1、 2 空间向量的运算空间向量的运算(一一) 学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握 共线向量定理. 知识点一 空间向量的加减法及运算律 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算. OB OA AB ab， CA OA OC ab. 知识点二 空间向量的数乘运算及运算律 定义 与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何 定义 0 a 与向量 a 的方向相同 a 的长度是 a 的长度的|倍 0 a 与向量 a 的方向相反 0 a0，其方向是任意的 运算律 分配律 (ab)ab 结合律 (a)()a
2、注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论. 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要 条件是存在唯一一个实数 ，使得 a b. ? 1.若 ab0，则 ab0.( ) 2.设 R，若 ab，则 a 与 b 共线.( ) 3.OA OB AB .( ) 4.直线 l 的方向向量为 a，若 a平面 ，则 l平面 .( ) 题型一 空间向量的加减运算 例 1 如图，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简 结果的向量. (1)AA CB ； (2)AA AB BC . 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 解 (1)AA CB AA
3、 DA AA AD AD . (2)AA AB BC (AA AB )BC AB BC AC . 向量AD ，AC 如图所示. 引申探究 利用本例题图，化简AA AB BC CA . 解 结合加法运算 AA AB AB ，AB BC AC ，AC CA 0. 故AA AB BC CA 0. 反思感悟 1.首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量，即A1A2 A 2A3 A 3A4 A n1An A 1An . 2.首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0.如图，OB BC CD DE EF FG GH HO 0. 跟踪训练 1 在如图所示的平
4、行六面体中，求证：AC AB AD 2AC . 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 证明 平行六面体的六个面均为平行四边形， AC ABAD ，AB AB AA ，AD AD AA ， AC AB AD (AB AD )(AB AA )(AD AA ) 2(AB AD AA ). 又AA CC ，AD BC ， AB AD AA AB BCCC AC CC AC . AC AB AD 2AC . 题型二 共线问题 例 2 (1)已知向量 a，b，且AB a2b，BC5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点 是( ) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A
5、，C，D (2)设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB e 1ke2，BC 5e 14e2，DC e12e2， 且 A，B，D 三点共线，实数 k_. 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 答案 (1)A (2)1 解析 (1)因为AD AB BCCD 3a6b3(a2b)3AB ，故AD AB ，又AD 与AB 有公共 点 A， 所以 A，B，D 三点共线. (2)因为AD AB BCCD 7e1(k6)e2， 且AB 与AD 共线，故AD xAB ， 即 7e1(k6)e2xe1xke2， 故(7x)e1(k6xk)e20， 又因为 e1，e2不共线， 所以 7x0，
6、k6kx0， 解得 x7， k1， 故 k 的值为 1. 反思感悟 1.判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量的充要条件：若 ab，b0，则存在唯一实数 使 ab；若存在唯一 实数 ，使 ab，b0，则 ab. (2)判断向量共线的关键：找到实数 . 2.证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论来证明三点共线. (1)存在实数 ，使PA PB成立. (2)对空间任一点 O，有OP OA tAB (tR). (3)对空间任一点 O，有OP xOA yOB (xy1). 跟踪训练 2 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判
7、断 向量EF 与AD BC 是否共线？ 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 解 设 AC 的中点为 G，连接 EG，FG， GF 1 2AD ，EG 1 2BC ， 又GF ，EG ，EF 共面， EF EG GF 1 2BC 1 2AD 1 2(AD BC )， EF 与 AD BC 共线. 题型三 空间向量的数乘运算及应用 例 3 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设AA1 a，AB b，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)AP ；(2)A 1N ；(3)MP NC1 . 考点 空间向量的数乘
8、运算 题点 空间向量的线性运算 解 (1)AP AD 1 D1P (AA1 AD )1 2AB ac1 2b. (2)A1N A1A AN AA 1 AB 1 2AD ab1 2c. (3)MP NC1 (MA1 A1D1 D 1P )(NC CC1 ) 1 2AA1 AD 1 2AB 1 2AD AA1 3 2AA1 3 2AD 1 2AB 3 2a 1 2b 3 2c. 引申探究 若把本例中“P 是 C1D1的中点”改为“P 在线段 C1D1上，且C1P PD1 1 2”，其他条件不变，如 何表示AP ？ 解 AP AD 1 D1P AA1 AD 2 3AB ac2 3b. 反思感悟 利用
9、数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则， 将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 跟踪训练 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 在 A1D1上，且A1E 2ED1 ，F 在 对角线 A1C 上，且A1F 2 3FC . 求证：E，F，B 三点共线. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 证明 设AB a，AD b，AA1 c. 因为A1E 2ED1 ，A1F 2 3FC ， 所以A1E 2 3A1D1 ，A 1F 2 5A1C ， 所以
10、A1E 2 3AD 2 3b， A1F 2 5(AC AA 1 )2 5(AB AD AA1 )2 5a 2 5b 2 5c， 所以EF A 1F A1E 2 5a 4 15b 2 5c 2 5 a2 3bc . 又EB EA 1 A1A AB 2 3bcaa 2 3bc， 所以EF 2 5EB ， 又因为EF 与EB有公共点 E，所以 E，F，B 三点共线. 1.下列条件，能说明空间不重合的 A，B，C 三点共线的是( ) A.AB BCAC B.AB BCAC C.AB BC D.|AB |BC| 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C 解析 由AB BC知AB与
11、BC共线，又因有一共同的点 B，故 A，B，C 三点共线. 2.设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且AO OB DO OC ，则四边形 ABCD 是( ) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 A 解析 由AO OB AB DO OC DC ，得AB DC ，故四边形 ABCD 为平行四边形，故选 A. 3.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为AC1 的共有( ) (AB BC)CC 1 ； (AA1 A1D1 )D 1C1 ； (AB BB 1 )B1C1 ； (AA1
12、 A1B1 )B 1C1 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D 解析 (AB BC)CC 1 AC CC 1 AC1 ； (AA1 A1D1 )D 1C1 AD1 D1C1 AC1 ； (AB BB 1 )B1C1 AB 1 B1C1 AC 1 ； (AA1 A1B1 )B 1C1 AB 1 B1C1 AC 1 ，故选 D. 4.化简 2AB 2BC3CD 3DA AC _. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 0 解析 2AB 2BC3CD 3DA AC 2AB2BC2CD 2DA CD DA
13、AC 0. 5.若非零空间向量 e1，e2不共线，则使 2ke1e2与 e12(k1)e2共线的 k 的值为_. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 1 2 解析 若 2ke1e2与 e12(k1)e2共线， 则 2ke1e2e12(k1)e2， 2k， 12k1， k1 2. 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反 向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移： 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法运算时， 务必注意和向量、 差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 2.证明(或判断)三点 A，B，C 共线时，只需证明存在实数 ，使AB BC(或ABAC)即可， 也可用“对空间任意一点 O，有OC tOA (1t)OB ”来证明三点 A，B，C 共线.
