1、第 1 页 共 6 页 用函数观点看一元二次方程用函数观点看一元二次方程巩固练习巩固练习（提高）（提高） 【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1. 若二次函数 2 41yaxxa的最大值为 2，则 a 的值是（ ） A.4 B.-1 C.3 D.4 或-1 2已知函数 2 (3)21ykxx的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk4 Ck4 且 k3 Dk4 且 k3 3方程 2 1 23xx x 的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4如图所示的二次函数 2 yaxbxc(a0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： (1) 2
2、40bac；(2)1c；(3)20ab ；(4)0abc 你认为其中错误的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D1 个 5方程 2 2 52xx x 的正根的个数为( ) A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 6已知一元二次方程 2 0axbxc(a0)的两个实数根 1 x、 2 x满足 12 4xx和 12 3xx 那么二 次函数 2 0axbxc(a0)的图象有可能是（ ） 二、填空题二、填空题 7 已知二次函数 22 (21)44yxmxmm的图象的顶点在 x 轴上，则 m 的值为 8如图所示，函数 y(k-8)x 2-6x+k 的图象与 x 轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为
3、第 2 页 共 6 页 第 8 题 第 9 题 9已知二次函数 2 yaxbxc(a0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关 于 x 的一元二次方程 2 0axbxc的两个根分别为 1 1.3x 和 2 x _ 10已知二次函数 22 2(1)2yxmxmm 的图象关于 y 轴对称，则此图象的顶点 A 和图象与 x 轴 的两个交点 B、C 构成的ABC 的面积是_ 11抛物线 2 yaxbxc（a 0）满足条件： （1）40ab； （2）0abc； （3）与x轴有两个交 点，且两交点间的距离小于 2以下有四个结论：0a ；0c ；0abc； 43 cc a， 其中
4、所有正确结论的序号是 12一元二次方程 x 2+(k-1)x+1=0 的一根大于 2，一根小于 2，则 k 的取值范围是 . 三、解答题三、解答题 13已知抛物线 2 1 2 yxxk与 x 轴有两个不同的交点 (1)求 k 的取值范围； (2)设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的左侧，点 D 是抛物线的顶点，如果ABC 是等腰 直角三角形，求抛物线的解析式 14如图所示，已知直线 1 2 yx 与抛物线 2 1 6 4 yx 交于 A、B 两点 (1)求 A、B 两点的坐标； (2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在 A、B 两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线
5、 AB 上方的抛物线上移动，动点 P 将与 A、B 两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积 最大的三角形？如果存在，指出此时 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由 15已知抛物线的顶点 P(3，-2)且在 x 轴上所截得的线段 AB 的长为 4. (1)求此抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点 Q，使QAB 的面积等于 12，若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由. 第 3 页 共 6 页 【答案与解析答案与解析】 一、选择题一、选择题 1.【答案】B； 【解析】 2 41yaxxa的最大值为 2， 0a且 2 4 (1)4 2 4 a a y a ，解得1a（4
6、a舍去） 故选 B 2.【答案】B； 【解析】当30k 时是一次函数，即 k=3 函数图象与 x 轴有一个交点； 当 k-30 时此函数为二次函数，当 2 24(3)k0，即 k4 且 k3 时，函数图象与 x 轴有交点 综上所述，当 k4 时，函数图象与 x 轴有交点，故选 B 3.【答案】A； 【解析】将判断这个方程的根的情况转化为判断函数 2 23yxx与 1 y x 的图 象（如图）的公共点的情况. 4.【答案】D； 【解析】由图象可知，抛物线与 x 轴有两个交点， 2 40bac，故(1)正确；又抛物线与 y 轴的交点在(0，1)下方， c1，故(2)不正确；抛物线的对称轴在-1 与
