1、第 1 页 共 12 页 二元一次方程组二元一次方程组全章复习与巩固全章复习与巩固（提高提高）知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1.了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的（数字系数） ；能根据具体问题中的数 量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性. 2.二元一次方程组的图像解法，初步体会方程与函数的关系. 3.了解解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问 题为简单问题的划归思想. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、二元一次方程组的相关概念要点一、二元一次方程组的相关概念 1.1. 二元一次方程
2、的定义二元一次方程的定义 定义：定义：方程中含有两个未知数（x和y） ，并且未知数的次数都是 1，像这样的方程叫 做二元一次方程. 要点诠释：要点诠释： （1）在方程中“元”是指未知数， “二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2） “未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.2.二元一次方程的解二元一次方程的解 定义：定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：要点诠释： 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来， 第 2 页 共 12 页
3、即二元一次方程的解通常表示为 b a y x 的形式. 3. 3. 二元一次方程组的定义二元一次方程组的定义 定义：定义： 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起， 就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组 345 2 xy x . 要点诠释：要点诠释： （1）它的一般形式为 111 222 a xb yc a xb yc （其中 1 a， 2 a， 1 b， 2 b不同时为零） （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方 程组 （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思 4. 4. 二
4、元一次方程组的解二元一次方程组的解 定义：定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：要点诠释： （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数 值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组 解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 62 52 yx yx 无 解，而方程组 222 1 yx yx 的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法要点二、二元一次方程组的解法 1.1.解二元一次方程组的思想解
5、二元一次方程组的思想 转化 消元 一元一次方程二元一次方程组 2.2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1 1）用代入消元法用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：解二元一次方程组的一般过程： 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示 y（或x） ，即变成baxy（或bayx）的形式； 将baxy（或bayx）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x） ，得到一个关于x（或y）的一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出x（或y）的值； 第 3 页 共 12 页
6、把x（或y）的值代入baxy（或bayx）中，求y（或x）的值； 用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 要点诠释：要点诠释： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单 或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点， 寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用 含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这 种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运 算简便，提高运算速度及准确率
7、. （2 2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 0 的数，等式仍然成立”的性质，将 原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； 根据 “等式两边加上（或减去） 同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质， 将变形后的两个方程相加（或相减） ，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； 将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点诠释：要点诠释： 当方程组中有一个未知数的系数
8、的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时， 用加减消 元法较简单. （3 3）图像法解二元一次方程组的一般过程）图像法解二元一次方程组的一般过程： 把二元一次方程化成一次函数的形式 在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点 交点坐标就是方程组的解 要点诠释：要点诠释： 二元一次方程组无解一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解一次函数的图像重合（有无数个交点） 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解， 要得到准确解， 一般还是用代入消元法和加减 消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函
9、数表达式 联立的二元一次方程组的解. 要点三、实际问题与二元一次方程组要点三、实际问题与二元一次方程组 第 4 页 共 12 页 要点诠释：要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的 结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2） “设” 、 “答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、二元一次方程（组）与一次函数要点四、二元一次方程（组）与一次函数 1.1.二元一次方程与一次函数的关系二元一次方程与一次函数的关系 （ 1 ） 任 何 一 个 二 元 一 次 方 程(0,)axbyc
