1、 2017年春季初三年级数学教材 A版 第04讲 中考数学满分冲刺（四）冲刺技巧几何三大变换问题几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”， 最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系， 但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的
2、性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.满分点拨 典例分析一、 对称问题：例1、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为 （ ）A6 B12 C D【答案】D【考点】1.翻折变换（折叠问题）；2.翻折对称的性质；3.矩形的判定和性质；4.勾股定理；5.方程思想的应用【分析】设BE=x，则CE=BCBE=16x，沿EF翻折后点C与点A重合，AE=CE=16x.在RtABE中，AB2+BE2=AE2
3、，即82+x2=（16x）2，解得x=6，AE=166=10.由翻折的性质得，AEF=CEF，矩形ABCD的对边ADBC，AFE=CEF. AEF=AFE. AE=AF=10.如答图，过点E作EHAD于H，则四边形ABEH是矩形，EH=AB=8，AH=BE=6，FH=AFAH=106=4.在RtEFH中，故选D例2、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上，点D落在D处，CD交AE于点M若AB=6，BC=9，则AM的长为 【答案】【解析】试题分析：根据折叠的性质可知，FC=FC，C=FCM=90，设BF=x，则FC=FC=9x，解得：x=4，FCM=90，ACM+BCF
4、=90，又BFC+BCF=90，ACM=BFC，A=B=90，AMCBCF，BC=AC=3，AM=故答案为：考点：1翻折变换（折叠问题）；2综合题例3、如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中BAC=45，ACD=30，点E为CD边上的中点，连接AE，将ADE沿AE所在直线翻折得到ADE，DE交AC于F点若AB=6cm（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D到BC的距离【答案】解：（1）.（2）RtADC中，ACD=30，ADC=60，E为CD边上的中点，DE=AE，ADE为等边三角形.将ADE沿AE所在直线
5、翻折得ADE，ADE为等边三角形，AED=60.EAC=DACEAD=30，EFA=90，即AC所在的直线垂直平分线段ED.点E，D关于直线AC对称.如答图1，连接DD交AC于点P，此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD.ADE是等边三角形，AD=AE=，即DP+EP最小值为12cm.（3）如答图2，连接CD，BD，过点D作DGBC于点G，AC垂直平分线ED，AE=AD，CE=CD，AE=EC，AD=CD=.在ABD和CBD中，ABDCBD（SSS）.DBG=DBC=45.DG=GB.设DG长为xcm，则CG长为cm，在RtGDC中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）.点D到BC边的距离
6、为cm【考点】1. 翻折和单动点问题；2.勾股定理；3. 直角三角形斜边上的中线性质；4. 等边三角形三角形的判定和性质；5.轴对称的应用（最短线路问题）；6.全等三角形的判定和性质；7.方程思想的应用.【分析】（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：BAC=45，B=90，AB=BC=6cm，AC=12cm.ACD=30，DAC=90，AC=12cm，（cm）.点E为CD边上的中点，AE=DC=cm（2）首先得出ADE为等边三角形，进而求出点E，D关于直线AC对称，连接DD交AC于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最
7、小，进而得出答案.（3）连接CD，BD，过点D作DGBC于点G，进而得出ABDCBD（SSS），则DBG=45，DG=GB，进而利用勾股定理求出点D到BC边的距离二、平移问题：例1、如图，菱形ABCD的对角线AC4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为 （ ）A. 43 B. 32 C. 149 D. 179【答案】C【考点】1.面动平移问题；2.菱形的性质；3.平移的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.转换思想的应用【分析】MEAD，MECDAC. .菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得
8、到菱形EFGH，AE=1cm，EC=3cm. .图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：.例2、如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）A B C D【答案】B。【考点】面动问题的函数图象，由实际问题列函数关系式，矩形和等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，连接IE，根据题意，CD=3，EF=4，FI=x，EI=4x，易得，EG
9、HECD，即，。y关于x的函数图象是抛物线在的一段，且当x=4时，y=6。故选B。例3、如图，已知l1l2，O与l1，l2都相切，O的半径为2cm矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB4 cm，AD4cm若O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t(s)（1）如图，连接OA，AC，则OAC的度数为 ；（2）如图，两个图形移动一段时间后，O到达O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所
