初二数学寒假班讲义第05讲-等腰三角形(提高)-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:八年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第05讲-等腰三角形 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握等腰三角形、等边三角形的性质、判定定理; 掌握含30角的直角三角形的性质定理及其证明; 能够用综合法证明等腰三角形的有关性质及其判定定理。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、等腰三角形的性质定理(1)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。(AAS)(2)等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。(3)推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相

2、重合。即三线合一。(4)等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。(3)三个角都相等的三角形是等边三角形。(4)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。3、在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。4、反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。考点一:等腰三角形的性质例1、一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为()A12 B16 C20 D16或20

3、【解析】当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;当8为腰时,8488+4,符合题意故此三角形的周长=8+8+4=20故选C例2、等腰三角形有一个角是90,则另两个角分别是()A30,60 B45,45 C45,90 D20,70【解析】故选B例3、如图,在ABC中,AB=AC,A=30,E为BC延长线上一点,ABC与ACE的平分线相交于点D,则D的度数为()A15 B17.5 C20 D22.5【解析】ABC的平分线与ACE的平分线交于点D,1=2,3=4,ACE=A+ABC,即1+2=3+4+A,21=23+A,1=3+D,D=A=30=15故选A例4、在等腰ABC中,其中AB=AC,A=

4、40,P是ABC内一点,且1=2,则BPC等于()A110 B120 C130 D140【解析】A=40,ACB+ABC=18040=140,又ABC=ACB,1=2,PBA=PCB,1+ABP=PCB+2=140=70,BPC=18070=110故选A例5、如图,ACBD,AB与CD相交于点O,若AO=AC,A=48,D=66【解析】OA=AC,ACO=AOC=(180A)=(18048)=66ACBD,D=C=66故答案为:66例6、在等腰ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形底边长为16或8【解析】BD是等腰ABC的中线,可设AD=CD=x

5、,则AB=AC=2x,又知BD将三角形周长分为15和21两部分,可知分为两种情况AB+AD=15,即3x=15,解得x=5,此时BC=21x=215=16;AB+AD=21,即3x=21,解得x=7;此时等腰ABC的三边分别为14,14,8经验证,这两种情况都是成立的这个三角形的底边长为8或16故答案为:16或8例7、如图,已知ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O(1)求证:OB=OC;(2)若ABC=50,求BOC的度数【解答】(1)证明:AB=AC,ABC=ACB,BD、CE是ABC的两条高线,BEC=BDE=90,BECBDC,DBC=ECB,BE=CD。在BOE和

6、COD中,BOE=COD,BE=CD,BEC=BDE=90BOECOD,OB=OC;(2)ABC=50,AB=AC,A=180250=80,DOE+A=180BOC=DOE=18080=100例8、如图,在ABC中,AB=AC,AD是角平分线,点E在AD上,请写出图中两对全等三角形,并选择其中的一对加以证明【解析】ABEACE,EBDECD,ABDACD以ABEACE为例,证明如下:AD平分BAC,BAE=CAE在ABE和ACE中,ABEACE(SAS)考点二:等腰三角形的判定 例1、在ABC中,其两个内角如下,则能判定ABC为等腰三角形的是()AA=40,B=50 BA=40,B=60CA=

7、20,B=80 DA=40,B=80【解析】故选C例2、对“等角对等边”这句话的理解,正确的是()A只要两个角相等,那么它们所对的边也相等B在两个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等C在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等D以上说法都是正确的【解析】选C例3、ABC的三边长a,b,c满足关系式(ab)(bc)(ca)=0,则这个三角形一定是()A等腰三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D无法确定【解析】ABC的三边长a,b,c,a、b、c都是正数由(ab)(bc)(ca)=0,得ab=0,即a=b,ABC是等腰三角形;bc=0,即b=c,ABC是等腰三角形;c

8、a=0,即c=a,ABC是等腰三角形;ab=0,bc=0且ca=0,即a=b=c,ABC是等边三角形;等边三角形是特殊的等腰三角形综上所述,ABC一定是等腰三角形故选A例4、如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()A5个 B4个 C3个 D2个【解析】共有5个(1)AB=ACABC是等腰三角形;(2)BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线,EBC=ABC,ECB=BCD,ABC是等腰三角形,EBC=ECB,BCE是等腰三角形;(3)A=36,AB=AC,ABC=ACB=(18036)=72,又BD是ABC的角平分线,ABD=A

