1、 第02讲 中考数学满分冲刺（二）冲刺技巧函数类问题中考函数类问题：中考函数有： 一次函数(包括正比例函数)和常值函数，它们所对应的图像是直线； 反比例函数，它所对应的图像是双曲线； 二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。 函数在中考压轴题中出现的形式： 关于反比例函数的值的几何意义； 一次函数、二次函数、反比例函数的综合； 函数与几何；满分点拨 典例分析一、 反比例函数问题：例1、如图，ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）.若函数在第一象限内的图像与ABC
2、有交点，则的取值范围是（ ）A. 2 B. 610 C. 26 D. 2【答案】A【考点】1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法的应用；23.曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式【分析】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，过点A（1，2）的反比例函数解析式为，k2随着k的增大，反比例函数的图象必须和BC直线有交点才能满足题意，经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为，联立，消去y，得.函数在第一象限内的图像与ABC有交点，方程有实数根.综上可知2k故选A例2、如图，反比例函数（x0）的图象经过点A（1，1），过点A作ABy轴，垂足为B，在y轴的正半轴上
3、取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B在此反比例函数的图象上，则t的值是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【考点】1.反比例函数的综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系； 3.等腰直角三角形的性质；4.轴对称的性质；5.方程思想的应用【分析】如答图，连接BB，PB，A点坐标为（1，1），k=11=1.反比例函数解析式为.OB=AB=1，OAB为等腰直角三角形. AOB=45.PQOA，OPQ=45.点B和点B关于直线l对称，PB=PB，BBPQ.BPQ=BPQ=45，即BPB=90. BPy轴，P（0，t），点B在反比例函数的图象上，
4、B点的坐标为（）.PB=PB，.整理得t2t1=0，解得（舍去）.t的值为故选A例3、如图，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边ABC，点C在第四象限随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线（k0）上运动，则k的值 【答案】6【分析】双曲线关于原点对称，点A与点B关于原点对称OA=OB如答图，连接OC，过点A作AEy轴，垂足为E，过点C作CFy轴，垂足为F，ABC是等边三角形，OA=OB，OCABBAC=60tanOAC=OC=OAAEOE，CFOF，OCOA，AEO=FOC，AOE=90FOC=OCFAEOOFCOF=
5、AE，FC=EO设点A坐标为（a，b），点A在第一象限，AE=a，OE=bOF=AE=a，FC=EO=b点A在双曲线上，ab=2FCOF=ba=3ab=6.设点C坐标为（x，y），点C在第四象限，FC=x，OF=yFCOF=x（y）=xy=6xy=6点C在双曲线上，k=xy=6例4、如图，反比例函数（k0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，SBEF=2，则k的值为 【答案】8.【考点】1.反比例函数系数k的几何意义；2.待定系数法的应用【分析】设E（a，），则B纵坐标也为，E是AB中点，F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，BF=. 点F为BC的中点，二、一次函
6、数、反比例函数与二次函数综合问题：例1、函数y=ax2+1与（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【答案】B【考点】1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用【分析】分a0和a0两种情况讨论：当a0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；位于第一、三象限，没有选项图象符合；当a0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；位于第二、四象限，B选项图象符合故选B例2、二次函数（b0）与反比例函数在坐标系中的图象（ ）A. B. C. D. 【答案】B【考点】1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系；2.数形结合思想的应用【分析】先根据各选项
7、中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而对各选项作出判断：当反比例函数经过第二、四象限时， a0，抛物线（b0）中a0，b0，抛物线开口向下. 所以A选项错误.当反比例函数经过第一、三象限时， a0，抛物线（b0）中a0，b0，抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方. 所以B选项正确，C，D选项错误.故选B 例3、如图 双曲线（k0）和抛物线y=ax2+bx（a0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（1，3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得PO
8、E+BCD=90？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，过B作直线lOB，过点D作DFl于点F，BD与OF交于点N，求的值【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx（a0）过B（3，1），C（1，3），解得：.抛物线的解析式为：.把B（3，1）代入（k0）得：，解得：k=3，双曲线的解析式为：（2）存在，设直线BC为，B（3，1），C（1，3），解得.直线BC为：y=x2，直线BC与坐标轴的交点（2，0），（0，2）.如答图，连接OB，过O作OMBC，则OM=.B（3，1），C（1，3），OB=OC=.CM=.tanCOM=.COM+BCD=90，POE+BCD=
9、90.POE=COM. tanPOE=2.P点是抛物线上的点，设P（p，）.，解得：. P（，1）.（3）直线CO过C（1，3），直线CO的解析式为y=3x.解得或（舍去）.D（1，3）.B（3，1），直线OB的斜率=.直线lOB，过点D作DFl于点F，DFOB.直线l的斜率=3，直线DF的斜率=.直线l过B（3，1），直线DF过D（1，3），直线l的解析式为y=3x+10，直线DF解析式为.解得，F（）.DF=.DFOB，NDFNBO. .OB=，【考点】1.二次函数和反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5.等腰三角形的性质；6.锐角三角函数
