1、 2017年春季初三年级数学教材 A版 第03讲 中考数学满分冲刺（三）冲刺技巧静态几何问题几何综合是中考必考题，大致可分为静态几何与动态几何，静态几何题主要考查学生综合运用几何知识的能力，以静态几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题： 1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）； 2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）； 3、几何计算问题； 满分点拨 典例分析一、 静态几何之三角形问题：例1、已知ABC的三条边长分别为3，4，6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这
2、样的直线最多可画 （ ）A. 6条 B. 7条C. 8条 D. 9条【答案】B【考点】1.作图（应用与设计作图）； 2.等腰三角形的判定和性质；3.分类思想的应用.例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则 （ ）A. B. C. D.【答案】A【考点】1. 等边三角形的判定和性质；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.勾股定理；5.比例的性质；6.方程思想的应用.【分析】如答图，连接AC，BD，MN，过点M作MHCN于点H，AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，A
3、M=AN=2，BM=BN=4.BAD=60，ABD和AMN都是等边三角形. MN=2，BAC=30.ABBC，ADCD，.设，则.，解得.故选A例3、如图，在ABC中，4AB=5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H若点H是AC的中点，则的值为 【答案】.【考点】1. 角平分线的性质；2. 全等三角形的判定和性质；3.相似三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质【分析】AD为角平分线，点D到AB、AC的距离相等，设为h 4AB=5AC，. BD=CD如答图，延长AC，在AC的延长线上截
4、取AM=AB，则有AC=4CM连接DM在ABD与AMD中，ABDAMD（SAS）.MD=BD=5m过点M作MNAD，交EG于点N，交DE于点KMNAD，CK=CD，KD=CDMD=KD，即DMK为等腰三角形. DMK=DKM由题意，易知EDG为等腰三角形，且1=2.MNAD，3=4=1=2.又DKM=3（对顶角），DMK=4. DMGN. 四边形DMNG为平行四边形.MN=DG=2FD点H为AC中点，AC=4CM，MNAD，AGHMNH. ，即. 二、静态几何之四边形问题：例1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO若
5、COB=60，FO=FC，则下列结论：FBOC，OM=CM；EOBCMB；四边形EBFD是菱形；MB：OE=3：2其中正确结论的个数是 （ ）A1 B2 C3 D4【答案】C.【考点】1. 矩形的性质；2.菱形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质； 4.锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值.【分析】如答图，连接OD，四边形ABCD是矩形，O为AC中点，B，O，D三点共线. OB=OC，又COB=60OBC是等边三角形.OB=BC=OC，OBC=60，又FO=FC，BF=BF. OBFCBF（SSS）.OBF与CBF关于直线BF对称.FBOC，OM=CM. 正确.OBC=60，ABO=3
6、0.OBFCBF，OBM=CBM=30.ABO=OBF.ABCD，OCF=OAE，OA=OC，易证AOECOF. OE=OF. OBEF. 四边形EBFD是菱形. 正确.EOBFOBFCB，EOBCMB不成立错误.OMB=BOF=90，OBF=30，MB=，OF=.OE=OF，MB：OE=3：2. 正确.综上所述，正确结论的个数是3，故选C例2、在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，
7、当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）【答案】解：（2）如答图1，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，ABC=60，BGF正三角形，GFBCADEDP=GFP在DPE和FPG中，EDP=GFP，DP=FP，DPE=FPG，DPEFPG（ASA）PE=PG，DE=FG=BGCDE=CBG=60，CD=CB，在CDE和CBG中，CD=CB，CDE=CBG=60，DE=BG，CDECBG（SAS）CE=CG，DCE=BCGECG=DCB=120PE=PG，CPPG，PCG=ECG=60PG=PC（3）猜想：PG=PC【考点】1.四边形综合题；2.菱形的
8、性质；3.等边三角形的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值三、静态几何之圆的问题：例1、如图，是某公园的一角，AOB=90，的半径OA长是6米，点C是OA的中点，点D在上，CDOB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是 ( )A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2【答案】A【考点】1三角形和扇形面积的计算；2平行的性质；3含30度直角三角形的性质；4转换思想的应用【分析】如答图，连接OD，AOB=90，CDOB，OCD=180AOB=18090=90点C是OA的中点，OC=OA=OD=6=3CDO=30，COD=9030=60CD=OC=CDOB，
