1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 期末复习压轴题（1） 知识模块：知识模块：角度的不变性角度的不变性 本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解在动点下产生不变角的问题， 特别是外角定理 的运用在本节中非常重要 【例 1】如图，已知MON=90，点 A、B 分别在射线 OM、ON 上，OAB 的内角平分线与OBA 的 期末复习压轴题（1） 外角平分线所在的直线交于点 C （1） 试说明C 与O 的关系； （2） 当点 A、B 分别在射线 OM、ON 上移动时，试问C 的大小是否发生变化，若保 持不变，求出C 的大小；若发生变化，求出其变化范围 【答案】
2、（1）2C=O；（2）不变，为 45 【例 2】如图，在平面直角坐标系中，ABO 是直角三角形，AOB=90，斜边 AB 与 y 轴交于点 C （1） 若A=AOC，求证：B=BOC； （2） 延长 AB 交 x 轴于点 E，过 O 作 ODAB，且DOBEOB，OAEOEA， 求A 的度数； （3） 如图，OF 平分AOM，BCO 的平分线交 FO 的延长线于点 P，当AOB 绕 O 点旋转时（斜边 AB 与 y 轴正半轴始终交于点 C），在（2）的条件下，试问P 的度数是否发生变 化?若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由 【答案】（1）AOB 是直角三角形 A+B=90，AOC+BOC
3、=90 A=AOC，B=BOC （2）A+ABO=90，DOB+ABO=90 A=DOB，即DOB=EOB=OAE=OEA DOB+EOB+OEA=90 A=30 （3）P 的度数不变，P=25 AOM=90-AOC，BCO=A+AOC 又 OF 平分AOM，CP 平分BCO FOM=45- 1 2 AOC，PCO= 1 2 A+ 1 2 AOC P=180-（PCO+FOM+90）=45- 1 2 A=25 知识模块：旋转问题知识模块：旋转问题 A B C D M N O A B C D E x y O A B C P M F x y O A B C D E M H 旋转问题是七年级几何证明
4、中的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的关系是解决旋转类 问题的关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后的图形位置 【例 3】如图，正方形 OGHK 绕正方形 ABCD 中点 O 旋转，其交点为 E、F，求证：AE+CF=AB 【答案】ABCD 是正方形， OB=OC，BAO=BCO=45， 由题意可得，EOB=COF=90-BOF， EOBFOC， CF=BE， AB=AE+BE=AE+CF 【例 4】如图，在ABC形外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE，使90BAD， 90CAE，作AHBC于 H，延长 HA，交 DE 于 M，求证：DM = ME 【答案】作 DG
5、AE 交 AM 的延长线于点 G 90BADCAE， +180DAEBAC 又+180DAEGDA GDA=BAC DGAE DGA=EAM， 又AHBC， EAM+CAH=90=CAH+ACB DGA =ACB AD=AB， DGAACB， DG=AC=AE， DGMEAM， DM=ME 【例 5】在等边三角形 ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别由两点 M，N，D 为ABC外 一点，且60 ,120MDNBDC ，BD=CD探究：当点 M，N 分别在直线 AB，AC 上移动时， BM，NC，MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 A B C D E F
6、 G H K O A B C D E M H G （1） 如图 （1） ， 当点 M、 N 在边 AB、 AC 上， 且 DM=DN 时， BM、 NC、 MN 之间的数量关系是_； 此时_ Q L (2)如图（2） ，当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DMDN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗?写 出你的猜想并加以证明 （3）如图（3） ，当点 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若ANx，则 Q=_(用含 x、L 的式子表示) 【答案】（1）如图，BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN 此时 2 3 Q L （2）猜想：结论仍然成立 证明：延长 AC 至 E，使
