1、20202020 届届山东省烟台市山东省烟台市新高考新高考数学数学模拟模拟试题试题 一、单项选择题 1、已知集合 1 |24 4 x Ax ， 1 |lg 10 By yx x , ，则AB( ) A.2 2, B.(1 ), C.( 12 , D.(12() , 2、设 i 是虚数单位，若复数 5i 2i ()aa R是纯虚数，则a的值为( ) A.3 B.3 C.1 D.1 3、”2a ”是” 1 0,xax x ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示. 甲同学成绩的中位数大
2、于乙同学成绩的中位数; 甲同学的平均分比乙同学的平均分高; 甲同学的平均分比乙同学的平均分低; 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是( ) A. B. C. D. 5、刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一 他在割圆术中提出的,”割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所 失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形 等分成 n 个等腰三角形(如图所示)， 当 n 变得很大时， 这 n 个等腰直角三角形的面积之和近 似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到sin2的
3、近似值为( ) A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 6、函数 2 2xf xa x 的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是（ ） A. 1,3 B. 1,2 C. 0,3 D. 0,2 7、已知圆 22 :20(0)M xyaya截直线 0xy 所得线段的长度是2 2，则圆与圆 22 :(1)(1)1Nxy的位置关系是( ) A 内切 B 相离 C 外切 D 相交 8、九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧 棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 111 ABCABC 中，ACBC， 1 2AA ，当阳马 11 BACC A 体积的最大值
4、为 4 3 时，堑堵 111 ABCABC 的外接球的体积为( ) A. 4 3 B. 8 2 3 C. 32 3 D. 64 2 3 二、多项选择题二、多项选择题 9、下列函数中,既是偶函数,又在(0,)上单调递增的是( ) A. 2 ln( 193 )yxx B.ee xx y C. 2 1yx D.cos3yx 10、已知 2 1 () (0) n axa x 的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等,且展开式的各项 系数之和为 1024,则下列说法正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B. 展开式中第 6 项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中
5、含 15 x项的系数为 45 11、在ABC中,D 在线段AB上,且5,3ADBD若 5 2,cos 5 CBCDCDB ,则( ) A. 3 sin 10 CDB B.ABC的面积为 8 C.ABC的周长为84 5 D.ABC为钝角三角形 12、如图,在四棱锥PABCD中,PC 底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形, / /,222ABCD ABAD ABADCD,F 是AB的中点,E 是PB上的一点,则下列说法正 确的是( ) A.若2PBPE,则/ /EF平面PAC B.若2PBPE,则四棱锥PABCD的体积是三棱锥EACB体积的 6 倍 C.三棱锥PADC中有且只有三个面是直角三角形
6、 D.平面BCP 平面ACE 三、填空题。三、填空题。 13、已知向量(2,)am，(1, 2)b ，且ab，则实数m的值是_. 14、 已知数列 n a的前n项和公式为 2 21 n Snn ， 则数列 n a的通项公式为 15、已知 双 曲 线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点和点2 ,Pa b为某个等腰三角形 的三个顶点，则双曲线C 的离心率为_. 16、设定义域为 R R 的函数( )f x满足( )( )fxf x，则不等式 1 ( )(21) x ef xfx 的解集 为_ 四、解答题。四、解答题。 17、已知函数 2 ( )1 2 3sin cos2c
7、osf xxxxm 在 R 上的最大值为 3 (1)求 m 的值及函数 f x的单调递增区间 (2)若锐角ABC中角 A、B，C 所对的边分别为 a、b、c，且 0f A ，求 b c 的取值范围 18、已知数列 n a 的前n项和2 38 n Snn ， n b 是等差数列，且 1nnn abb . （1）求数列 n b 的通项公式； （2）令 1 1 2 n n n n n a c b ，求数列 n c的前n项和 n T. 19、 如图， 已知四棱锥PABCD的底面是等腰梯形，/AD BC，2AD，4BC ，60ABC， PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E
8、在线段BC上， 且:1:3CE EB . (1)求证:DE 平面PAD. (2)求二面角APCD的余弦值. 20、某单位准备购买三台设备，型号分别为, ,A B C已知这三台设备均使用同一种易耗品,提 供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为 100 元,也可 以在设备使用过程中， 随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为 200 元.为了决策在购买设 备时应週肘购买的易耗品的件数.该单仿调查了这三种型号的设备各 60 台， 调査每台设备在 一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示. 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8 型号 4 30 30 0
