1、第16讲 等腰三角形与证明,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“ 等边对等角 ”). (2)等腰三角形的 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合(简称为“三线合一”). (3)等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,顶角的平分线(或底 边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴. 温馨提示 (1)若题目已知中没有明确边是底边还是腰,角没有明确是顶角还是底角,就需要分类讨论.(2)等腰三角形中“三线合一”是等腰三角形中常见辅助线的作法之一,一般是过顶点作底 边上的高.,2.等腰三角形的判定 (1)有
2、两条边相等 的三角形是等腰三角形. (2)有 两个角相等 的三角形是等腰三角形(简称为“等角对等边”). 温馨提示 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要 依据,是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要 依据.,知识点二 等边三角形 1.等边三角形的性质 (1)等边三角形具备等腰三角形的所有性质. (2)等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60. 2.等边三角形的判定 (1) 三个角 都相等的三角形是等边三角形. (2)有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形.,知识点三 命题、定理与证明 1.命题:判断一件事情的语句. (1)命题由 题设 和 结论 两部分组成. (
3、2)命题的分类:正确的命题称为 真命题 ;错误的命题称为 假命题 . (3)反例:符合命题的条件,但不满足命题的结论的实例,叫做反例. 举反例是判断假命题的一种方法.只要找到一种情况不符合命题 的结论,就可以证明该命题是假命题. (4)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命 题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个 命题称为互逆命题,每个命题都有互逆命题.,2.定理:经过证明的 真命题 叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是所有的定理都有逆定理. 推论:推论是由公理或定理推出的正确结论,它是真命题.,3.证明 (1)证明的定义:根据题设、定义、公
4、理或定理,经过逻辑推理来 判断一个命题是否正确,这一推理过程称为证明. (2)证明的一般步骤: 审题,找出命题的已知和结论; 由题意画出图形,要有一般性; 用数学语言写出已知和求证; 分析证明的思路; 写出证明过程,推理要严密. (3)反证法:从原命题结论的反面出发,通过正确的逻辑推理过程, 导致矛盾的结果,从而肯定原命题结论正确的证明方法.,泰安考点聚焦,考点一 等腰三角形的性质与判定 例1 (2017泰安)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上 一点,且BC=EC,CFBE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结 论:BE平分CBF;CF平分DCB;BC=FB;PF=PC,其中
5、 正确结论的个数为 ( D ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析 BC=EC,CEB=CBE, 四边形ABCD是平行四边形, DCAB,CEB=EBF, CBE=EBF,BE平分CBF正确; BC=EC,CFBE,ECF=BCF, CF平分DCB正确; DCAB,DCF=CFB, ECF=BCF, CFB=BCF,BF=BC,正确; FB=BC,CFBE,B点一定在FC的垂直平分线上, 即PB垂直平分FC, PF=PC,正确.故选D.,变式1-1 如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平 分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有 ( D )A.2个
6、 B.3个 C.4个 D.5个,解析 AB=AC, ABC是等腰三角形; AB=AC,A=36, ABC=C=72, BD是ABC的角平分线, ABD=DBC= ABC=36, A=ABD=36,BD=AD, ABD是等腰三角形; 在BCD中,BDC=180-DBC-C=180-36-72=72, C=BDC=72,BD=BC,BCD是等腰三角形; BE=BC,BD=BE, BDE是等腰三角形; BED=(180-36)2=72, ADE=BED-A=72-36=36, A=ADE,DE=AE, ADE是等腰三角形, 图中的等腰三角形有5个. 故选D.,考点二 等边三角形的性质和判定 中考解题
7、指导 等边三角形是特殊的三角形,三条边相等、三个 角都等于60.在遇到等边三角形的问题时,注意从边和角两个方 面分析并进行解答.,例2 如图,已知ABC和ECD都是等边三角形,B、C、D在一 条直线上. (1)求证:BE=AD; (2)求证:CF=CH; (3)求证:FCH是等边三角形; (4)求证:FHBD; (5)求EMD的度数.,解析 (1)证明:ABC和ECD都是等边三角形,BCA= DCE=60,BCE=ACD,又ABC和ECD都是等边三角 形,BC=AC,CE=CD,BCEACD,BE=AD. (2)证明:由(1)知,BCEACD, BEC=ADC, 易知DCE=ECF=60,CD
8、=CE, DCHECF, CF=CH. (3)证明:由(2)知,CF=CH,点B、C、D在一条直线上, ECF=60,FCH是等边三角形.,(4)证明:由(3)知,FCH是等边三角形, FHC=60=HCD, FHBD. (5)由(1)知,BCEACD, MEC=CDH, 在BMD中, MBD+MDB=60, EMD=60.,变式2-1 ABC是等边三角形,点D是BC上的一个动点(点D不与 点B、C重合),ADE是等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交 AB、AC于点F、G,连接BE.如图所示,当点D在线段BC上时,求证: AEBADC.,证明 ABC和ADE都是等边三角形, AE=AD,A
9、B=AC,EAD=BAC=60, 又EAB=EAD-BAD,DAC=BAC-BAD, EAB=DAC, 在AEB和ADC中, AE=AD,EAB=DAC,AB=AC, AEBADC(SAS).,考点三 命题、推理与证明 例3 (2017新泰模拟)下列命题中,正确的是 ( C ) A.任意三点可以确定一个圆 B.菱形的对角线相等 C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D.平行四边形的四条边相等,解析 A.在同一直线上的三点不能确定一个圆,故错误; B.菱形的对角线垂直但不一定相等,故错误; C.正确; D.平行四边形的四条边不一定相等,故错误.,变式3-1 下列命题中,是真命题的为 ( A
10、) A.若ab,则c-ay2 D.甲、乙两名射击运动员分别射击10次,他们射击成绩的方差分 别为 =4, =9,乙的发挥比甲稳定,一、选择题 1.下列命题中,是真命题的为 ( B ) A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D.两条对角线相等的四边形是等腰梯形,随堂巩固训练,2.等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则它的周长为( C ) A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm或20 cm3.已知等腰三角形三边长分别为a、b、2,且a、b正好是关于x的 一元二次方程x2-6x+n-1=0的
11、两根,则n的值为 ( C ) A.9 B.10 C.9或10 D.8或10,4.如图,在ABC中,AC=4 cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N, BCN的周长是7 cm,则BC的长为 ( C )A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm,二、填空题 5.如图,已知ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上, 且CG=CD,DF=DE,则E = 15 .,解析 由DE=DF,CG=CD, 可知ACB=4E=60,所以E=15.,6.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20,则顶角 的度数是 110或70 .,解析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和, 即可求得顶角是90+20=110; 当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部, 故顶角是90-20=70.,三、解答题 7.以点A为顶点作两个等腰直角三角形(ABC,ADE),如图所示 放置,使得一直角边重合,连接BD,CE. (1)求证:BD=CE; (2)延长BD,交CE于点F,求BFC的度数.,解析 (1)证明:在ABD和ACE中, AD=AE,DAB=EAC,AB=AC, ABDACE, BD=CE. (2)ABDACE, ABD=ACE. 又ADB=CDF, ABD+ADB=ACE+CDF=90, BFC=90.,