7、 CE=BM，连接 DE BD=CD，且BDC=120， DBC=DCB=30又ABC 是等边三角形， MBD=NCD=90 在MBD 与ECD 中：BM=CE，MBD=ECD，BD=DC， MBDECD（SAS） DM=DE，BDM=CDE EDN=BDCMDN=60 在MDN 与EDN 中：DM=DE，MDN=EDN，DN=DN， MDNEDN（SAS） MN=NE=NC+BM AMN 的周长 Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM） =（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB A B C D（1） M N A B C D（2） M N C D（3） A B N M 而等
8、边ABC 的周长 L=3AB 2 3 Q L ； （3）如图，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x， 则 Q=2x+ 2 3 L（用 x、L 表示） 知识模块：构造全等类知识模块：构造全等类 本节主要针对常规图形， 添加合适的辅助线， 如截长补短、 倍长中线， 添加平行线等构造全等的三角形， 该类型题目综合性较强，考察同学们全等三角形判定和性质的综合运用能力 【例 6】数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点AEF=90，且 EF 交正方形外角DCG的平分线 CF 于点 F，求证：AE=EF经过思 考， 小明展示了一种正
9、确的解题思路： 取 AB 的中点 M， 连接 ME， 则 AM=EC， 易证AMEECF， 所以 AE=EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的 任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗?如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2） 小华提出： 如图 3， 点 E 是 BC 的延长线上 （除 C 点外） 的任意一点， 其他条件不变， 结论 “AE=EF” 仍然成立你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说
10、明理由 【答案】解： （1）成立 证明：在 AB 上取一点 M，使 AM=EC，连接 ME BM=BE，BME=45，AME=135， CF 是外角平分线，DCF=45，ECF=135， AME=ECF， AEB+BAE=90，AEB+CEF=90， A B C D E 图 2 F G A B C D E 图 1 F G A B C 图 3 D E F G BAE=CEF， AMEECF（ASA） ， AE=EF （2）正确 证明：在 BA 的延长线上取一点 N使 AN=CE，连接 NE BN=BE，N=NEC=45， CF 平分DCG，FCE=45，N=ECF， 四边形 ABCD 是正方形，
11、ADBE，DAE=BEA， 即DAE+90=BEA+90，NAE=CEF， ANEECF（ASA）AE=EF 【例 7】直线 CD 经过BCA 的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线 CD 上两点， 且BEC=CFA= （1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 图 1，若BCA=90，=90，则 EF_|BE-AF|（填“”， “”或“=”号） ； 如图 2，若 0BCA180，若使中的结论仍然成立，则 与BCA 应满足的关系是 _； M N 3 2 1 （2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，BCA=，请探究 EF、与 BE、AF
12、 三条线段的数 量关系，并给予证明 【答案】解： （1）=； 所填的条件是：+BCA=180， 证明：在BCE 中，CBE+BCE=180-BEC=180-， BCA=180-，CBE+BCE=BCA， ACF+BCE=BCA， CBE=ACF 又BC=CA，BEC=CFA， BCECAF（AAS） BE=CF，CE=AF， 又EF=CF-CE，EF=|BE-AF|； （2）EF=BE+AF 1+2+BCA=180，2+3+CFA=180 BCA=CFA，1=3； 又BEC=CFA=，CB=CA，BECCFA（AAS） ， BE=CF，EC=FA，EF=EC+CF=BE+AF A B C D
13、E F A B C D E F A B C D E F 图 1 图 2 图 3 【习题 1】用两个全等的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60角的三 角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB，AC 重合.将三 角尺绕点 A 按逆时针方向旋转 （1） 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时， （如图 1） ，通过 观察或测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论； （2） 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图 2） ， 你在（1）中得到的结论还成立吗?简
