1、1 命 题(二),第一章 常用逻辑用语,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 2.会利用命题的等价性解决问题. 3.会判断四种命题的真假性.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 四种命题间的关系,知识点二 四种命题间的真假关系,由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系： (1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 .,真,真,假,真,真,假,假,假,相同,没有关系,1.两个互逆命题的真假性相同.( ) 2.原命题的逆命题与
2、原命题的否命题真假性相同.( ) 3.在四种命题中，真命题的个数为0或2或4.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 四种命题的真假判定,例1 (1)下列命题中为真命题的是 “正三角形都相似”的逆命题； “若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题； “若x 是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A. B. C. D.,解析 原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题. 原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0”.,x不是无理数，x是有理数.,故正确的命题为，故选B.,解析 命题“
3、若x5，则x28x150”为真命题，则其逆否命题为真命题.其逆命题为假命题， 则否命题也为假命题，故假命题的个数为2.,(2)已知命题“若x5，则x28x150”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，假命题的个数为_.,2,反思感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键.,跟踪训练1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假. (1)若ab0，则a0或b0；,解 逆命题：若a0或b0，则ab0.它为假命题. 逆否命题：若a0且b0，则ab0.它为真命题. 所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题.,(2)若a2b20，则a，b都为0
4、.,解 原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2b20”均为真命题， 所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题.,例2 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是空集，则a2”的逆否命题的真假.,题型二 等价命题在证明中的应用,解 方法一 原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a2， 则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集”. 判断真假如下： 抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上， 对应方程的判别式(2a1)24(a22)4a7， 因为a2，所以4a70， 即抛物线与x轴有交点， 所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，
5、 故原命题的逆否命题为真.,方法二 先判断原命题的真假如下： 因为a，x为实数，关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集， 所以不等式对应方程的判别式 (2a1)24(a22)4a70.,所以原命题是真命题. 因为互为逆否命题的两个命题同真同假， 所以原命题的逆否命题为真命题.,引申探究 1.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是空集，则a2”的否命题的真假.,解 原命题的逆命题为“已知a，x为实数，若a2，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集”. 判断真假如下： 抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上， 对应方程的判别式(2a
6、1)24(a22)4a7， 因为a2，所以4a71， 当01时，抛物线与x轴有交点， 当0时，抛物线与x轴无交点， 所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不一定是空集， 故原命题的逆命题为假命题. 原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题. 所以原命题的否命题为假命题.,2.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是R，则 的逆否命题的真假.,解 先判断原命题的真假如下： 因为a，x为实数，关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为R，且抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上， 所以不等式对应方程的判别式(2a1)24(a22)4a70.,所
7、以原命题是真命题. 因为互为逆否命题的两个命题同真同假， 所以原命题的逆否命题为真命题.,反思感悟 (1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题. (2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，其否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.,跟踪训练2 证明：若a24b22a10，则a2b1.,证明 命题“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若 a2b1，则a24b22a10”. 由a2b1，得a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b24b14b24b210， 显然原命题的逆否命题为真
8、命题，所以原命题也为真命题.故原命题得证.,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,命题的等价性,典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.,解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该
9、走的.,素养评析 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是 A.若q不正确，则p不正确 B.若q不正确，则p正确 C.若p正确，则q不正确 D.若p正确，则q正确,解析 原命题的逆命题和否命题是等价命题，只需写出原命题的否命题即可.,1,2,3,4,5,2.下列命题为真命题的是 A.命题“若xy，则x|y|”的逆命题 B.命题“若x1，则x21”的否命题 C.命题“若x1，则x2x20”的否命题 D.命题“若x
10、21，则x1”的逆否命题,解析 对A，即判断：若x|y|，则xy的真假，显然是真命题.,1,2,3,4,5,3.给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则它的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0,解析 原命题是真命题，因为幂函数的图像不过第四象限，反过来，图像不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题；根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.,1,2,3,4,5,4.证明“若x2y22，则xy2”时，可以转化为证明 A.若xy2，则x2y22 B.若xy2，则x2y22 C.若x2y22，则xy2 D.若xy2，则x2y22,解析 由于原命题与其逆否命题的真假性相同， 所以可以转化为证明“若xy2，则x2y22”， 故选B.,1,2,3,4,5,则x2或y1，真命题， 其逆命题是真命题， 又原命题为真命题， 其逆否命题是真命题.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.四种命题之间的相互关系,2.互为逆否的命题真假性相同 在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.,
