1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 多边形 了解多边形与正多边形的概 念； 了解多边形的内角和及外 角和公式； 知道用任意一个三 角形、 四边形或正六边形可以 进行镶嵌； 了解四边形的不稳 定性； 了解特殊四边形之间的 关系 会用多边形的内角和和外角和公式解 决计算问题； 能用正三角形、 正方形、 正六边形进行镶嵌设计；依据图形条 件分解与拼接简单图形 平行四边形 会识别平行四边形 掌握平行四边形的概念、 判定和性质， 会用平行四边形的性质和判定解决简 单问题 会运用平行四边形 的知识解决有关问 题 矩形 会识别矩形 掌握矩形的概念、性质和判定，会用 矩形的性质和判定解决简单问题 会用矩形的
2、知识解 决有关问题 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用 菱形的性质和判定解决简单问题 会用菱形的知识解 决有关问题 正方形 会识别正方形 掌握正方形的概念、性质和判定，会 用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识 解决有关问题 梯形 会识别梯形、 等腰梯形； 了解 等腰梯形的性质和判定 掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性 质和判定解决简单问题 一、一、平行四边形的性质平行四边形的性质 平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形
3、 平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍 平行四边形的面积：底乘以高 二、二、平行四边形的判定平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 知识点睛 四边形 三、三、矩形矩形 1.定义：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.矩形的性质矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是中心对
4、称图形，也是轴对称图形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得 3.矩形的判定矩形的判定 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形 判定：对角线相等的平行四边形是矩形 判定：有三个角是直角的四边形是矩形 四四、菱菱形形 1菱形的定义：菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2菱形的性质菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条
5、对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半 3菱形的判定菱形的判定 判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定：四边相等的四边形是菱形 4三角形的中位线三角形的中位线 中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质 中点中点 中点
6、平行 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半 五五、正方正方形形 1正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质： 边的性质：对边平行，四条边都相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系： （如图） 正 方 形 菱形矩形 平行四边形 3正方形的判定 判定：有一组邻边相等的矩形是正方形 判定：有一个角是直角的菱形是正方形 六六、梯梯形形 1定义：
7、 四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫 做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形. A BC D A B C D A DB C 叫做梯形. C BA D 底角 腰 底 高 2等腰梯形 A BC D A DB C A DB C 峛 . A B C D D A BC B A A D CB C D A CB D 是等腰梯形， ， ， B C A D 3 直角梯形 A BC D C BA BA B C D A DB C 是直角梯形. C A B D 4平行线等分线段定理 1234 llll A BB CC D 111111 A BB CC
8、D. l4 l3 l2 l1 D1 C1 B1 A1 D C B A 5中位线定理 三角形中位线定理 ABC中： 11 22 AMBM MNBCMNBC ANCN ，. B N C M A 梯形中位线定理 梯形ABCD中： ABCD AMDM BNCN 1 2 MNABCD MNABCD ， B N C A M D 八、等腰梯形 1. 等腰梯形的性质等腰梯形的性质 等腰梯形同一底边上的两个角相等； 等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； 2. 等腰梯形的判定等腰梯形的判定 同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形