9、BC=36=A,ABD是等腰三角形;同理可证CDE和BCD是等腰三角形故选:A例5、如图,ABC中,BF、CF分别平分ABC和ACB,过点F作DEBC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:BDF和CEF都是等腰三角形;DFB=EFC;ADE的周长等于AB与AC的和;BF=CF其中正确的是(填序号,错选、漏选不得分)【解析】DEBC,DFB=FBC,EFC=FCB,BF是ABC的平分线,CF是ACB的平分线,FBC=DFB,FCE=FCB,DBF=DFB,EFC=ECF,DFB,FEC都是等腰三角形正确;ABC不是等腰三角形,DFB=EFC,是错误的;DFB,FEC都是等腰三角形DF=DB,

10、FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC正确,共2个正确的;ABC不是等腰三角形,ABCACB,FBCFCB,BF=CF是错误的;故答案为:例6、如图,已知ABCD,ACBD,CE平分ACD(1)求证:ACE是等腰三角形;(2)求证:BECBDC【解析】(1)ABCD,AEC=ECD,CE平分ACD,ACE=ECD,AEC=ECA,AC=AE,ACE是等腰三角形;(2)ABCD,ACBD,四边形ABDC为平行四边形,CAE=BDC,BECCAE,BECBDCP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1

11、、等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为()A16cm B17cm C20cm D16cm或20cm【解析】选C2、等腰三角形中一个外角等于100,则另两个内角的度数分别为()A40,40 B80,20C50,50 D50,50或80,20【解析】选D3、如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC,若1=70,则BAC的大小为()A40 B30 C70 D50【解析】ADBC,C=1=70,AB=AC,B=C=70,BAC=180BC=40故选A4、如图,B=C,1=3,则1与2之间的关系是()A1=22 B312=180C1+32=180 D21+2=180【解析】1=3,

12、B=C,1+B+3=180,21+C=180,21+12=180,312=180故选B5、如图,在ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:EBO=DCO;BE=CD;OB=OC;OE=OD从上述四个条件中,选取两个条件,不能判定ABC是等腰三角形的是()A B C D【解析】选可根据AAS证EBO和DCO全等,推出OB=OC,再得出CBO=BCO,两角相加得出ABC=ACB,正确;根据OB=OC,EBO=DCO,两角相加得出ABC=ACB,正确;根据SAS证EBO和DCO全等,推出EBO=DCO根据OB=OC,EBO=DCO,两角相加得出ABC=ACB,正

13、确;不能证明出EBO和DCO全等,错误;故选D6、如图,已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动),AON=30,当A=60或90时,AOP为直角三角形;当A=30或75或120时,AOP为等腰三角形【解析】AON=30,当A=60时,APO=90,此时AOP是直角三角形,当A=90时,AOP是直角三角形,故答案为60或90,当点O为等腰三角形顶点时,A=75,当点A为等腰三角形顶点时,A=120,当点P为顶点时,A=30,故答案为30或75或1207、如图,在ABC中,D在边AC上,如果AB=BD=DC,且C=40,那么A=80【解析】AB=BD=DC,C=40,DBC=C=40,

14、A=ADB,BDC=1804040=100,ADB=180100=80,A=80故答案为:808、如图,在ABC中AB=AC,A=36,BD平分ABC,则1=72度,图中有3个等腰三角形【解析】AB=AC,A=36,ABC是等腰三角形,C=ABC=72,BD为ABC的平分线,ABD=A=DBC=36,AD=BD,ADB是等腰三角形,1=1803672=72=C,BC=BD,CDB是等腰三角形,图中共有3个等腰三角形故填39、如图,在ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F求证:DE=DF【解答】证明:连接ADAB=AC,点D是BC边上的中点AD平分BA

15、C(三线合一性质),DE、DF分别垂直AB、AC于点E和FDE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)10、如图,在ABC中,AB=AC,A=40,BD是ABC的平分线,求BDC的度数【解析】AB=AC,A=40,ABC=C=70,BD是ABC的平分线,DBC=ABC=35,BDC=180DBCC=7511、如图,在ABC中,AD平分BAC,点D是BC的中点,DEAB于点E,DFAC于点F求证:ABC是等腰三角形【解答】证明:AD平分BAC,DEAB于点E,DFAC于点F,DE=DF,在RtBDE和RtCDF中,RtBDERtCDF(HF),B=C,ABC为等腰三角形 课后反击1、已知等腰三