10、在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm)当d2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）【答案】解：（1）1050.（2）O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设O与AC的切点为E，连接O1E，如答图1，可得O1E=2，O1El1，在RtA1D1C1中，A1D1=4，D1C1=，tanC1A1D1=. C1A1D1=600. 在RtA1O1E中, O1A1E=C1A1D1=600. A1E=,，OO1=3t=.（3）如答图2，当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1.如位置一，此时O移动到O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置.设O2与直线l1、A2C2分别相
11、切于点F、G, 连接O2 F、O2 G、O2 A2，O2 Fl1、O2 GA2C2.又由（2）可得C2A2D2=600于，GA2F=1200. O2A2F=600.在RtO2A2F中，O2F=2，A2F=.OO2=3t1， ，解得.当点O1，A1，C1恰好在同一直线上时为位置二，设移动时间为t2.由（2）可得.当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t3. 如位置3，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等.，即，解得.综上所述，当d2时，t的取值范围为t.【考点】1.双面动平移问题；2.直线与圆的位置关系；3.锐角三角函数定义；4. 特殊角的三角函数值； 5.分类思想的
12、应用.三、旋转问题：例1、如图，已知ABC中，C=90，AC=BC=，将ABC绕点A顺时针方向旋转60到ABC的位置，连接CB，则CB的长为 （ ）A B C D1【答案】C【考点】1.旋转的性质；2. 等边三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理【分析】连接BB，根据旋转的性质可得AB=AB，判断出ABB是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB，然后利用“边边边”证明ABC和BBC全等，根据全等三角形对应角相等可得ABC=BBC，延长BC交AB于D，根据等边三角形三边合一的性质可得BDAB，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形
13、的性质求出BD、CD，然后根据BC=BDCD计算即可得解：如答图，连接BB，延长BC交AB于D，ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ABC，AB=AB，BAB=60. ABB是等边三角形. AB=BB，在ABC和BBC中，ABCBBC（SSS）. ABC=BBC. BDAB，C=90，AC=BC=，AB=.BD=，CD=2=1.BC=BDCD=故选C例2、如图，ABC绕点A顺时针旋转45得到，若BAC=90，AB=AC=， 则图中阴影部分的面积等于 .【答案】.【考点】1.旋转的性质；2.等腰直角三角形的性质；3.转换思想的应用.【分析】如答图，ABC绕点A顺时针旋转45得到ABC，BAC=90
14、，AB=AC=，BC=2，C=B=CAC=C=45.ADBC，BCAB，AD=BC=1，AF=FC=AC=1，图中阴影部分的面积等于：例3、如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQAB的延长线于点Q（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，PFDBFP，并说明理由【答案】解：（1）根据题意得：PD=PE，DPE=90，APD+QPE=90.四边形ABCD是正方形，A=90.ADP+APD=90. ADP=QPE.EQAB，A=Q=90.在ADP和QPE中，ADPQPE（AAS），PQ
15、=AD=1.（2）若PFDBFP，则，ADP=EPB，CBP=A，DAPPBF，. PA=PB. PA=AB=，当PA=时，PFDBFP【考点】1.线动旋转问题；2. 正方形的性质；3. 全等三角形、相似三角形的判定和性质；基础夯实1、如图，反比例函数（x0）的图象经过点A（1，1），过点A作ABy轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B在此反比例函数的图象上，则t的值是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【考点】1.反比例函数的综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系； 3.等腰直角三角形的性质；4.轴对称的
16、性质；5.方程思想的应用【分析】如答图，连接BB，PB，A点坐标为（1，1），k=11=1. 反比例函数解析式为.OB=AB=1，OAB为等腰直角三角形. AOB=45.PQOA，OPQ=45.点B和点B关于直线l对称，PB=PB，BBPQ，BPQ=BPQ=45，即BPB=90. BPy轴，P（0，t），点B在反比例函数的图象上，B点的坐标为（）.PB=PB，整理得t2t1=0，解得（舍去）.t的值为故选A2、如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱
17、形； EC平分DCH；线段BF的取值范围为3BF4； 当点H与点A重合时，EF=以上结论中，你认为正确的有个 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【考点】1翻折变换（折叠问题）；2矩形的性质；3翻折的性质；4菱形的判定和性质；5勾股定理；6分类思想和方程思想的应用【分析】FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，FHCG，EHCF四边形CFHE是平行四边形由翻折的性质得，CF=FH，四边形CFHE是菱形故正确BCH=ECH，只有DCE=30时EC平分DCH故错误点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8x，在RtABF中，AB2+BF2=AF2，即4