9、 九、梯形中常见的辅助线 我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成 三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的 添加辅助线的方法. 1. 作梯形的高： 一般是过梯形的一个顶点作高， 其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形， 从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形. 2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做 的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题 集中到三角形中
10、. 3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题. 4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形. 5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形. 常见的辅助线添加方式如下： 梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理解题时 要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线 【例1】 如图， 已知：在平行四边形ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于E，ABC的平分线BG交 CE于F，交AD于G求证：AEDG F GE D CB A 【解析】 （答案不惟一） 四边形A
11、BCD是平行四边形（已知） ADBC，ABCD（平行四边形的对边平行且相等） GBCBGA ，BCECED （两直线平行，内错角相等） 又BG平分ABC，CE平分BCD（已知） ABGGBC ，BCEECD （角平分线定义） ABGAGB ，ECDCED ABAG，CEDE（在同一个三角形中，等角对等边） AGDE AGEGDEEG，即AEDG 【答案】 （答案不惟一） 四边形ABCD是平行四边形（已知） ADBC，ABCD（平行四边形的对边平行且相等） GBCBGA ，BCECED （两直线平行，内错角相等） 又BG平分ABC，CE平分BCD（已知） ABGGBC ，BCEECD （角平分线
12、定义） ABGAGB ，ECDCED ABAG，CEDE（在同一个三角形中，等角对等边） AGDE AGEGDEEG，即AEDG 【例2】 如图，四边形 ABCD 是正方形，ECF 是等腰直角三角形，其中 CE=CF，G 是 CD 与 EF 的交点. （1）求证：BCFDCE. （2）若 BC=5，CF=3，BFC=900，求 DG：GC 的值. G F E D C B A 【解析】 【答案】 （1）四边形 ABCD 是正方形 BCF+FCD=90 ，BC=CD ECF 是等腰直角三角形， ECD+FCD=90. CF=CE BCF=ECD. BCFDCE (2)在BFC 中，BC=5，CF=
13、3，BFC=900.BF= 2222 534BCCF BCFDCE，DE=BF=4，BFC=DEC=FCE=900.DEFC DGECGFDG：GC=DE：CF=4：3 【例3】 如图，在四边形 ABCD中，AB=BC，BF平分ABC，AFDC， 连接 AC，CF. 求证： （1）AF=CF； （2）CA 平分DCF. F D C B A 【解析】略 【答案】 （1） BF平分ABC， ABFCBF 在ABF 与CBF 中， , , , ABCB ABFCBF BFBF ABFCBF AFCF （2） AFCF， FCAFAC AFDC， FACDCA FCADCA，即CA平分DCF 【例4】
14、 如图，在梯形ABCD中，ABDC，5ADBC，10AB ，4CD ，连结并延长BD到E， 使DEBD，作EFAB，交BA的延长线于点F （1）求tanABD的值； （2）求AF的长 F E D C BA 【解析】略 【答案】 （1）作 DMAB 于点 M，CNAB 于点 N （如图 3） ABDC，DMAB，CNAB， DMN=CNM=MDC=90 四边形 MNCD 是矩形. 4CD ， MN=CD= 4 在梯形ABCD中，ABDC，5ADBC， NM F E DC BA DAB=CBA，DM=CN ADMBCN 又10AB ， AM=BN= 11 (104)3 22 ABMN MB=BN+
15、MN=7 在RtAMD中，AMD=90，AD=5，AM=3， 22 4DMADAM 4 tan 7 DM ABD BM （2）EFAB， F=90 DMN=90， F=DMN. DMEF BDMBEF DE BD， 1 2 BMBD BFBE BF=2BM=14 AF=BFAB=1410=4 【例5】 梯形 ABCD 中 DCAB， AB =2DC，对角线 AC、BD 相交于点 O， BD=4，过 AC 的中点 H 作 EFBD 分别交 AB、AD 于点 E、F，求 EF 的长. 【解析】略 【答案】过点 C 作 CPBD 交 AB 的延长线于 P DCAB， 四边形 BPCD 是平行四边形.
