1、第 1 页 共 5 页 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n的圆心角所对的弧长和扇形面积 的计算公式，并应用这些公式解决问题； 2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问 题； 3. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、弧长公式弧长公式 半径为 R 的圆中 360的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点诠释：要点诠释： (1)对于弧
2、长公式，关键是要理解 1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的表示 1圆心角的倍数，故和 180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求 出第三个量. 要点二、要点二、扇形面积公式扇形面积公式 1.1.扇形的定义扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.2.扇形面积公式扇形面积公式 半径为 R 的圆中 360的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释：要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1的扇形面积是圆面
3、积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量 就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式， 可根据题目条件灵活选择使用， 它与三角形面积公式有点 类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 要点三、要点三、圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积 第 2 页 共 5 页 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为 ，底面半径为 r，侧面展开图中的扇形圆心角为 n，则 圆锥的侧面积 2 360 l Srl 扇 n =， 圆锥的全面积. 要点诠释：要点诠释： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就
4、是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求 展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 【典型典型例题】例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算类型一、弧长和扇形的有关计算 1如图（1） ，AB 切O 于点 B，OA=2 3，AB=3，弦 BCOA，则劣弧BC的弧长为（ ） A 3 3 B 3 2 C D 3 2 图（1） 【答案】A. 【解析】连结 OB、OC，如图（2） 则0OBA9，OB=3，0A3，0AOB6， 由弦 BCOA 得60OBCAOB， 所以OBC 为等边三角形，0BOC6. 则劣弧BC的弧长为 6033 = 1803 ，故选 A. 图（2） 【总结升华】主要
5、考查弧长公式：. 举一反三：举一反三： 【变式变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直 长度，即的长(结果精确到 0.1mm) C B A O 第 3 页 共 5 页 【答案】R=40mm，n=110 的长=76.8(mm) 因此，管道的展直长度约为 76.8mm 2如图，O 的半径等于 1，弦 AB 和半径 OC 互相平分于点 M.求扇形 OACB 的面积（结果保留） 【答案与解析】弦 AB 和半径 OC 互相平分， OCAB， OM=MC= OC= OA B=A=30， AOB=120 S扇形= 【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计
6、算公式. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图（1） ，在ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E， 交 AC 于 F，点 P 是A 上的一点，且EPF=40，则图中阴影部分的面积是（ ） A 4 4 9 B 8 4 9 C 4 8 9 D 8 8 9 图（1） 【答案】连结 AD，则 ADBC， A E B D C F P 第 4 页 共 5 页 ABC 的面积是： BCAD= 42=4， A=2EPF=80 则扇形 EAF 的面积是： 2 8028 =. 3609 故阴影部分的面积=ABC 的面积-扇形 EAF 的面积= 8 4-
7、9 图（2） 故选 B 类型二、圆锥面积的计算类型二、圆锥面积的计算 3小红为了迎接圣诞节而准备做一顶圣诞帽如图所示，圆锥的母线长为 26cm，高 24cm， 求它的底面半径及做这样一顶帽子需要的布料面积(接缝忽略不计) 【答案与解析】 如图所示，在 RtSOA 中， 2222 2624 cm10cmrSASO 即圆锥底面半径为 10cm，做这样的圣诞帽需布料 Rr=260cm 2 【总结升华】本题考查的是圆锥母线 R，高 h，底面半径 r 三者的关系，及利用圆锥侧面积解决实际问 题的方法根据圆锥母线 R，高 h，底面半径 r 的关系，可求 22 rRh，所需布料即为圆锥侧面积 Rr 类型三、组合图形面积的计算类型三、组合图形面积的计算 4如图所示，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是 R，油面高为 3 2 R，求截面上有油的弓形(阴影 部分)的面积 【答案与解析】 第 5 页 共 5 页 如图所示，作 OCAB，交 AB 于 D，交O 于 C 1 2 CDR， 1 2 ODR， AOB2COB120，AB2BD 3 23 2 RR， 阴影部分面积为 2 2 2401123 3 3602234 R RRR 【总结升华】弓形的面积是扇形面积加上三角形的面积.
