1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 方程综合复习 方程综合复习 知识模块：整式方程知识模块：整式方程 1、代数方程的知识结构 代数方程 无理方程 分式方程 高次方程 二次方程 一次方程 整式方程 有理方程 2、一元整式方程 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程。 3、 高次方程 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是 n（n 是正整数） ，那么这个方程就叫做一 元 n 次方程；其中次数 n 大于 2 的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程。 例如： 53 1 1610 2 xxx ， 42 540xx
2、等都是高次方程。 4、 二项方程 如果一元 n 次方程的一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二 项方程。关于 x 的一元 n 次二项方程的一般形式为0(0,0,) n axbabn是正整数 知识模块：分式方程知识模块：分式方程 1、定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 2、解法： 去分母：在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程 解方程：解这个整式方程 分式方程分式方程 整式方程整式方程 解整式方程解整式方程 去分母 求解 检验检验 检验解：把整式方程的解代入最简公分母，若结果为零，则这个解不是原分式方程的解，舍去； 若结果不为零，则这个解为原分
3、式方程的解。 3、分式方程的增根:使分式方程中分母为零的根叫增根。 4、无理方程：根号内含有未知数的方程叫做无理方程。 5、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程。 6、无理方程的解法 步骤：开始-去根号-解整式方程-检验-是-写出原方程的根 -否-舍去 知识模块：无理方程知识模块：无理方程 1无理方程：方程中含有根式且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程； 2解简单的无理方程的基本方法：去根号将无理方程化为整式方程，再解整式方程，最后验根； 知识模块知识模块：二元二次方程组：二元二次方程组 1二元二次方程组：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次
4、数为 2； 2解二元二次方程组的基本方法： （1）对于二元二次方程组有一个方程是一次方程时，选用代入消元法； （2）对于能够将二次方程进行因式分解成两个一次因式乘积为零的方程，选择因式分解法降次 【例 1】判断下列关于x的方程，哪些是一元整式方程 无 理 方 去 根 号 解有理 方程 检验 舍去增根 是原方 程的根 写出无理方 程的根 2 56 3 x x ； 3 259xx； 3 1 0xx x ； 78 =0xy； 23 270xa x ； 3 5 2 270(1) 21 x xxb b （a、b为常数） 【答案】 【例 2】解关于x的方程： （1）4 =6mxx； （2） 22 axbb
5、xaab； （3）+ =+ax b cx d 【答案】（1）整理方程得46mx，由此进行分类讨论： 当40m ，即4m 时，方程无解；当40m ，即4m 时，方程解为 6 4 x m ； （2）整理方程得 22 ab xab，由ab，得0ab，则方程解为xab； （3）整理方程得ac xdb，由此进行分类讨论： 当0ac且0db，即ac且bd时，方程无解； 当0ac且0db，即ac且bd时，方程有无数解； 当0ac，即ac时，方程解为 db x ac 【例 3】解下列方程： （1） 32 15200xx； （2） 32 44160xxx； （3） 22 (321)(327)120xxxx； （
6、4） 222 ()4(223)0xxxx 【答案】（1） 123 4 0 3 xxx ，； （2） 123 224xxx ，； （3） 1234 15 11 33 xxxx ，； （4） 1234 1223xxxx ， 【例 4】解方程： 34x x xx 【答案】4x 【例 5】解方程： （1） 1111 5867xxxx ； （2） 222(3) 223 xxx xxx 【答案】（1） 13 2 x ；（2） 12 4 0 3 xx， 【例 6】解方程： 22 215215199818xxxx 【答案】 12 3 9 2 xx ， 【例 7】设实数x、y、z满足4(543)xyzxyz，求
7、x、y、z的值 【答案】987xyz， 【例 8】解方程组： . 144 , 32 22 yxyx yx 【答案】 . 144 , 32 22 yxyx yx 由得：1)2( 2 yx 即：12 yx或12 yx 所以原方程组可化为两个二元一次方程组： ; 12 , 32 yx yx ; 12 , 32 yx yx 分别解这两个方程组，得原方程组的解是 ; 1 , 1 1 1 y x . 5 7 , 5 1 2 2 y x . 【例 9】若方程 22 2 312 1 22 xbb xxxx 有增根，求b的值 【答案】1b 或211b 【例 10】已知方程组 2 4 2 yx yxm 有两组实数
