1、概率与统计一、统计案例与数学期望（2020江西省上饶市一模）在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计
2、绝对贫困户相对贫困户总计（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.附：，其中.完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户相对贫困户总计上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.试题解析【解析】（1）由题意可知，绝对贫困户有（户），可得出如列联表：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户相对贫困户总计故有的把握认为绝对贫困
3、户数与受教育水平不好有关（2）贫困指标在的贫困户共有（户），“亟待帮助户”共有（户），依题意的可能值为， ，则的分布列为故应对策略1.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成22列联表；(2)根据公式K2计算K2的值；(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断2.求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)理解的意义，写出可能取的全部值；(2)求取每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值的定义求E()；(5)由方差的定义求D()拓展延伸【拓展1】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品
4、或服务进行账务支付的一种服务方式随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75频率0.10.320.280.220.050.03使用人数828241221若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付不使用手机支付参考数据
5、：0.0250.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828参考公式：【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付6015不使用手机支付1015于是有K2的观测值故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关【拓展2】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式某机构对某地区
6、年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75频率0.10.320.280.220.050.03使用人数828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付不使用手机支付（2）若从年龄在55，65），65，75的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的
7、人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【解析】由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：，于是X的分布列为：0123所以变式训练一1.(2019年湖北模拟)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下22列联表：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100（1）能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率附：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.84
8、16.63510.828K2，其中nabcd.【解析】（1）因为K28.2496.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关（2）由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)
9、则P(A).故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为.2.（2019年湖北省宜昌模拟）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用表示所选人员中能担任助理工作的人数，求的分布列及数学期望【解析】（1）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取
10、人记“至少有一人来自甲部门”为事件，则故至少有一人来自甲部门的概率为（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为0123所以二、二项分布(2019河南洛阳市模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实情况抽查(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个
11、专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望试题解析【解析】（1）随机选取，共有3481种不同方法，恰有一个城市
12、没有专家组选取的有C(CAC)42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为.（2）设事件A：“一个城市需复检”，则P(A)1，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.所以X的分布列为X0123P由题意知XB，所以E(X)3.应对策略二项分布的期望与方差如果B(n，p)，则用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量变式训练二1.(2019四川成都诊断)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图
13、(单位：吨)若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的 用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X的分布列、数学期望和方差【解析】（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A，则P(A).（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为.X的所有可能取值为0，1，2，3，易知XB，P(Xk)C，k0，1，2，3，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机
14、变量X的分布列为X0123P所以数学期望E(X)31，D(X)3.2.（2020湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动
15、后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【解析】（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：一等品2件，二等品1件，三等品1件；一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为“质量提升月”活
16、动后，产品质量指标值近似满足，则.所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.模拟训练1.（2019云南省高考模拟）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球个、黄色球个、蓝色球个，现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得分、摸到黄球得分、摸到蓝球得分若从这个口袋中随机的摸出个球，恰有一个是黄色球的概率是（1）求的值； （2）从口袋中随机摸出个球，设表示所摸球的得分之和，求的分布列和数学期望【解析】（1）由题意有，即，解得； （2）取值为.则， &nb
17、sp; 的分布列为： &n
18、bsp; 故. 2.（2020福建省厦门外国语学校高三上学期12月月考）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,7070以上使用人数312176420未使用人数003143630（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量
19、的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为（2）所有的可能取值为1,2,3，,.所以的分布列为123所以的数学期望为.（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.3.（2020广东省惠州市高三第三次调研）为发挥体育核心素养的独特育人价值，越
20、来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一（1）班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.班级一一一一一一一一一一市级比赛获奖
21、人数2233443342市级以上比赛获奖人数2210233212【解析】（1）记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，1，2，；则与互斥，故所求概率为 ； （2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3； ， .则的分布列为：0123p数学期望为.4.（2019河北高考模拟）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为，面试两科每科优秀的概率均为.（1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活
22、动中考试的科目总数为，求的分布列与数学期望.【解析】（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关.所以.（2）易得的可能取值为3 ,5 ，所以，或 ，所以，或 ，的分布列为：35P所以.5.（2019江西省新八校联考）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）若将频率是为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案：不分类卖出，单价为元
23、方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg）16182224从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望【解析】（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，所以恰好抽到个礼品果的概率为，（2）设方案的单价为，则单价的期望值为，因为，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个，现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有
24、可能的取值为，则；，所以的分布列如下：所以.6.（2020山西省晋城市高三第一次模拟）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性相关；（2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘
25、用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X,求X的数学期望与方差.参考公式：，其中.，若，则可判断与线性相关.附表：0100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【解析】（1）依题意，故，则故与线性相关.（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18624女性车主246总计201030故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.（3）依题意，该地区购置新能源车的
26、车主中女性车主的概率为，则，所以，.7.（2020云南省昆明市第一中学高三一轮检测）某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望【解析】（1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，乙乘坐超过站且不超过站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件，则 ，所以甲、乙
27、两人付费相同的概率是.（2）由题意可知的所有可能取值为：，.， ， ， ，.因此的分布列如下：所以的数学期望 .8.（2020东北三省三校联合模拟）“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出份,统计得分绘出频率分布直方图如图.（1）求出图中的值,并求样本中,答卷成绩在上的人数;（2）以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取名,记成绩在分以上(含分)的人数为,求的分布列和期望.【解析】（1）依题意,故，故成绩在上的频率为答卷成绩在上的人数为 （2）由样本的频率分布直方图知成绩在分以上(含分)的频率为，依题意,，故,，所以的分布列为所以的数学期望为.