14、要说明理由 【答案】（1）BE=CF 证明：在ABE 和ACF 中， BAE+EAC=CAF+EAC=60，BAE=CAF AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA） BE=CF； （2）BE=CF 仍然成立 证明：在ACE 和ADF 中， CAE+EAD=FAD+DAE=60，CAE=DAF， BCA=ACD=60，FCE=60，ACE=120， ADC=60，ADF=120， 在ACE 和ADF 中， FADCAE ACAD ADFACE ， ACEADF，CE=DF，BE=CF 【习题 2】如图 17(1)，正方形 ABCD，E、F 分别为 BC、CD 边上一点 若EAF=45
15、，求证：EF=BE+DF； 若AEF 绕 A 点旋转，保持EAF=45，问CEF 的周长是否AEF 位置的变化而变化? （2）如图 17(2)，已知正方形 ABCD 的边长为 1， BC、 CD 上各有一点 E、 F， 如果CEF A B C D E F A B F E C D 图 1 图 2 G 的周长为 2，求EAF 的度数 （3）如图 17(2)，已知正方形 ABCD，F 为 BC 中点，E 为 CD 边上一点，且满足 BAF=FAE ，求证：AE=BC+CE 【答案】（1）证明：延长 CB 到 G，使 GB=DF， 连接 AG（如图） AB=AD，ABG=D=90，GB=DF， ABG
16、ADF（SAS） ， 3=2，AG=AF， BAD=90，EAF=45， 1+2=45，GAE=1+3=45=EAF， AE=AE，GAE=EAF，AG=AF， AGEAFE（SAS） ，GB+BE=EF，DF+BE=EF （2）辅助线如上图所示： CEF 的周长为 2，EF=BE+CF=BE+BG=EG， 在AGE 和AFE 中 EFEG AEAE AGAF ，AGEAFE（SSS） ，1+3=EAF， 又1+2+EAF =90，3=2，EAF=45 （3）过 F 点作 FGAE 交 AE 于点 G， 在ABF 和AFG 中，BAF=FAE，AF=AF，ABF=AGF=90， ABFAFG，
17、AF=FG=FC， 又FE=FE，FGE=FCE=90， FGEFCE，CE=EG，AE=AG+GE=AB+EC 【习题 3】已知：如图，MNPQ，垂足为 O，点 A、B 分别在射线上 OM、OP 上，直线 BE 平分PBA 与BAO 的平分线相交于点 C （1）若BAO=45，求ACB； （2）若点 A、B 分别在射线上 OM、OP 上移动，试问ACB 的大小是否会发生变化?如果保持 图 17（2） F E D C B A F E D C B A 图17（1） B C P E F 不变，请说明理由；如果随点 A、B 的移动发生变化，请求出变化的范围 【答案】（1）MNPQ，BOA=90， 在
18、ABO 中，PBA=BAO+BOA=45+90=135， PBA 与BAO 的平分线相交于点 C， BAC= 1 2 BAO= 1 2 45=22.5， FBA= 1 2 PBA= 1 2 135=67.5 在ABC 中，ACB=FBABAC=67.522.5=45； （2）MNPQ，BOA=90，在ABO 中，PBA=BAO+BOA=BAO+90， PBA 与BAO 的平分线相交于点 C， BAC= 1 2 BAO，FBA= 1 2 PBA= 1 2 （BAO+90）= 1 2 BAO+45， 在ABC 中，ACB=FBABAC= 1 2 BAO+45 1 2 BAO=45 【习题 4】等边
19、ABD 和等边CBD 的边长均为 1，E 是 AD 上异于 A、D 的任意一点， BEAD，F 是 CD 上一点，满足 AE+CF=1，当 E、F 移动时，试判断BEF 的形状 A B C D E F 【答案】等边三角形 【习题 5】复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题： “如图，已知在ABC 中， AB=AC， P 是ABC 内部任意一点， 将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ， 使QAP=BAC， 连接 BQ、 CP，则 BQ=CP ”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而 证得 BQ=CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然 成立，请你就图给出证明 【答案】QAP=BAC， QAP+PAB=PAB+BAC， QAB=PAC， 在ABQ 和ACP 中， AQ=AP，QAB=PAC，AB=AC， ABQACP，BQ=CP A B C P Q P Q A B C