9、BOD=CDO=30S阴影= S扇形OBD +SCOD =（米2）故选A例2、如图，AB是O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作O的切线，切点为F若ACF=65，则E= 【答案】50【解析】试题分析：连接DF，连接AF交CE于G，AB是O的直径，且经过弦CD的中点H，EF是O的切线，GFE=GFD+DFE=ACF=65，FGD=FCD+CFA，DFE=DCF，GFD=AFC，EFG=EGF=65，E=180EFGEGF=50， 故答案为：50考点：切线的性质例3、如图，O是ABC的外接圆，AC是直径，过点O作ODAB于点D，延长DO交O于点P，过点P作PEAC于点E，作射线DE
10、交BC的延长线于F点，连接PF.（1）若POC=60，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留）.（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是O的切线.【答案】解：（1）AC=12， CO=6.劣弧PC的长=2.（2）证明： ODAB，PEAC，ADO=PEO=90.在ADO和PEO中， ADOPEO（AAS）. OD=OE.（3）证明：如答图，连接PC，AC是直径，BCAB.又 ODAB， PDBF.OPC=PCF，ODE=CFE.由（2）知OD=OE，则ODE=OED.又OED=FEC，FEC=CFE. EC=FC. OP=OC， OPC=OCE. PCE =PCF.在PCE和PFC中，PCE
11、PFC（SAS）. PFC =PEC=90. PDB=B=90，四边形DBFP是矩形. DPF=90即OPPF. PF是O的切线.【考点】1.弧长的计算；2.圆周角定理；3.平行的判定；4. 三角形全等的判定和性质；5. 矩形的判定和性质；6. 切线的判定.基础夯实1、ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A4 B4或5 C5或6 D6【答案】B【解析】 试题分析：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，ABC的面积是S，那么a=，b=，c=，又abca+b，即，解得3h6，h=4或h=5，故选B考点：1一元一次不等式组的整数解；2三角形
12、的面积；3三角形三边关系；4综合题2、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AEEF，AE=EF，现有如下结论：BE=GE；AGEECF；FCD=45；GBEECH其中，正确的结论有（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】 试题分析：四边形ABCD是正方形，B=DCB=90，AB=BC，AG=CE，BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，错误；BG=BE，B=90，BGE=BEG=45，AGE=135，GAE+AEG=45，AEEF，AEF=90，BEG=45，AEG+FEC=45，GAE=FEC，在GAE和CEF中，AG=CE，GAE=CEF，AE=EF
13、，GAECEF，正确；AGE=ECF=135，FCD=13590=45，正确；BGE=BEG=45，AEG+FEC=45，FEC45，GBE和ECH不相似，错误； 即正确的有2个故选B考点：1全等三角形的判定与性质；2正方形的性质；3相似三角形的判定与性质；4综合题3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点】1.正方形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.转换思想的应用【分析】如答图，过点E作EMB
14、C于点M，EQCD于点Q，四边形ABCD是正方形，BCD=90.又EPM=EQN=90，PEQ=90.PEM+MEQ=90. FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90.PEM=NEQ，AC是BCD的角平分线，EPC=EQC=90.EP=EN，四边形MCQE是正方形.在EPM和EQN中，EPMEQ（ASA）.SEQN=SEPM.四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积.正方形ABCD的边长为a，AC=a.，EC=2AE，EC=a. EP=PC=a，正方形MCQE的面积=. 四边形EMCN的面积=.故选D4、如图ABCD的对角线ACBD交于点O，平分BAD交BC于点E，且ADC=600
15、，AB=BC，连接OE下列结论：CAD=30，SABCD=ABAC，OB=AB，OE=BC，成立的个数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】 试题分析：四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC=60，BAD=120，AE平分BAD，BAE=EAD=60，ABE是等边三角形，AE=AB=BE，AB=BC，AE=BC，BAC=90，CAD=30，故正确；ACAB，SABCD=ABAC，故正确，AB=BC，OB=BD，BDBC，ABOB，故错误； CE=BE，CO=OA，OE=AB，OE=BC，故正确故选C考点：1平行四边形的性质；2等腰三角形的判定与性质；3等边三角形的判定与性