16、 DBCP, DC=BP. AB =2DC，设 DC=x， BP=x,AB=2x. AP=3x. EFBD，CPBD， EFCP. 又点 H 为 AC 的中点， 1 2 AEAH APAC . AE= 1 2 AP= 3 2 x. 3 3 2 24 x AE ABx EFBD， BD EF AB AE . BD=4， 3 44 EF . EF=3 A B CD E F O H P H O F E DC B A 【例6】 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，BDCD，C=60 ，AD=3，BC=4 3，求 AB 的长 A BC D 【解析】略 【答案】如图，分别过点 A、D 作 AEBC 于
17、点 E ，DFBC 于点 F AE/DF 又AD/BC， 四边形 AEFD 是矩形 EF=AD=3 BDCD，C=60 ，BC=4 3， DC=BC cos60 = 1 4 32 3 2 CF=DC cos60 = 1 2 33 2 AE=DF= DC sin60 = 3 2 33 2 2 3BEBCEFCF 在 RtABE 中，AEB=90 ， AB= 2222 3(2 3)21AEBE 【例7】 如图：正方形 ABCD 的边长为 6cm，E 是 AD 的中点，点 P 在 AB 上，且ECP=45 。则 PE 的长 是 cmPEC 的面积是 2 cm. P E D CB A 【解析】 （1）
18、此题为角含半角模型，可以利用旋转设BPx，3PEx，6APx，根据勾股定理， 故2x 【答案】 （1）5； （2）15 【例8】 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片， B 为 CD 边上的点，C B =3将纸片沿某条直 线折叠，使点 B 落在点 B 处，点 A 的对应点为 A ，折痕分别与 AD，BC 边交于点 M，N （1）求 BN 的长； （2）求四边形 ABNM 的面积. FE D CB A M N B A D C B A 【解析】略 【答案】如图 3 （1）由题意，点 A 与点 A ，点B与点 B 分别关于直线MN对称， AMA M，BNBN 设BNBNx，则9CNx
19、正方形ABCD， o 90C 222 CNBCBN C B =3， 222 (9)3xx 解得5x 5BN 2） 正方形ABCD， ADBC， o 90A 点 M，N 分别在 AD，BC 边上， 四边形 ABNM 是直角梯形 5BNB N，9BC ， 4NC 4 sin 1 5 ， 4 tan 1 3 1290 ，2390 ， 31 4 sin3sin 1 5 d 在 Rt DB P 中，90 D，6DBDCBC， 4 sin 3 5 DB PB ， 15 2 PB 9ABAB ， 3 2 APABPB 43 ， 4 tan4tan3 3 在 Rt A MP中， 90 AA ， 3 2 A P
20、， 4 tan 4 3 AM AP ， 2A M 1163 ()(25) 9 222 ABNM SAMBNAB 梯形 【例9】 在 RtABC 中，ACB=90 ， 1 2 BC AC ，点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合） ，连结 BD，F 为 BD 中点.作ADE，使得 D、E、B 三点共线，且 1 2 DE AE ，点 F 为 BD 中点，如图所示 求证：BE-DE=2CF； F E D CB A 【解析】利用中位线构造辅助线 【答案】倍长BC到点G，在BE上截取EHDE，连接AG、DG，AH,故2CFDG，ADGAHB H G F E D CB A 【例10】 如图，在AOB中
21、，8OAOB，90AOB，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边 AO、OB、AB上。 （1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积； （2）若 4 3 OD OC ，求矩形CDEF面积的最大值。 E F C B D O A 【解析】略 【答案】 （1）如图，当 C、D 是边 AO,OB 的中点时， 点 E、F 都在边 AB 上，且CFAB. OA=OB=8， OC=AC=OD=4. 90AOB, 4 2CD . 在RtACF中， 45A,2 2CF . 4 22 216 CDEF S 矩形 . （2）设,CDx CFy.过 F 作FHAO于 H. 在RtCOD中， 4 tan
22、3 CDO, 43 sin,cos 55 CDOCDO. 4 5 COx. 90FCHOCD, FCHCDO . 3 cos. 5 HCyFCHy 22 4 5 FHCFCHy. AHF是等腰直角三角形, 4 5 AHFHy.AOAHHCCO. 74 8 55 yx . 1 (404 ) 7 yx. 易知 22 14 (404)(5)25 77 CDEF Sxyxxx 矩形 , 当5x 时，矩形 CDEF 面积的最大值为 100 7 . 【例11】 如图 1，在ABC 中，已知BAC45 ，ADBC 于 D，BD2，DC3，求 AD 的长. 小萍同学 A C ODB F E H 灵活运用轴对称
