1、42 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征 43 直线与圆锥曲线的交点直线与圆锥曲线的交点 学习目标 1.了解圆锥曲线的共同特征.2.会求曲线的交点.3.掌握直线与圆锥曲线位置关系 的判定.4.理解弦长公式及其求解应用 知识点一 圆锥曲线的共同特征统一定义 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值 e.当 0e1 时，圆 锥曲线是椭圆；当 e1 时，圆锥曲线是抛物线；当 e1 时，圆锥曲线是双曲线此即为圆 锥曲线的统一定义 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系 设直线 l 的方程为 AxByC0， 圆锥曲线 M 的方程为 f(x， y)0， 则由 AxByC0， fx，y0
2、 消去 y，可得 ax2bxc0. (1)当 a0 时有： 位置关系 公共点个数 方程 相交 2 0 相切 1 0 相离 0 0 (2)当 a0 时，方程 ax2bxc0 只有一个解，即直线与圆锥曲线只有一个公共点，此时该 直线与圆锥曲线不是相切，而是相交 知识点三 两曲线的交点 已知两条曲线 C1，C2的方程分别为 F(x，y)0，G(x，y)0，则点 P0(x0，y0)是 C1，C2的交 点 Fx0，y00， Gx0，y00. 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线 就没有交点 1平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的集合是圆锥曲线() 2对
3、于双曲线x 2 25 y2 91，右支上的点满足“平面内到定点 F(4,0)与到定直线 l：x 25 4 的距 离的比等于4 5”左支上的点不满足() 3若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线必相切() 4直线与椭圆有一个公共点的充要条件是它们组成的方程组有唯一解() 类型一 圆锥曲线共同特征的应用 例 1 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(c,0)，离心率 e c a，点 A 在椭圆上，d 为点 A 到定直线 l：xa 2 c 的距离求证：|AF| d e. 考点 圆锥曲线定义的应用 题点 圆锥曲线定义的应用 证明 设点 A(x，y)为椭圆x 2 a2 y
4、2 b21(ab0)上任意一点， |AF| d m(m0)，则 xc2y2 xa 2 c m， 两边平方整理得(1m2)x2y2 2c2a 2m2 c x a4m2 c2 c2， 比较椭圆方程b 2x2 a2 y2b2的各项 系数，得 2c2a 2m2 c 0，所以 m2 c a 2， 因为 m0，所以 mc a，即 |AF| d e. 反思与感悟 圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线(定点不在定直线上)的距离 之比是一个常数，这本身就是一个几何关系由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可 求出曲线方程 跟踪训练 1 (1)已知动点 M(x，y)到直线 l：x4 的距离是它到点 N(1
5、,0)的距离的 2 倍则动 点 M 的轨迹 C 的方程为_ (2)已知双曲线x 2 16 y2 91 的左、右焦点分别为 F1，F2，其上一点 P 满足|PF1|5|PF2|，则点 P 直线 x16 5 的距离为_ 考点 圆锥曲线定义的应用 题点 用定义判断曲线类型或求方程 答案 (1)x 2 4 y2 31 (2) 8 5 解析 (1)如图，设点 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意知， d2|MN|， 由此得|4x|2 x12y2， 化简得x 2 4 y2 31， 所以动点 M 的轨迹 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)由双曲线定义知，|PF1|PF2|2a8， 又|PF1|5
6、|PF2|， 得|PF2|2，设点 P 到直线 x16 5 的距离为 d， 则|PF2| d c a 5 4，得 d 8 5. 类型二 直线与圆锥曲线的位置关系 例 2 已知双曲线 C：x 2 4y 21 和定点 P 2，1 2 ，过点 P 可以作几条直线与双曲线只有一个 公共点？ 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线公共点个数问题 解 当过 P 点的直线 l 斜率存在时，y1 2k(x2)，与 x2 4y 21 联立消去 y， 得(14k2)x2k(416k)x(16k28k5)0.(*) 当 14k20，即 k 1 2时，(*)式变为一元一次方程，解得 x 5 2或 x
7、 13 6 ，l 与双曲线分别 交于 5 2， 3 4 和 13 6 ， 5 12 ，此即直线过点 P 且平行于渐近线的情形 当 14k20，由 0，得 k5 8， 此时 l：y1 2 5 8(x2)，交点为 10 3 ，4 3 . 易知当过 P 点的直线斜率不存在时，直线方程为 x2，交点为(2,0)，所以过 P 点有四条直线 与双曲线只有一个公共点 反思与感悟 对于直线与双曲线、抛物线位置关系判定时，要注意对消元之后所得二次方程 的二次项系数是否为零进行讨论 跟踪训练 2 设直线 ykx1 与双曲线 x2y24 的右支有两个公共点，求 k 的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题