16、质；4含30度角的直角三角形；5综合题5、如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB=30，CD=，则S阴影=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点】1.扇形面积的计算； 2. 垂径定理；3.含30度角直角三角形的性质； 4.转换思想的应用【分析】如答图，CDAB，交AB于点E，AB是直径，CD=，CE=DE=CD=，又CDB=30，COE=60，OE=1，OC=2，BE=1，SBED=SOEC，S阴影=S扇形BOC= 故选D6、如图，在四边形ABCD中，AD4，CD3，ABCACBADC45，则BD的长为 .【答案】.【分析】根据等式的性质，可得BAD与CAD的关系，根据SAS，可得B
17、AD与CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD的关系，根据勾股定理，可得答案：如答图，作ADAD，AD=AD，连接CD，DD，ABCACB45，BA=BC.BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD与CAD中，BADCAD（SAS）.BD=CD在RtADD中，由勾股定理得.DDAADC45，DDC90.在RtCDD中，由勾股定理得， BD=CD=.满分冲刺1、在RtABC中，A=90，有一个锐角为60，BC=6若P在直线AC上（不与点A，C重合），且ABP=30，则CP的长为 【答案】，或6.【考点】1. 含30度直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股
18、定理；4. 分类思想的应用【分析】根据题意画出图形，分四种情况讨论：如答图1：当C=60时，ABC=30，P点在线段AC上，ABP不可能等于30，只能是P点与C点重合，与条件相矛盾.如答图2：当C=60时，ABC=30，P点在线段CA的延长上.RtABC中，BC=6，C=30，AC=BC=6=3.在ABC和ABP中，ABP=ABC=30，AB=AB，CAB=PAB=90，ABCABP（ASA）.AC=AP=3. CP=ACAP=33=6.如图3：当ABC=60时，C=30，P点在线段AC上.RtABC中，BC6，C=30，AB=BC=6=3.ABP30，AP=BP，PBC=ABCABP=603
19、0=30=C. PC=PB.在RtABP中， ，解得PB=.PC=PB=.来源:Z,xx,k.Com如答图4：当ABC=60时，C=30，P点在线段CA的延长线上.ABP=30，ABC=60，PBC是直角三形，C=30，PBPC. 在 RtPBC中，PC2PB2=BC2，解得PC=.综上所述，CP的长为，或6.2、矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点P是直线BD上一点，且DP=DA，直线AP与直线BC交于点E，则CE= 【答案】或【考点】1.矩形的性质；2.等腰三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.平行的性质；5.分类思想和数形结合思想的应用【分析】矩形ABCD中，AB=2，AD=1，由勾股
20、定理得：BD=如答图所示，以点D为圆心，DA长为半径作圆，交直线BD于点P1、P2，连接AP1、P2A并延长，分别交直线BC于点E1、E2DA=DP1，1=2ADBC，4=3.又2=3，3=4.BE1=BP1=. CE1=BE1BC=.DA=DP2，5=6.ADBC，5=7. 6=7.BE2=BP2=. CE2=BE2+BC=综上所述，CE=或3、【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分DAM【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长
21、与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明【答案】解：（1）证明：如答图1，延长AE、BC交于点N，四边形ABCD是正方形，ADBCDAE=ENCAE平分DAM，DAE=MAEENC=MAEMA=MN在ADE和NCE中，DAE=CNE，AED=NEC ，DE=CE，ADENCE（AAS）AD=NC MA=MN=NC+MC=AD+MC（2）AM=DE+BM成立证明如下：如答图2，过点A作AFAE，交CB的延长线于点F，四边形ABCD是正方形，BAD=D=ABC=90，AB=AD，ABDCAFAE，FAE=90FAB=90BAE=DA
22、E 在ABF和ADE中，FAB=EAD，AB=AD，ABC=D=90， ABFADE（ASA）BF=DE，F=AEDABDC，AED=BAE FAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAMAM=FMAM=FB+BM=DE+BM（3）AM=AD+MC仍然成立，结论AM=DE+BM不成立【考点】1四边形综合题；2角平分线的定义；3正方形的性质；4矩形的性质；5平行线的性质；6全等三角形的判定和性质；7反证法的应用4、如图，ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，PAC=B，AD为O的直径，过C作CGAD于E，交AB于F，交O于G。（1）判断直线PA与O的位置关系，
23、并说明理由；（2）求证：AG2=AFAB；（3）求若O的直径为10，AC=2，AB=4，求AFG的面积.【答案】解：（1）PA与O相切理由如下：如答图1，连接CD，AD为O的直径，ACD=90.D+CAD=90.B=D，PAC=B，PAC=D.PAC+CAD=90，即DAPA.，点A在圆上，PA与O相切（2）证明：如答图2，连接BG，AD为O的直径，CGAD，AGF=ABG，GAF=BAG，AGFABG，AG：AB=AF：AG. AG2=AFAB.（3）如答图3，连接BD，AD是直径，ABD=90.AG2=AFAB，AG=AC=2，AB=4，AF=.CGAD，AEF=ABD=90.EAF=BAD，AEFABD. ，即，解得：AE=2，.，【考点】1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.思考乐优学产品中心 初中组14