10、 abc、为常数都 可 以 变 形 为 -(0,) ac yxabc bb 、为常数即为一个一次函数， 所以每个二元一次方程都对应一个一 次函数. （2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5xy我们列举出它的 几组整数解有 0, 5; x y 5, 0; x y 2, 3 x y ， 我们发现以这些整数解为坐标的点 （0， 5） ， （5， 0） ， （2，3）恰好在一次函数y5x的图像上，反过来，在一次函数xy 5的图像上任 取一点，它的坐标也适合方程5xy. 要点诠释：要点诠释： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的
11、二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 2. 2. 二元一次方程组与一次函数二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看， 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形” 的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 3.3.用二元一次方程用二元一次方程组确定一次函数表达式组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而 得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所
12、求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 要点五、三元一次方程组要点五、三元一次方程组 1 1定义：定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做三元一次方程； 含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像 这样的方程组叫做三元一次方程组. 412, 325, 51, xyz xyz xyz 273, 31, 34 ab ac bc 等都是三元一次方程组. 第 5 页 共 12 页 要点诠释：要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （
13、1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2 2三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知 数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个 未知数解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中 的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3） 将求得的两个未知数的值代入原方程组
14、中的一个系数比较简单的方程， 得到一个一元 一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“”合写在一起 要点诠释：要点诠释： （1） 有些特殊的方程组可用特殊的消元法， 解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法 （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入 原方程组里的每一个方程中， 看每个方程的左右两边是否相等， 若相等， 则是原方程组的解， 只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解 3. 3. 三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤：列三元一次方程组解应用题
15、的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知 数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称) 要点诠释：要点诠释： (1)解实际应用题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果 是否合理，不符合题意的应该舍去 (2)“设” 、 “答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一 (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组 【典型例题】【典型例题】 类型一、类
16、型一、二元一次方程组的相关概念二元一次方程组的相关概念 1.在下列方程中，只有一个解的是（ ） A. 1 330 xy xy B. 1 332 xy xy C. 1 334 xy xy D. 1 333 xy xy 【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案 【答案】C. 【解析】选项 A、B、D 中，将方程1xy，两边同乘以 3 得333xy，从而可以判断 A、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而 D 中两个方程实际是一个二元一次方 第 6 页 共 12 页 程，所以有无数组解，排除法得正确答案为 C. 【总结升华】在 111 222 a xb yc a xb yc （
17、其中 1 a， 2 a， 1 b， 2 b均不为零）， （1）当 121 222 aac abc 时，方程组无解；（2）当 121 222 aac abc ，方程组有无数组解； （3）当 12 22 aa ab ，方程组有唯一解 举一反三：举一反三： 【变式 1】若关于x、y的方程12 m mxy是二元一次方程，则m = 【答案】1 【变式2】 已知方程组 5 31 xy axyb 有无数多个解，则a、b 的值等于 【答案】a3，b14 类型二、类型二、二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法 2.解方程组 2 ()5 3 35 ()3 22 xyy xyy 【思路点拨】本题结构比较复杂，一般
18、应先化简，再消元仔细观察题目，不难发现，方程 组中的每一个方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一个整体，消去(x-y)可得到一个关 于 y 的一元一次方程 【答案与解析】 解：由9 得：6(x-y)+9y45 4 得：6(x-y)-10y-12 -得：19y57， 解得 y3 把 y3 代入，得 x6 所以原方程组的解是 6 3 x y 【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方 程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果 举一反三：举一反三： 【变式】(换元思想)解方程组 1 610 5 610 xyxy xyxy
19、第 7 页 共 12 页 【答案】 解：设 6 xy m ， 10 xy n 则原方程组可化为 1 5 mn mn ，解得 3 2 m n 所以 3 6 2 10 xy xy 即 18 20 xy xy 1 19 x y 3.方程2311xyxy的整数解的个数是 【思路点拨】把 1 表示成两个非负整数的和，这两个数只能是 1 与 0，于是一个方程裂变为 多个方程组，通过解方程组来求解的个数 【答案】2 组 【解析】 解：由条件得 230 11 xy xy 或 231 10 xy xy 即 230 11 xy xy 或 231 10 xy xy 即 230 11 xy xy 或 230 11 x