23、知识， 将图形进行翻折变换如图 1.她分别以 AB、 AC 为对称轴， 画出ABD、 ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，得到四边形 AEGF 是正方形. 设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值. （1）请你帮小萍求出 x 的值. （2）参考小萍的思路，探究并解答新问题： 如图 2，在ABC 中，BAC30 ，ADBC 于 D，AD4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形 AEGF，求BGC 的周长.（画图所用字母与图 1 中的字母对应） 图 1 图 2 【解析】略 【答案】 （1）设 AD=x，由题意得，2BGx，3C
24、Gx. 在RtBCG中，由勾股定理可得 222 (2)(3)5xx. 解得 6x . G F E D C B A （2）参考小萍的做法得到四边形AEGF，60EAF， 120EGF，90AEGAFG，4AEAFAD. 连结EF，可得 AEF为等边三角形. 4EF . 30FEGEFG. EGFG. 在EFG中，可求， 4 3 3 EG . EFG的周长2BGCGBCBGCGEBFCEG= 8 3 3 . 【例12】 已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB，均为锐角 （1）当AB 时，则CD与AB的位置关系是CD AB，大小关系是CD AB； （2）AB 时， （1）中CD与AB的大小关
25、系是否还成立， 证明你的结论 A B C D 【解析】略 【答案】 （1）如图 1， CDAB，CDAB （2）CDAB还成立 如图 2，分别过点D、B作BC、CD的平行线，两线交于F点 四边形DCBF为平行四边形 .,FBDCBCFD ADBC， ADFD 作ADF 的平分线交 AB 于 G 点，连结 GF ADGFDG 源:Zxxk.Com 在ADG和FDG中 , , , DGDG FDGADG FDAD ADGFDG AGFG 在BFG中，BFBGFG AGBGDC DCAB 【例13】 已知：如图，正方形ABCD中，,AC BD为对角线，将BAC绕顶点A逆时针旋转 （045） ，旋转后
26、角的两边分别交BD于点P、点Q，交,BC CD于点E、点F，联结 ,EF EQ （1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变求出它的度数，若改变，写出 它的变化范围； （2）探究APQ与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明 Q P F E D CB A 【解析】略 【答案】 （1）12 ，ABCAPD ，故 ABEAPQ ， AEBAQB ， 故A BEQ、 、 、四点共圆，所以180AQEABC，45AEQ 2 1 Q P F E D CB A （2）根据第一问，同理APOAFD，故 1 2 APAQ AFAE ，所以 APQAFE ，所以面积比为1:2 O Q P F E
27、 D CB A 1. 如图，矩形ABCD中，AC BD，相交于点O，AE平分BAD交BC于E，若15CAE，求BOE E O D CB A 【解析】四边形ABCD是矩形 90DABABCOAOB， AE平分BAD，所以 1 45 2 BEABAD BABE 1560CAEBAC ， 所以ABO为等边三角形 60OBABBEABO，所以30OBE 1 18075 2 BOEOBE 【答案】75. 2. 已知， 菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且60BEAF ，18BAE 求：CEF 的度数 F E D C B AA B C D E F 【解析】连接AC，四边形ABCD为菱形 AB
28、BCCDAD ABC和ACD为等边三角形 60ABACBACDBAC ， 60EAF BAECAF ABEACF AEAF 60EAF AEF为等边三角形 60AEF AECBBAEAEFCEF 18CEF 分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题 【答案】18 3. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于点E，连接CE， P是CE上任意一点，PMBC于M，PNBD于N，则PMPN的值为 P N M E D CB A 【解析】作CQBD于Q，则PMPNCQ，又CQ BDBC CD，所以可知最终值为2cm 【答案】2cm 4. 如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，44 2BCAD，45B直角三角板含45角的顶点 E在边BC上移动， 一直角边始终经过点A， 斜边与CD交于点F 若ABE为等腰三角形， 则CF 的长等于 【解析】省略 【答案】 5 2 4 23 2 ，