7、 0 之间，即1 2 b a ， 又0a， 2ba，即20ab ，故(3)正确； 当1x ，函数值小于 0， a+b+c0，故(4)正确 5.【答案】B； 【解析】不妨把方程化为抛物线 2 1 52yxx 与双曲线 2 2 y x ，分别画出函数图象草图如图所示 根据题意知，两函数图象交点的横坐标即是方程 2 2 52xx x 的解，方程有正根，即交点横 坐标为正数因在 x0 的范围内，两函数的图象有两个交点，即方程正根有两个，故应选 B 6.【答案】C； 【解析】由方程 2 0axbxc(a0)的两个实数根 1 x， 2 x满足 12 4xx， 12 3xx 得 1 1x ， 2 3x ，对
8、称轴为 x2，故 C 正确 二、填空题二、填空题 第 4 页 共 6 页 7 【答案】 3 4 m ； 【解析】即抛物线与 x 轴有唯一公共点，由0 可求 3 4 m . . 8 【答案】 1 ,0 3 ； 【解析】 函数 2 (8)6ykxxk的图象与 x 轴只有一个公共点， 方程 2 (8)60kxxk有两个相等的实数根 2 ( 6)4(8)0kk解得 k9 或 k-1 又 图象开口向下， k-80，即 k8 k-1即(-1-8)x 2-6x-10 解得 12 1 3 xx 所以函数 2 (8)6ykxxk的图象与 x 轴的交点坐标为 1 ,0 3 9 【答案】-3.3； 【解析】观察图象
9、可知，抛物线的对称轴是1x， 1 x到对称轴的距离为 1 ( 1)1.3 12.3x ，又 因为 2 x到对称轴的距离为 2.3，所以 2 1 2.33.3x 10 【答案】1； 【解析】依题意有 2(m-1)0，即 m1，所以二次函数为 2 1yx ，令 y0，得 x1 所以 B(-1，0)，C(1，0)，BC2，A(0，1)， 1 2 11 2 ABC S 11 【答案】； 【解析】由条件（1）40ab得到抛物线的对称轴为直线2x ； 由条件（2）0abc得到1x 时的函数值为正； 由条件（3）“与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于 2 得到抛物线与x轴的两个交点位于点( 3,0)与 (
10、 1,0)之间， 从而得到抛物线的示意图如右 由此可知0a ，0b ，0c ，0abc， 所以、错误，正确 对于，由“2x 时的函数值为负”及40ab可知 4 c a ； 由“1x 时的函数值为正”及40ab可知 3 c a ，所以正确 12 【答案】 3 2 k； 【解析】方程一根大于 2，一根小于 2抛物线 y=x 2+(k-1)x+1 与 x 轴的两个公共点分布在点(2，0) 的两侧，由于抛物线开口向上， 当 x=2 时，y0，即 2 2+2(k-1)+10 第 5 页 共 6 页 三、解答题三、解答题 13.【答案与解析】 (1)由题意，得 2 1 ( 1)41 20 2 kk ， 1
11、 2 k ，即 k 的取值范围是 1 2 k (2)设 1 ( ,0)A x， 2 (,0)B x，则 12 2xx， 12 2x xk 21 |4 82 1 2ABxxkk 2 1 4( 1) 211 2 1 22 4 2 D k k yk ，又ABD 是等腰直角三角形， 1 | 2 D yAB，即 1 1 2 2 kk 解得 1 3 2 k ， 2 1 2 k 又 1 2 k ， 2 1 2 k 舍去 抛物线的解析式是 2 13 22 yxx 14.【答案与解析】 （1）依题意得 2 1 6, 4 1 , 2 yx yx 解之 1 1 6, 3, x y 2 2 4, 2, x y 所以(
12、6, 3)A，( 4,2)B （2）存在因为 AB 所在直线的方程 1 2 yx ，若存在点 P 使APB 的面积最大，则点 P 在 与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线 1 2 yxm 上设该直线分别与 x 轴、 y 轴交于 G、H 两点， 如图，联立 2 1 , 2 1 6, 4 yxm yx 得 2 11 (6)0 42 xxm，因为抛物线与直线只有一个 交点， 第 6 页 共 6 页 所以 2 11 4(6)0 24 m ， 25 4 m ，所以 2 125 , 24 1 6, 4 yx yx 解得 1, 23. 4 x y 所以 23 1, 4 P 15.【答案与解析】 (1)由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2) 设抛物线的解析式为 y=a(x-3) 2-2 且对称轴为 x=3，由抛物线的对称性可知， 当抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4 时，则点 A、点 B 到直线 x=3 的距离均为 2 A(1，0)，B(5，0)，a(1-3) 2-2=0，解得 . (2)假定存在点 Q(m，n)，使 SQAB=12， ， 又 当 n=6 时，解得 m1=-1，m2=7 当 n=-6 时，无实根 Q(-1，6)或(7，6)为所求.