9、频数 型号 B 20 30 10 型号 C 0 45 15 将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. (1)求该单位一个月中, ,A B C三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率； (2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同 时购买 20 件还是 21 件易耗品？ 21、已知直线1xy过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点，且交椭圆于A,B两点，线段 AB的中点是 2 1 , 3 3 M ， (1)求椭圆的方程; (2)过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面 积
10、的最大值. 22、已知函数 2 ln1 2 a f xxxxb，,Ra b. (1) 当-1b 时，讨论函数 f x的零点个数； (2) 若 f x在0,上单调递增，且 2a b ce 求c的最大值. 20202020 届届山东省烟台市山东省烟台市新高考新高考数学数学模拟模拟试题试题 答案答案 1-5:CDAAA 6-8:CBB 9.BC 10.BCD 11.BCD 12.AD 13. 1 14. 21 432 n n a nnn N且 15. 102 2 16.1, 17.（1） 13sin21 cos2f xxxm 3sin2cos22sin 2 6 xxmxm 由已知23m，所以1m因此
11、 2sin 21 6 f xx 令 3 2 22 , 262 kxkkZ 得 2 , 63 kxkkZ 因此函数 f x的单调递增区间为 2 +, 63 kkkZ ， （2）由已知 2sin 210 6 A 1 sin 2 62 A 由 0 2 A得 7 2 666 A，因此 5 2 66 A 所以 3 A ， 1 sin 3cossin sin313 2 sinsinsin2tan2 C CC bB cCCCC 因为为锐角三角形ABC，所以 0 2 2 0 32 C BC ，解得 62 C 因此 3 tan 3 C ，那么 1 2 2 b c 18.（1）由题意知，当 2n 时， 1 65
12、nnn aSSn ， 当 1n时， 11 11aS ，所以 65 n an . 设数列 n b 的公差为 d.由 112 223 abb abb 即 1 1 112 1723 bd bd 可解得 1 43bd， ，所以 31 n bn . （2）由（1）知 1 1 66 312 33 n n n n n cn n . 又 12nn ccTc ，得231 32 22()3 21 n n Tn ， 34 32 23 22() 12 n n Tn 2 两式作差，得23412 32 2222(21) n nn Tn 22 4 12 341232 12 n nn nn ，所以2 32n n Tn . 1
13、9.(1)在等腰梯形ABCD中， Q点 E 在线段BC上，且 :1:3CE EB ， 点 E 为BC上靠近 C 点的四等分点 由平面几何知识可得DEAD. Q点 P 在底面ABCD上的射影为AD的中点 G，连接PG， PG平面ABCD. DE Q平面ABCD，PGDE. 又ADPGG，AD 平面PAD，PG 平面PAD. DE平面PAD. (2)取BC的中点 F，连接GF，以 G 为原点，GA所在直线为 x 轴，GF 所在直线为 y 轴， GP所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图. 由(1)易知，DECB，1CE . 又60ABCDCB ，3DEGF. 2AD Q，PAD为等边三角形，
14、 3PG . 则 ()000G, ， ()100A , ， 0()10D , ，()003P ,，0()23C ,. ( 33 )0AC uuu r ,，( 1)03AP uuu r ,，( 1)3 0DC uuu r ,，(1)03DP uuu r , , 设平面APC的法向量为 111 ( ,)x y zm， 则 0 0 AC AP uuu r uuu r m m ，即 11 11 330 30 xy xz ， 令 1 3x ，则 1 3y ， 1 1z ， 1)3( 3,m. 设平面DPC的法向量为 222 ,(),xy zn， 则 0 0 DC DP uuu r uuu r n n ，
15、即 22 22 30 30 xy xz . 令 2 3x ，则 2 1y ， 2 1z ， 1)1( 3,n. 设平面APC与平面DPC的夹角为 ，则 33 162 cos 13135 m n mn 二面角APCD 的余弦值为6 5. 20. (1)由题中的表格可知 A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 6 和 7 的频率均为 301 602 B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 6,7,8 的频率均为 301 301 101 , 602 602 606 C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 7 和 8 的频率均为 453 151 , 604 604 设该单位一个月中, ,A B C三台
16、设备使用易耗品的件数分别为, ,x y z,则 1 (6)(7) 2 P xP x, 11 (6), (7) 32 P xP x, 131 (8), (7), (8) 644 P yP zP z 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为 X 则(21)(22)(23)P XP XP X 而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P XP xyzP xyzP xyz 1111111137 26422426448 1111 (23)(7,8,8) 26448 P XP xyz 故 711 (21) 48486 P X 即该单位一个月中, ,A B C三台设备使用的易耗品总数超过 2