20、y xy 或 231 10 xy xy 或 231 10 xy xy ， 解得， 1 1 x y 或 1 3 5 3 x y 或 2 3 5 3 x y 或 0 1 x y 【总结升华】根据已知条件构造出方程组，再选择恰当方法求得方程组的解，然后再所求得 出答案 举一反三：举一反三： 类型三类型三、实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组 4.已知：用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满货物一次可运货 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满货物一次可运货 11 吨某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车
21、都载满货物 根据以上信息，解答下列问题： 第 8 页 共 12 页 （1）1 辆 A 型车和 1 辆车 B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若 A 型车每辆需租金 100 元/次，B 型车每辆需租金 120 元/次请选出最省钱的租车 方案，并求出最少租车费 【答案与解析】 解： （1）设每辆 A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货 x 吨、y 吨，依题意列方程组 得： 210 211 xy xy ，解得： 3 4 x y . 答：1 辆 A 型车装满货物一次可运 3 吨，1 辆 B 型车装满货物一次可运 4 吨 （2）结合题意和（1）得：
22、3a+4b=31， 314 3 b a a、b 都是正整数 951 147 aaa bbb 或或 答：有 3 种租车方案： 方案一：A 型车 9 辆，B 型车 1 辆； 方案二：A 型车 5 辆，B 型车 4 辆； 方案三：A 型车 1 辆，B 型车 7 辆 （3）A 型车每辆需租金 100 元/次，B 型车每辆需租金 120 元/次， 方案一需租金：9100+1120=1020（元） 方案二需租金：5100+4120=980（元） 方案三需租金：1100+7120=940（元） 1020980940 最省钱的租车方案是方案三：A 型车 1 辆，B 型车 7 辆，最少租车费为 940 元 【总
23、结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数 举一反三：举一反三： 【变式】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下： 甲班分两次共购买苹果 70 千克(第二次多于第一次)，共付出 189 元，而乙班则一次购买苹 果 70 千克。 (1)乙班比甲班少付出多少元？ (2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 【答案】 解： （1）189 70 249 （元） 答：乙班比甲班少付出 49 元 （2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果x、y千克，则依据题意得： 当030x，3050y，则有： 第 9 页 共 12 页 70 32.5189 xy xy ，解得： 28 42 x y ，经检验满足题意
24、； 当030x，50y ，则有： 70 32189 xy xy ，解得： 49 21 x y ，经检验不满足题意； 当3050x，3050y，则有：2.5 70175189，不满足题意 答：甲班第一次购买苹果 28 千克，第二次购买 42 千克 类型四、二元一次方程（组）与一次函数类型四、二元一次方程（组）与一次函数 5.在同一坐标系中画出函数 y=2x+1 和 y=2x+1 的图象，并利用图象写出二元一次方 程组的解 【答案与解析】 解：如图，两直线的交点坐标为（0，1） ， 所以，方程组的解是 【总结升华】 本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系， 函数图象交点坐标即为方程组 第 10
25、页 共 12 页 的解 6. 甲车以某一速度沿公路从 A 地匀速驶往 B 地，到达 B 地停留 m 小时后，立即以原速 沿原路匀速返回 A 地， 共用 11 小时 甲车出发一段时间后， 乙车沿同一条公路以每小时 120 千米的速度从 A 地匀速驶往 B 地， 甲车从 A 地出发 9 小时后， 两车在距离 A 地 160 千米处相 遇，甲车回到 A 地的同时乙车到达了 B 地如图所示的折线是甲车离 A 地的距离 y1（千米） 与行驶时间 x（小时）之间的函数图象 （1）求乙车离 A 地的距离 y2（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数关系式，并在同一 坐标系中画出其函数图象； （2）求 m 的
26、值 【思路点拨】 （1）设 y2=kx+b，根据题意可得当 x=9 时，y=160，当 x=10 时，y=160+120=280， 然后利用待定系数法求一次函数解析式，再求出 x=11 时的 y 值，然后作出图形即可； （2）先求出甲车的速度，再求出甲车往返两地的时间，然后求解即可 【答案与解析】 解： （1）设 y2=kx+b（k0） ， 当 x=9 时，y=160， 乙车以 120 千米/小时的速度从 A 地匀速驶往 B 地， 当 x=10 时，y=160+120=280， ， 解得， y2=120x920， 甲车回到 A 地的同时乙车到达了 B 地，当 x=11 时，y2=400 故点
27、D（11，400）在函数图象上，函数图象见图； （2）由题意知，甲车的速度为 160（119）=80km/h， 往返共用 400280=10h， 所以 m=1110=1h 第 11 页 共 12 页 【总结升华】 本题考查了一次函数的应用， 主要利用了待定系数法用二元一次方程组确定一 次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是 解题的关键 类型类型五五、三元一次方程组三元一次方程组 7.现有面值为 2 元、1 元和 5 角的纸币共 24 张，币值共计 29 元，其中面值为 2 元的 比 1 元的少 6 张，求三种面值各多少张？ 【思路点拨】此题有三个未知数
28、：面值分别为 2 元、1 元、5 角的纸币的张数，相等关系： （1）面值为 2 元、1 元和 5 角的纸币共 24 张； （2）24 张纸币的币值共计 29 元； （3）面值为 2 元的比 1 元的少 6 张. 【答案与解析】 解：设面值为 2 元、1 元和 5 角的纸币分别为x张、y张和z. 依题意，得 24, 1 229, 2 6. xyz xyz xy 把分别代入和，得 218, 1 323. 2 xz xz 2，得646,xz ，得428x ，7x . 把x7代入，得13y . 把7,13xy代入，得4z . 所以方程组的解是 7, 13, 4. x y z 答：面值为 2 元、1 元和 5 角的纸币分别为 7 张、13 张和 4 张. 第 12 页 共 12 页 【总结升华】列方程时，单位要统一，如本题中的 5 角要化为 1 2 元. 举一反三：举一反三： 【变式】解方程组 2 1, 399 3 35, 22 24 31. 33 xz y yz x yz x 【答案】 解：各方程去分母，整理得 329, 6310, 9243. xyz xyz xyz 由，得392xyz， 把分别代入、并整理成方程组，得 58, 8730. yz yz 解这个方程组，得 2, 2. y z 将y、z值代入求得1x . 所以方程组的解是 1, 2, 2. x y z
