 规 范 解 答 分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 (1)解 由已知得 F(1,0)，1 分 由 x1 及x 2 2y 21 得 A 点坐标为 1， 2 2 或 1， 2 2 ，2 分 又 M(2,0)，AM 的方程为 y 2 2 x 2或 y 2 2 x 2.3 分 (2)证明 当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0 . 4 分 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线， OMAOMB. 5 分 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，6 分 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，得 t1 2， 则 x1x212t1 9 . 从而12t1 9 5 2，得 t 7 8. 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3PB可得 y 13y2， 由 y3 2xt， y23x， 可得 y22y2t0， 所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13， 代入 C 的方程得 x13，x21 3， 即 A(3,3)，B 1 3，1 ， 故|AB|4 13 3 .
