1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第12讲-相似三角形的判定授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握相似三角形的三种判定方法； 熟练应用三种判定方法进行解题； 提高学生几何综合证明的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架 二、知识概念（一）相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形 1、相似三角形是相似多边形中的一种； 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； 3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； 4、相似用“”表示，读作“相似于
2、”； 5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。（二）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 （三）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DEBC，则ADEABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知1=B，则由公共角A得，ADEABC （2）如下左图，已知1=B，则由公共角A得，ADCACB
3、 （3）如下右图，已知B=D，则由对顶角1=2得，ADEABC 3、旋转型：已知BAD=CAE，B=D，则ADEABC， 右图为常见的基本图形 4、母子型：已知ACB=90，ABCD，则CBDABCACD 5、斜交型： 如图：其中1=2，则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 典例分析 考点1：三角形相似判定方法的运用例1、如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，则图中相似三角形共有（） A1对 B2对 C3对 D4对【解析】C ABCAC
4、D，ACDCBD，ABCCBD，所以有三对相似三角形例2、如图，下列条件不能判定ADBABC的是（） AABD=ACB BADB=ABC CAB2=ADAC D=【解析】 D 根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可例3、已知：在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：AOECOF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形【解析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形A
5、ECD为平行四边形，即可得AOECOF； （2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由ABE=90，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形例4、如图，在ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD（1）通过计算，判断AD2与ACCD的大小关系； （2）求ABD的度数【解析】（1）（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与ACCD的值， 从而可得到AD2与ACCD的关系；（2）AD=BC，AD2=ACCD，BC2=ACCD，即又C=C，BCDACB，DBC=ADB=CB=ADA=ABD，C=BDC
6、设A=x，则ABD=x，DBC=x，C=2xA+ABC+C=180，x+2x+2x=180解得：x=36ABD=36 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用考点2：网格图中相似三角形的判定例1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（） A B C D【解析】B. 此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用例2、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1
7、，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是（）A两人都对B两人都不对C甲对，乙不对D甲不对，乙对【解析】A例3、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上（1）判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）【解析】（1）首先根据小正方形的边长，求出ABC和DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例.（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；DP
8、2P5，P5P4F，DP2P4，P5P4D，P4P5P2，FDP1考点3：动态探究问题 例1、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A（6，0）B（6，3）C（6，5）D（4，2）【解析】B例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0t6），那么当t为何值时，APQ与ABD相似？说明理由【解析】由题意可设AP=2tcm，DQ=tc
9、m，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值， 当 =时，APQABD， =，解得：t=3； 当=时，APQADB，=，解得：t=1.2 当t=3或1.2时，APQ与ABD相似P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列命题中，是真命题的为（） A锐角三角形都相似 B直角三角形都相似 C等腰三角形都相似 D等边三角形都相似【解析】D2、 如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F过点E作EGBC，交AB于G，则图中相似三角形有（） A4对 B5对 C6对 D7对【解析】图中相似三角形有ABCCDA，AGEABC，AFEC
10、BE，BGEBAF，AGECDA共5对4、如图，已知AB=AC，A=36，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M下列结论：BD是ABC的平分线；BCD是等腰三角形；ABCBCD；AMDBCD正确的有（）个 A4 B3 C2 D1【解析】B正确；错误 首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得ABD是等腰三角形，即可求得ABD的度数，又由AB=AC，即可求得ABC与C的度数，则可求得所有角的度数，可得BCD也是等腰三角形，则可证得ABCBCD 此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质等知识此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想
11、的应用5、如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（） A1 B2 C3 D4【解析】D如图，OAB=BAC1，AOB=ABC1时，AOBABC1 如图，AOBC，BAAC2，则ABC2=OAB，故AOBBAC2； 如图，AC3OB，ABC3=90，则ABO=CAB，故AOBC3BA；如图，AOB=BAC4=90，ABO=ABC4，则AOBC4AB6、如图，点C是线段AB上一点，ACD和BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F（1）求证：ACEDCB； （2）求证：ADFBAD【
12、解析】本题考查了全等三角形的判定与性质有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等7、如图：已知ABDB于B点，CDDB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长【解析】根据已知可以分PDCABP或PCDPAB两种情况进行分析ABDB，CDDBD=B=90，设DP=x，当PD：AB=CD：PB时，PDCABP，=，解得DP=2或12，当PD：PB=CD：AB时，PCDPAB，=，解得DP=5.