10、定义；7.相似三角形的判定和性质.【分析】（1）用待定系数法即可求得（2）过O作OMBC，则OM=，因为OB=OC=，根据勾股定理求得CM=，进而求得tanCOM=，所以tanPOE=2，从而求得P点的坐标（3）根据勾股定理求得DF、OB的长，根据DFOB得出即可求得例4、已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线（1）如图，抛物线y=x22x3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=2x2+1和
11、y=2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x22x3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）y=x23；y=x3（2）衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，联立，得，解得，或 .衍生抛物线y=2x2+1的顶点为（0，1），原抛物线的顶点为（1，1）设原抛物线为y=a（x1）21，y=a（x1）21过（0，1），1=a（01）21，解得 a=2.原抛物线为y=2
12、x24x+1（3）存在.N（0，3），MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=3.再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=2设点P坐标为（x，2），O（0，0），M（1，4），OM2=（xMxO）2+（yOyM）2=1+16=17，OP2=（|xPxO|）2+（yOyP）2=x2+4，MP2=（|xPxM|）2+（yPyM）2=（x1）2+4=x22x+5当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x22x+5，解得x=或x=，即P（，2）或P（，2）当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x22x+5，解得 x=9，即P（9，2）当MP2=OP2+OM2时，有x22x+5=x
13、2+4+17，解得 x=8，即P（8，2）综上所述，当P为（，2）或（，2）或（9，2）或（8，2）时，POM为直角三角形 【考点】1. 新定义；2.二次函数和一次函数综合问题；3.单动点、线动旋转和平移问题；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.二次函数的性质；7.勾股定理；8.分类思想的应用.基础夯实1、如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数（x0）的图象上，已知点B的坐标是（），则k的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【考点】1.正方形的性质；2反比例函数图象上点的坐标特征； 3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理【分析】如答
14、图，过点B作BEy轴于E，过点D作DFy轴于F，在正方形ABCD中，AB=AD，BAD=90，BAE+DAF=90DAF+ADF=90，BAE=ADF在ABE和DAF中，BAE=ADF，AEB=DFA，AB=AD，ABEDAF（AAS）AF=BE，DF=AE正方形的边长为2，B（），BE=，AE=OF=OE+AE+AF=点D的坐标为（，5）顶点D在反比例函数（x0）的图象上，k=xy=5=8故选C2、已知反比例函数的图像如图，则二次函数的图像大致（ ）A. B. C. D. 【答案】D.【考点】1.反比例函数的图象与性质；2. 二次函数的图象与性质；3.不等式的性质；4.数形结合思想的应用.
15、【分析】反比例函数的图像经过，.二次函数的图像开口向下，且对称轴为.，即对称轴在1与0之间. 故选D3、在平面直角坐标系中，函数y=x22x（x0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有 （ ）A. 1个 B. 1个或2个 C. 个或2个或3个 D. 1个或2个或3个或4个【答案】C【考点】二次函数图象与几何变换【分析】函数y=x22x（x0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是x=y22y，a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，共有一个交点；直线y=a经过C1的顶点时，共有两个交点；直线y=a（a为常数）与C1
16、、有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点故选C4、如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，Pn作P2B1A1P1，P3B2A2P2，P4B3A3P3，PnBn1An1Pn1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，Bn1，连接P1P2，P2P3，P3P4，Pn1Pn，得到一组RtP1B1P2，RtP2B2P3，RtP3B3P4，RtPn1Bn1Pn，则RtPn1Bn1Pn的面积为 【答案】【考点】1探索规律题（图形的变化类）；2曲线上点的坐标与方程的关系【分析】设OA
17、1=A1A2=A2A3=An2An1=a，x=a时，P1的坐标为（a，）x=2a时，y=2，P2的坐标为（2a，），RtP1B1P2的面积=，RtP2B2P3的面积=，RtP3B3P4的面积=，Pn1Bn1Pn的面积=5、如图，在RtOAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，P的圆心P在线段BC上，且P与边AB，AO都相切若反比例函数（k0）的图象经过圆心P，则k= 【答案】【分析】如答图，设P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，则有PDOA，PEAB设P的半径为r，AB=5，AC=1，SAPB=ABPE=r，SAPC=ACPD=rOAB=90，OA=4，AB=
18、5，OB=3SABC=ACOB=13=SABC=SAPB+SAPC，PD=PDOA，AOB=90PDC=BOC=90PDBOPDCBOC，即CD=OD=OCCD=点P的坐标为反比例函数（k0）的图象经过圆心P，k=6、如图，点E，F在函数的图象上，直线EF分别与轴、轴交于点A，B，且BE：BF=1：. 过点E作EP轴于P，已知OEP的面积为1，则值是 ，OEF的面积是 （用含的式子表示）【答案】2；.【考点】1.反比例函数综合题，2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.反比例函数的比例系数的几何意义；4.平行的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；6.转换思想的应用【分析】如答图，过点E作ECx