18、2+x2=（8x）2，解得x=3点G与点D重合时，CF=CD=4，BF=4线段BF的取值范围为3BF4故正确如答图，过点F作FMAD于M，则ME=（83）3=2，由勾股定理得，EF=故正确综上所述，结论正确的有共3个故选C3、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是 （ ）A BC D【答案】B【考点】1.面动平移问题的函数图象问题；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的性质和图象；4.分类思想和排它法的应用【分析】根据题目提供的条件
19、可以求出函数的解析式，根据解析式应用排它法判断函数的图象的形状：当t1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，.故排除选项D.当1x2时，重叠三角形的边长为2x，高为，它的图象是开口向上，顶点为的抛物线在1x2的部分. 故可排除选项A，C，故选B4、如图，把RIABC放在直角坐标系内，其中CAB=90， BC=5点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）将ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段BC扫过的面积为（ ）A4 B8 C16 D【答案】C【解析】试题分析：点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），AB=3，BC=5，CAB=90，AC=4，点C的坐标为（1，4），当点C落在直
20、线y=2x6上时，令y=4，得到4=2x6，解得x=5，平移的距离为51=4，线段BC扫过的面积为44=16，故选C考点：1一次函数综合题；2一次函数图象上点的坐标特征；3平行四边形的性质；4平移的性质5、如图，AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2，），底边OB在x轴上将AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB，点A的对应点A在x轴上，则点O的坐标为 （ ）A（，） B（，） C（，） D（，4）【答案】C.【考点】1.坐标与图形的旋转变化；2.勾股定理；3. 等腰三角形的性质；4.三角形面积公式【分析】利用等面积法求O的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标：如答图，过O作OFx
21、轴于点F，过A作AEx轴于点E，A的坐标为（2，），AE=，OE=2.由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，在RtABE中，由勾股定理可求AB=3，则AB=3，由旋转前后三角形面积相等得，即，OF=在RtOFB中，由勾股定理可求BF=，OF=.O的坐标为（）.故选C.6、如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，O2的半径为1，O1O2AB于点P，O1O2=6若O2绕点P按顺时针方向旋转360，在旋转过程中，O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现 （ ）A3次 B4次 C5次 D6次【答案】B【考点】1.面动旋转问题；2.直线与圆的位置关系；3.数形结合和分类思想的
22、应用【分析】根据题意作出图形，如答图，O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选B满分冲刺1、如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（6，0）RtCDE中，CDE=90，CD=4，DE=，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合RtCDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动解答下列问题：（1）如图（2），当RtCDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求BME的度数（2）如图（3），在RtCDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长（3）在RtCDE的运动过程中，设AC=h，OAB与CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积
23、S的最大值【答案】解：（1）如图2，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（6，0），OA=OB，OAB=45CDE=90，CD=4，DE=，OCE=60CMA=OCEOAB=6045=15BME=CMA=15（2）如图3CDE=90，CD=4，DE=，DEC=30DEx轴，OBC=DEC=30OB=6，BC=（3）当h2时，如答图1，作MNy轴交y轴于点N，作MFDE交DE于点F，CD=4，DE=，AC=h，AN=NM，CN=4FM，AN=MN=4+hFM，CMNCED，即解得S=SEDCSEFM=，此时，S最大=当时，如答图2，由（2）可知，在RtCDE的运动过程中，当CE经过点B时，B
24、C=，此时OC=，S=SABCSACM=，此时，S最大不超过当时，如答图3，S=SOCF =，此时，S最大不超过，面积S的最大值为综上所述，S与h之间的函数关系式为，面积S的最大值为【考点】1.面动平移问题；2.点的坐标；3. 锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值；5.相似三角形的判定和性质；6.由实际问题列函数关系式；7.二次函数的性质；8.分类思想、数形结合思想和转换思想的应用2、如图，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，1），另一顶点B坐标为（2，0），已知二次函数的图象经过B、C两点现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边ADy轴且经过点