16、角形的一个底角的度数为70,则另外两个内角的度数分别是()A55,55 B70,40C55,55或70,40 D以上都不对【解析】选B2、等腰三角形顶角是84,则一腰上的高与底边所成的角的度数是()A42 B60 C36 D46【解析】如图:ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高A=84,且AB=AC,ABC=C=(18084)2=48;在RtBDC中,BDC=90,C=48;DBC=9048=42故选A3、如图,在PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若MKN=44,则P的度数为()A44 B66 C88 D92【解析】PA=PB,A=B,

17、在AMK和BKN中,AMKBKN,AMK=BKN,MKB=MKN+NKB=A+AMK,A=MKN=44,P=180AB=92,故选:D4、如图,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=若=10,则的度数是()A40 B50 C60 D不能确定【解析】AB=AD,B=ADB,=10,ADB=+C,C=10,BAC=90,B+C=90,即+10=90,解得=50,故选B5、如图,在ABC,A=36,B=72,AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D,E,则图中等腰三角形的个数为()A2个 B3个 C4个 D5个【解析】A=36,B=72,ACB=1803672=72,ACB=B

18、,AB=AC,ABC是等腰三角形,DE垂直平分AC,EA=EC,ACE=A=36AE=CE,ACE是等腰三角形,AEC=1803636=108,BEC=72BEC=B,CE=BCBEC是等腰三角形,等腰三角形有ABC,ACE,BEC,故选:B6、如图,ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分线,若ABD的周长为12,ABC的周长为16,则AD的长为4【解析】ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分线,BD=CDABD的周长为12,AB+BD+AD=12,2AB+2BD+2AD=24,AB+AC+BC+2AD=24,ABC的周长为16,AB+AC+BC=16,16+2AD=24,AD=4故答案为

19、47、如图,ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O给出下列三个条件:EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD上述三个条件中,哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形):【解析】由条件可判定ABC是等腰三角形证明:EBO=DCO,EOB=DOC,(对顶角相等),BE=CD,EBODCO,OB=OC,OBC=OCB,ABC=ACB,ABC是等腰三角形8、如图,在ABC中,BAC:B:C=3:1:1,AD,AE将BAC三等分,则图中等腰三角形的个数是6【解析】BAC:B:C=3:1:1,BAC+B+C=180,BAC=120,B=30,C=30,AD,AE将BAC

20、三等分,BAD=DAE=EAC=30,ADE=AED=BAE=CAD=60,AD=BD,AD=AE,AE=CE,AB=AC,AB=BE,AC=CD,ABD,ADE,AEC,ABC,ABE,ACD是等腰三角形,图中等腰三角形的个数是6,9、如下图中,在ABC中,有AB=AC,BD平分ABC交AC于点D,AEBD交CB的延长线于点E若有BAC=40,请你选择图中现有的一个角并求出它的度数(要求:不添加新的线段,所有给出的条件至少使用一次)【解析】EAC=75,AB=AC,BAC=40,ABC=ACB=70,BD平分ABC交AC于点D,ABD=CBD=35,AEBD,E=EAB=35,EAC=EAB

21、+BAC=75直击中考1、【2015长沙】下列条件中,不能判定ABC是等腰三角形的是()Aa=3,b=3,c=4 Ba:b:c=2:3:4CB=50,C=80 DA:B:C=1:1:2【解析】选B2、【2016山东】如下图中,将ABC沿BD对折,使得点C落在AB上的点C处,且C=2CBD,已知 A=36(1)求BDC的度数;(2)写出图中所有的等腰三角形(不用证明)【解析】由折叠的性质可得:CBD=CBD,ABC=2CBD,C=2CBD,C=ABC,ABC中,A=22,C=ABC=72,CBD=36,BDC=180336=72(2)C=ABC=BDC=BDC=BCD=72,AB=AC,BC=B

22、D=BC,ABC,BCD,BCD是等腰三角形,ABC=BDC=BDC=BCD=72,ABD=ADC=A=36,AD=BD,AC=DC,ABD,ADC是等腰三角形所以等腰三角形有ABC,ABD,BCD,BDC,ADCS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、等腰三角形的性质定理(1)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。(AAS)(2)等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。(3)推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。(4)等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。(3)三个角都相等的三角形是等边三角形。(4)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。名师点拨1、涉及等腰三角形腰上的高的问题时,需要注意分类讨论;2、等腰三角形“三线合一”的成立的条件一定要明确;3、等腰三角形需要满足一般三角形的性质。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是12

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