8、解 1 1 xx yy 和 2 2 xx yy ，且 12 0x x ， 设 12 22 n xx （1） 求 m 的取值范围； （2） 试用关于 m 的代数式表示出 n； （3） 是否存在这样的值 m，使 n 的值等于-2，若存在，求出这样的所有的 m 的值； 若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 1 0 2 mm且； （2） 2 88m n m ； （3） 22 2m 【例 11】如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度 移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P
9、、Q 同时从 A、B 出发，经过的时 间是 t 秒， （1）S 表示BPQ 的面积，写出 S 和 t 的函数关系式； （2）t 为何值时，S 等于 8 平方厘米? （3）t 为何值时，五边形 APQCD 的面积最小?最小值是多少? 【答案】（1） 2 6(06) PBQ Sttt ； （2）2 或 4； （3）t = 3 时，S = 63 【例 12】为了缓解甲、乙两地的旱情，某水库计划向甲乙两地送水，甲地需要水量 180 万立方米，乙 地需要水量 120 万立方米现已经两次送水，第一次往甲地送水 3 天，第二次往乙地送水 2 天，共送水 84 万立方米，第 2 次往甲地送水 2 天，往乙地送
10、水 3 天，共送水 81 万立方米，如果每天的送水量相同， 那么完成往甲地、乙地送水任务还需要多少天? 【答案】往甲地还需送水天数为 5 天，往乙地还需送水天数为 3 天 【习题 1】用换元法解分式方程 2 2 33 20 1 xx xx 时，设 2 1 x y x ，原方程可变形为（ ） A 2 230yy B 2 320yy C 2 320yy D 2 230yy 【答案】A C D A B P Q 【习题 2】解关于x的方程： （1） 2+4=0 bx； （2） 22 -=+x aa b； （3） 2 2=4ax a 【答案】（1）0b 时，方程无解；0b 时，得 2 4 x b ，得：
11、 1 2 xb b ， 2 2 xb b ； （2）直接开平方法得xaab，解得： 1 2xab， 2 xb ； （3）当20a ，即2a 时，必有 2 40a ，方程有无数解； 当20a ，即2a 时，方程有唯一解2xa 【习题 3】先化简，再求值： 2 344 (1) 11 aa a aa ，其中3a 【答案】原式= 2 2 1 31 144 aa aaa 2 (2)(2)1 1(2) aaa aa 2 2 a a 当3a 时, 原式= 32 74 3 32 【习题 4】解下列分式方程： （1） 336 3242xx ； （2） 2 14 1 24yy ； （3） 2 116 1 2231
12、2 x xxx ； （4） 222 222 322141233 636109 xxxxx xxxxx 【答案】（1） 12 122 57122 57 33 xx ，；（2）1y ； （4） 12 2 3 3 xx ，；（4） 12 9 1 2 xx ， 【习题 5】解方程： 2 22242xxxxx ； 【答案】 1 4 x 【习题 6】用换元法解无理方程： 33 32431xx 【提示： 3322 ()()abab aabb】 【答案】无实数根 【习题 7】解方程组： 22 22 90 24 xy xxyy 【答案】由得30xy或30xy 由得2xy或2xy 原方程组可化为 30 2 xy
13、xy ， 30 2 xy xy ， 30 2 xy xy ， 30 2 xy xy 解得原方程组的解为 1 1 3 2 1 2 x y ， 2 2 3 2 1 2 x y ， 3 3 3 1 x y ， 4 4 3 1 x y 【习题 8】解下列方程组： （1） 22 22 2525 368 xxyy xxyy ； （2） 22 22 248380 361242130 xxyyxy xxyyxy 【答案】（1） 34 12 12 34 23 223 2 11 2020 11 22 4040 xx xx yy yy ， ；（2） 12 12 131 111 xx yy ， 【习题 9】 k 为何
14、值时，方程组 2 4210 2 yxy ykx 。 （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解。 【答案】（1） 1 3 x y （2）10kk且 （3）1k 【习题 10】阅读以下材料： 若关于 x 的三次方程 32 0xaxbxc（a、b、c 为整数）有整数解 n，则将 n 代入方程 32 0xaxbxc得： 32 0nanbnc 所以： 322 cnanbnn nanb a、b、n 都是整数， 2 nanb是整数，n 是 c 的因数. 上述过程说明; 32 0xaxbxc的整数解 n 只能是常数项 c 的因数. 如： 32 4320xxx中常数项2的因数为：12和 将12和分别代入方程 32 4320xxx得：2x是该方程的整数解，12 和不是方程的整 数解. 解决下列问题： （1）根据上面的学习，方程 32 2650xxx的整数解可能是 ； （1）方程 32 2412140xxx有整数解吗？若有，求出整数解；若没有，说明理由. 【答案】 （1）15和（2）1x