25、B，直尺沿x轴正方向平移，当AD与y轴重合时运动停止（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边AD交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图，设点P为直尺的边AD上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当时，线段PA、PB、PC之间的数量关系请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D在抛物线外）【答案】解：（1）如图1，过点C作CDy轴于D，此时CDAAOB，CDAAOB，AD=BO=2，CD=AO=1.OD=OA+
26、AD=3，C（1，3）将B（2，0），C（1，3）代入抛物线，解得 b=，c=3.抛物线的解析式为（2）设lBC：y=kx+b，B（2，0），C（1，3），解得 .lBC：y=3x6.设M（xM，3xM6），N（xN，），xM=xN（记为x），yMyN，线段MN长度=3x6（）=（2x1），当x=时，线段MN长度为最大值（3）P在抛物线外时，BP2+CP2PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2PA2【考点】1.二次函数综合题；2.面动平移问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.待定系数法的应用；5.二次函数的性质；5.全等三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.
27、圆的性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想的应用【分析】（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得CDAAOB，所以C点坐标易知进而抛物线解析式易得（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求（3）如答图2，以Q点为圆心，为半径作Q，OB=2，OA=1，AC=AB=.BC=.BQ=CQ=.BAC=90，点B、A、C都在Q上P在抛物线外，如答图3，在抛物线外的弧BC上任找一点P，连接PB，PC，PA，BC为直径，BP2+CP2=BC2，B
28、CPA，BP2+CP2PA2P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，AC=AB=，AP=.BP+CP=BC=，BP+CP=APP在抛物线内，同理，BC为直径，BP2+CP2=BC2，BCPA，BP2+CP2PA23、如图，ABC与DEF是将ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）平移DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点（1）如图，ABC中，若AB=BC，且ABC=90，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图，ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说
29、明理由；（3）如图，ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论【答案】解：（1）EM=EN（2）EM=EN仍然成立证明如下：如答图2，过点E作EGBC，G为垂足，作EHAB，H为垂足，连接BE，则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180来源:Zxxk.ComHBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENBA=BC，点E为AC中点，BE平分ABC又EHAB，EGBC，EH=EG在HEM和GEN中，HEM=GEN，EH=EG，EHM=EGN，HEMGEN（ASA）EM=EN（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN=n：m证明如下：如答图
30、3，过点E作EGBC，G为垂足，作EHAB，H为垂足，连接BE，则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180HBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENHEM=GEN，EHM=EGN，HEMGENEM：EN=EH：EG点E为AC的中点， SAEB=SCEBABEH=BCEGEH：EG=BC：ABEM：EN=BC：ABAB：BC=m：n，EM：EN=n：m【考点】1面动平移和和旋转问题；2等腰三角形的性质；3角平分线的性质；4多边形内角和外角性质；5全等三角形的判定和性质；6相似三角形的判定和性质【分析】（1）由四边形的内角和为360可以推出HEM=GEN，由等腰三角
31、形的三线合一及角平分线的性质可以推出EH=EG，从而可以证到HEMGEN，进而有EM=EG：如答图1，过点E作EGBC，G为垂足，作EHAB，H为垂足，连接BE，则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180HBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENBA=BC，点E为AC中点，BE平分ABC又EHAB，EGBC，EH=EG在HEM和GEN中，HEM=GEN，EH=EG，EHM=EGN，HEMGEN（ASA）EM=EN（2）借鉴（1）的证明方法同样可以证到EM=EG（3）借鉴（2）中解题经验可以证到HEMGEN，从而有EM：EN=EH：EG由点E为AC的中点可得SAEB=SCEB，可证到EH：EG=BC：AB，从而得到EM：EN=BC：AB=n：m思考乐优学产品中心 初中组20