19、轴于C，过点F作FDx轴于D，过点作FHy轴于H，OEP的面积为1， |k|=1.k0，k=2. 反比例函数解析式为.EPy轴，FHy轴，EPFH. BPEBHF.设E点坐标为，则F点的坐标为，SOEF+SOFD=SOEC+S梯形ECDF，而SOFD=SOEC=1，7、如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线（）上（点B在点A的右侧），且ABx轴若四边形OABC是菱形，且AOC=60，则k= 【答案】【解析】试题分析：因为点A在双曲线（）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且AOC=60，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k=，故答案为：考点：1菱形的性质；2反比例
20、函数图象上点的坐标特征；3综合题满分冲刺1、如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x1交于A、B两点点A的横坐标为3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PCx轴于C，交直线AB于D（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2SBPD；（3）是否存在点P，使PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1） y=x1， x=0时，y=1， B（0，1）当x=3时，y=4， A（3，4） y=x2+bx+c与直线y=x1交于A、B两点， ，解得， 抛物线的解析式为：y=x2+4x1；（2） P点横坐标是m（m0），
21、 P（m，m2+4m1），D（m，m1）.如答图1，当点P在点D下方时，过点B作BEPC于点E， BE=m CD=1m，OB=1，OC=m，CP=14mm2. PD=14mm21+m=3mm2.若S四边形OBDC=2SBPD，则，解得：m1=0（舍去），m2=2，m3=.如答图2，当点P在点D上方时，过点B作BEPC于点E， BE=m PD=14mm2+1m=24mm2.若S四边形OBDC=2SBPD，则，解得：m=0（舍去）或m=3.综上所述，当m=，2或3时，S四边形OBDC=2SBPD.（3）设P（m，m 2+4 m1），则D（m，m1），分APD=90和PAD=90.如答图3，当APD
22、=90时，APx轴， ，即，解得，. .如答图4，当PAD=90时，过点A作AEx轴于E， AEF=90CE=，EF=4，AF=，PD= PCx轴， DCF=90. DCF=AEF. AECD . AD=PADFEA，.，解得m=2或m=3 P（2，5）或（3，4）（与点A重合，舍去）.综上所述，存在点P，使PAD是直角三角形，点P的坐标为或.【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.四边形和三角形的面积公式；5.直角三角形的判定和性质；6.平行的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想、数形结合思想和方程思想的应用.2、已知直线l：y=2，抛物线y
23、=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且过点（0，1），（2，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ONOM（ii）已知：如图，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，1），（2，0），解
24、得：. 抛物线的解析式为：.（2）如图，设P（），就有OE=p，PE=， PQl， EQ=2， QP=在RtPOE中，由勾股定理，得PO=， PO=PQ.（3）（i）如图， BNl，AMl， BN=BO，AM=AO，BNAM. BNO=BON，AOM=AMO，ABN+BAM=180BNO+BON+NBO=180，AOM+AMO+OAM=180， BNO+BON+NBO+AOM+AMO+OAM=360. 2BON+2AOM=180. BON+AOM=90. MON=90. ONOM.（ii）如答图，过点F作FHl于H，过点D作 DFl于G，交抛物线与F，过点F作FEDG于E， EGH=GHF=F
25、EG=90，FO=FG，FH=FO. 四边形GHFE是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，FO+FD=FH+FD. EG=FH. DEDF. DE+GEHF+DF. DGFO+DF， FO+FDFO+DF. F是所求作的点 D（1，1），F的横坐标为1. F（1，）【考点】1.二次函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理；4.等腰三角形的性质；5.三角形内角和定理；6.平行线的性质；7.矩形的判定和性质；8.三角形边角关系3、在平面直角坐标系中, 抛物线与直线交于A, B两点，点A在点B的左侧.（1）如图1，当时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上
26、的一个动点，且在直线AB下方，试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）.在直线上是否存在唯一一点Q，使得OQC=90？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）A（，0），B（2，3）（2）设P（x，）如答图1，过点P作PFy轴，交直线AB于点H，则H（x，x+1）当x=时， ABP面积最大值为，此时点P坐标为（）（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（，0），F（0，1），OE=，OF=1在RtEOF中，由勾股定理得：,令=0，即，解得：x=或x=1C（，0），OC=k假设存在唯一一点Q，使得OQC=90，如答图2，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时OQC=90设点N为OC中点，连接NQ，则NQEF，NQ=CN=ON=NEQ=FEO，EQN=EOF=90，EQNEOF.，即：，解得：. k0，.存在唯一一点Q，使得OQC=90，此时【考点】1.二次函数与一次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理；6.圆周角定理；7.直线与圆的位置关系；8.相似三角形的判定和性质；9.解一元二次方程.思考乐优学产品中心 初中组19