8、点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 解 联立 ykx1， x2y24， 消去 y，得(1k2)x22kx50，由于方程(1k2)x22kx50 有两 个不相等的正根， 所以 4k2201k20， 2k 1k20， 5 1k20， 即 5 2 k 5 2 ， k1或1k0， k1或k1， 解得 1k 5 2 . 即 k 的取值范围为 k| 1k 5 2 . 类型三 两曲线的交点问题 例 3 求曲线 2y23x30 与曲线 x2y24x50 的公共点 考点 曲线的交点的问题 题点 求交点 解 由 2y23x30， x2y24x50， 得 2x211x130， 即(2x13)(x1)0，解得 x11
9、，x213 2 . 将 x1 代入，得 x1， y0. 将 x213 2 代入，方程无解 所以两曲线只有一个公共点(1,0) 反思与感悟 求解曲线的交点问题，可转化为求解方程组问题，解方程组时注意变形的等价 性 跟踪训练 3 (1)已知方程 ya|x|和 yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点， 则 a 的取值 范围是( ) Aa1 B0a1 C0a1 或 a1 Da (2)已知直线 l：yxb 与曲线 C：y 1x2有两个公共点，则 b 的取值范围是_ 考点 曲线的交点问题 题点 求交点 答案 (1)A (2)1， 2) 解析 (1)满足题意的图像如图所示， yxa的斜率为1， 要使ya|
10、x|和yxa有两个交点， ya|x|的斜率 a1. (2)方法一 由方程组 yxb， y 1x2y0， 得 yxb， x2y21y0. 消去 x，得 2y22byb210(y0) l 与 C 有两个公共点，等价于此方程是有两个不等的非负实数解， 可得 4b28b210， y1y2b0， y1y2b 21 2 0， 解得 1b 2. 方法二 在同一直角坐标系内作出 yxb 与 y 1x2的图形，可得 b 的取值范围为 1b 2. 1直线 yxm 与椭圆x 2 4y 21 有两个不同的交点，则 m 的取值范围是( ) A5m5 Bm 5，或 m 5 Cm 5 D 5m 5 答案 D 解析 将 yx
11、m 代入x 2 4y 21， 有 5x28mx4m240， 64m280(m21)0，得 m25， 5m 5. 2已知点 M 到定点 F(2,0)的距离和它到定直线 l：x18 的距离的比是常数1 3，设点 M 的轨 迹为曲线 C，则曲线 C 的轨迹是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 考点 圆锥曲线定义的应用 题点 用定义判断曲线类型或求方程 答案 B 解析 设 M 到 l 的距离为 d，由题意得|MF| d 1 31，故 M 的轨迹 C 为椭圆 3一圆过两椭圆x 2 9 y2 41 与 x2 4 y2 91 的交点，则该圆的方程是_ 考点 曲线的交点问题 题点 求交点 答案 x2y2
12、72 13 解析 将两椭圆方程相加，得 x2y272 13. 4已知曲线 C：y22x，若 C 上存在相异两点关于直线 l：ym(x2)对称，则实数 m 的取 值范围是_ 考点 圆锥曲线性质的应用 题点 圆锥曲线性质的应用 答案 ( 2， 2) 解析 方法一 如图当 m0 时，直线 l：y0 恰好是抛物线的对称轴，满足题设条件 当 m0 时，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上关于直线 l 对称的两点， 则 P，Q 的中点是 M x1x2 2 ，y1y2 2 . 设直线 PQ 的方程是 y1 mxb. 由 y1 mxb， y22x， 消去 x，得 y22my2mb0.(*) 方程(
13、*)有两个不相等的实根， 4m28mb0，即 m22mb0. 又 y1y22m， x1x22mbm(y1y2)2mb2m2， M(mbm2，m) 由点 M 在直线 l 上，得mm(mbm22)， 即 b1m 2 m . 将代入，得 m22，解得 2m 2，且 m0. 综上可知，m 的取值范围是( 2， 2) 方法二 (点差法) 当 m0 时，符合题意 当 m0 时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线 y22x 上关于直线 l 对称的两点，线段 AB 的中 点 M 的坐标为(x0，y0) 点 A，B 在抛物线上，y212x1，y222x2. 将两式相减，得(y1y2)(y1y2)2(
14、x1x2)， 即 2y0(y1y2)2(x1x2)，y1y2 x1x2 1 y0(x1x2) 又直线 ABl，kAB kl1， 1 y0 m1， 即 my00. 又点 M 在直线 l 上，y0m(x02) 由，得点 M 的坐标为(1，m) A，B 为抛物线上的两点，点 M 在抛物线的内部， m22，解得 2m 2，且 m0. 综上可知，所求 m 的取值范围是( 2， 2) 在解决圆锥曲线上两点关于直线对称的问题时，这两点的连线就是圆锥曲线的弦，先求弦中 点的轨迹方程，然后联立直线方程，求得中点坐标的表达式，再由中点在曲线内部构造出不 等式，最后得出答案 处理有关弦的中点轨迹的问题时，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在 直线上这一条件，结合中点坐标公式，寻找中点和端点坐标之间的联系，其中用端点的坐标 表示直线的斜率是常用方法