13、6 DP=5.6或2或12 课后反击1、下列命题中，真命题是（）同旁内角互补，两直线平行三角形任意两边之和不小于第三边；两条对角线平分的四边形是平行四边形；两边及其中一角对应相等的两个三角形全等；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 A B C D【解析】A2、如右图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是（） A. APBEPC B. APE90 B. C. P是BC的中点 D. BPBC23【解析】C 4、如图，在ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似
14、三角形共有（） A2对 B3对 C4对 D5对【解析】AGBFGH，HEDHBC，HEDBEA，AEBHBC，共4对故选C5、下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（） A B C D【解析】B6、如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N下列结论错误的是（） A四边形EDCN是菱形 B四边形MNCD是等腰梯形 CAEM与CBN相似 DAEN与EDM全等【解析】D 首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BECD，ADBC，ACDE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是
15、菱形即可证得A正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得B正确，利用SSS即可判定D正确，利用排除法即可求得答案7、如图，在RtABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45，将ADC绕点A顺时针旋转90后，得到AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（） EAF=45； ABEACD； AE平分CAF； BE2+DC2=DE2 A1个 B2个 C3个 D4个【解析】B正确.需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：全等三角形；等腰直角三角形；等边三角形据旋转的性质知CAD=BAF，因为BAC=90，DAE=45，所以CAD+BAE=45，可得EAF=45；因为CAD与BAE不一定相等，所
16、以ABE与ACD不一定相似；根据SAS可证ADEAFE，得AED=AEF；DE=EF；BF=CD，EF=DE，FBE=90，根据勾股定理判断8、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长【解析】（1）利用正方形的性质，可得A=D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得ABEDEF；（2）ABCD为正方形，EDBG， ，又DF=DC，正方形的边长为4，ED=2，CG=6，BG=BC+CG=109、已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=
17、AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P求证：PBDAMN【解析】利用SAS可证出BAECAD，可知BE、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证AMN是等腰三角形（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变（3）证明：在图中正确画出线段PD，由（1）同理可证ABMAC
18、N，CAN=BAM BAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是顶角相等的等腰三角形PBD和AMN都为顶角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN直击中考 1、【2015海南】如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（） A0对 B1对 C2对 D3对【解析】EAPEDC，EAPCBP，EDCCBP，故有3对.2、【2014贵阳】如图，在方格纸中，ABC和EPD的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点P所在的格点为（） AP1 BP2 CP3 DP4【解析】C3、【2011深圳】如图，每个小
19、正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC相似的是（） AB C D【解析】B4、【2016河北】如图，ABC中，A=78，AB=4，AC=6将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A B C D【解析】C5、【2014宿迁】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（） A1个 B2个 C3个 D4个【解析】C. 由于PAD=PBC=90，故要使PAD与PBC相似，分两种情况讨论：APDBPC，APDBCP，这两种情况都可以根据相
20、似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数设AP的长为x，则BP长为8x若AB边上存在P点，使PAD与PBC相似，那么分两种情况：若APDBPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8x）=3：4，解得x=；若APDBCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8x），解得x=2或x=6点P的个数是3个6、【2013贵阳】如图，M是RtABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，这样的直线共有（） A1条 B2条 C3条 D4条【解析】C.截得的三角形与ABC相似， 过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意 过点M作直线l共有三条S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、相似三角形的概念及三种判定方法； 2、常见三角形相似的类型有： 平行线型、相交线型、旋转型、母子型、斜交型、垂直型名师点拨 1、熟练掌握相似三角形三种判定方法的特征及条件是学好本部分内容的关键所在； 2、本部分内容综合性较强，灵活度较高，是中考必考重点内容，具有不畏难、战胜困难的心态是前提； 3、三角形相似是解答题压轴题必考知识点之一，也是选择题压轴题常考知识点之一，应引起足够重视。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 13