17、1 件的概率为 1 6 (2)以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131 (19)(6,6,7) 2348 P XP xyz (20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P XP xyzxyzP xyz 11111311317 23422423448 (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P XP xyzxyzP xyzP xyz 11111311111317 22426423422448 由(1)知, 71 (22), (23) 4848 P XP X 若该单位在肋买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用
18、 为 1 Y元,则 1 Y的所有可能取值为2000,2200,2400,2600 1 11723 (2000)(19)(20) 84848 P YP XP X 1 17 (2200)(21) 48 P YP X 1 7 (2400)(22) 48 P YP X 1 1 (2600)(23) 48 P YP X 1 231771 20002200240026002142 48484848 EY 若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用 为 2 Y元,则 2 Y的所有可能取值为2100,2300,2500 2 117175 (2100)(19)(20)(2
19、1) 848486 P YP XP XP X 2 7 (2300)(22) 48 P YP X 2 1 (2500)(23) 48 P YP X 2 571 2100230025002138 64848 EY 21 EYEY,所以该单位在购买设备时应该购买 21 件易耗品 21.(1)直线1xy与 x 轴交于点(1,0 ),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0 ),故1c . 设 1122 ,A x yB x y,则 1212 42 , 33 xxyy， 21 21 1 yy xx ， 又 2222 1122 2222 1,1 xyxy abab ，所以 2222 2121 22 0 xxyy ab
20、 ， 则 21212121 22 0 xxxxyyyy ab ，得 22 2ab 又 222, 1abc c， 所以 22 2,1ab， 因此椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. (2)联立方程，得 2 2 1 2 1 x y xy ，解得 0 1 x y 或 4 3 1 3 x y . 不妨令 41 0,1 , 33 AB ,易知直线 l 的斜率存在， 设直线: l ykx，代入 2 2 1 2 x y，得 22 212kx， 则 2 2 21 x k 或 2 2 21k ， 设 3344 ,C x yD x y,则 2 3 22 4 222 2 212121kk x k x 。 则 22
21、 34 2 2 2 11 21 CxxDkk k ， 41 0,1 , 33 AB 到直线ykx的距离分别是 12 22 41 133 , 11 k dd kk ， 由于直线 l 与线段 AB（不含端点）相交，所以 41 010 33 kk ，即 1 4 k ， 所以 12 22 444 1 333 11 kk dd kk ， 四边形ACBD的面积 1212 2 1114 21 2223 21 k SCD dCD dCD dd k ， 令1kt ，则 3 4 t ， 22 21243ktt ， 2 22 2 4 24 24 21 332433 41243 23 tt S tt tt tt ，
22、当 12 3t ，即 1 2 k 时， min 4 214 3 24 16 33 12 S ， 符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为 4 3 3 . 22.(1)当-1b 时, 2 ln 2 a f xxxx,定义域为 0, 由 0f x 可得 ln 2 ax x , 令 ln x g x x , 则 2 1ln x gx x ， 由 0gx ,得0ex，由 0gx ,得ex ， 所以 g x在0,e上单调递增，在e,上单调递减， 则 g x的 最 大 值 为 1 e e g, 且当ex 时, 1 0 e g x ，当0ex时， 1 e g x ， 由此作出函数 g x的大致图象，如图所
23、示. 由图可知，当 2 0 e a时，直线 2 a y 和函数 g x的图象有两个交点，即函数 f x有两个 零点； 当 1 2e a 或 0 2 a ，即 2 e a 或0a 时，直线 2 a y 和函数 g x的图象有一个交点，即函数 f x有一个零点； 当 1 2e a 即 2 e a 时 ,直线 2 a y 与函数 g x的 象 没 有 交 点 ，即 函数 f x无零点. (2) f x在0,上单调递增，即 ln0fxaxbx在0,上恒成立. 设 lnh xaxbx，则 1 hxa x . 若0a ,则 0h x ， h x在0,上 单 调递减，显 然 ln0fxbx 在0,上不恒成立
24、， 若0a ,则 0h x ， h x在0,上单调递减， 当max,1 b x a 时, 0, ln0axbx ,故 0h x ， f x单调递减，不符合题意. 若 0a ，当 1 0x a 时， 0h x , h x单调递减， 当 1 x a 时 ， 0h x , h x单调递增, 所以 min 1 1lnh xhba a , 由 min0h x ,得221lnabaa ， 设 21 ln ,0m xxx x ，则 1 2mx x ， 当 1 0 2 x时 , 0m x , m x单调递减， 当 1 2 x 时, 0m x , m x单调递增， 所以 1 ln2 2 m xm ,所以2ln2ab, 又 2a b ce ,所以2c ,即c的最大值为2.
