1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第05讲-图形的相似授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度； 掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度； 掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明； 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题； 理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质（二）平行线分线段成比例定理 1.两
2、条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，等等。3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DEBC，则有（四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边
3、对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DEBC，则ADEABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知1=B，则由公共角A得，ADEABC （2）如下左图，已知1=B，则由公共角A得，ADCACB （3）如下右图，已知B=D，则由对顶角1=2得，ADEABC 3、旋转型：已知BAD=CAE，B=D，则ADEABC， 右图为常见的基本图形 4、母子型：已知ACB=90，ABCD，则CBDABCACD 5、斜交型： 如图：其中1=2
4、，则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割（七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高（九）图形的位似
5、1、位似图形的定义 2、图形位似的性质考点一：成比例线段与平行线分线段成比例例1、（1）已知=，求的值 （2）已知=，求的值【解析】（1）=， b=a，则=；（2）设=a，则x=2a，y=3a，z=4a，=例2、如图，在ABC中，D为AB上的一点，过点D作DEBC交AC于点E，过点D作DFAC交BC 于点F，则下列结论错误的是（）A= B= C= D=【解析】C考点二：三角形相似的条件例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD则图中相似三角形的对数是（）A1 B2 C3 D4【解析】有三对相似三角形，RtABERtDEF，RtABERtEBF，RtEBFRt
6、DEF理由如下：设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，在RtBCF中，BF=5a， 在RtABE中，BE=2a，在RtDEF中，EF=a， BE2+EF2=BF2，BEF为直角三角形，BEF=90，=2，=2， =， RtABERtDEF，同理得=，RtABERtEBF， RtEBFRtDEF 故选：C例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0t6），那么当t为何值时，APQ与ABD相似？说明理由【解析】设A
7、P=2tcm，DQ=tcm，AB=12cm，AD=6cm，AQ=（6t）cm，A=A， 当 =时，APQABD，=，解得：t=3；当 =时，APQADB，=，解得：t=1.2当t=3或1.2时，APQ与ABD相似考点三： 利用三角形相似测高例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A3.25m B4.25m C4.45m D4.75m【解析】如
8、图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，BD=0.96，树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，x=4.45，树高是4.45m故选C例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度【解析】由题意可得：DEFDCA，则=，DE=0.5
9、米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m考点四：相似三角形的性质与位似 例1、如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积9 cm2【解析】9 cm2例2、有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的RtABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A B C D【解析】如图，过点B作BPAC，垂足为P，BP交DE于QSABC=ABBC=ACBP，BP=DEAC，BDE=A，BED=C，BDEBAC，设DE=x，
10、则有：，解得x=，故选：D例3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，6），B（9，3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点A的对应点A的坐标是（）A（1，2） B（9，18）C（9，18）或（9，18） D（1，2）或（1，2）【解析】A（3，6），B（9，3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，点A的对应点A的坐标为（3，6）或3（），6（），即A点的坐标为（1，2）或（1，2）故选DP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、已知，则的值是（）A B C D【解析】D2、如图所示，ABC中若DEBC，EFAB，则下列比例式正确的是（）A
11、 B C D【解析】C3、如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则这样的P点共有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】设AP=x，则有PB=ABAP=7x，当PDACPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当PDAPCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C4、如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DEAC，AE、CD相交于点O，若SDOE：SCOA=1：25，则SBDE与SCDE的比是（）A1：3 B1：4 C1：5 D1：25【解析】B5、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上
12、的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（）A第4张 B第5张 C第6张 D第7张【解析】正方形中平行于底边的边是4，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则 =，解得x=5，所以另一段长为255=20，因为204=5，所以是第5张故选：B6、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A（3，2） B（3，1） C（2，2） D（4，2）【解析】A7、如图所示，RtAB
13、C中，已知BAC=90，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作ADE=45，DE交AC于点E（1）求证：ABDDCE；（2）当ADE是等腰三角形时，求AE的长【解析】（1）B=C=45EDC=BADABDDCE（2）讨论：若AD=AE时，DAE=90，此时D点与点B重合，不合题意若AD=DE时，ABD与DCE的相似比为1，此时ABDDCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=ACEC=2BD=2（22）=42若AE=DE，此时DAE=ADE=45，如下图所示易知ADBC，DEAC，且AD=DC由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=18、如图，一位同学想利用树影测
14、量树AB的高，他在某一时刻测得直立于地面上的一根长为1m的竹竿影长为0.9m，但他马上测量树AB的影长时，因树AB靠近一幢建筑物，有一部分影子落在建筑物的墙上，他先测得落在建筑物墙上的影高CD为1.2m，又测得落在地面上的影长为2.7m，求树AB的高【解析】过D作DEBC交AB于点E，设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，=，解得x=1.08（m），树的影长为：1.08+2.7=3.78（m），解得h=4.2（m）答：AB测的树高为4.2米 课后反击1、在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域
15、表示的实际面积是（）A2000000cm2 B20000m2 C4000000m2 D40000m2【解析】B2、已知=，那么下列等式中不一定正确的是（）A2x=5y B= C= D=【解析】D3、如图，ABEFCD，BC、AD相交于点O，F是AD的中点，则下列结论中错误的是（）A= B= C= D=【解析】C4、如图，在ABC与ADE中，BAC=D，要使ABC与ADE相似，还需满足下列条件中的（）A= B= C= D=【解析】C5、如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A2 B3 C4 D5【解
16、析】DE=8，EF=DEDF=3，故选：B6、兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A9.5米 B10.75米 C11.8米 D9.8米【解析】根据题意可构造相似三角形模型如图：延长FE交AB于G，则RtABCRtAGF，AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.5GF=0.5AG又GF=GE+EF，BD=GE GF=4.6 AG=9.2AB=AG+GB
17、=9.5，即树高为9.5米故选A7、如图，在ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时QBP与ABC相似？【解析】设经过t秒时，以QBC与ABC相似，则AP=2t，BP=82t，BQ=4t，PBQ=ABC，当=时，BPQBAC，即=，解得t=2（s）；当=时，BPQBCA，即=，解得t=0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，QBC与ABC相似8、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米当她与镜子
18、的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）【解析】如图，根据反射定律知：FEB=FED，BEA=DECBAE=DCE=90BAEDCE；CE=2.5米，DC=1.6米，； AB=12.8大楼AB的高为12.8米直击中考1、【2011深圳】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC相似的是（ ） A B C D【解析】B2、【2006深圳】如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已
19、知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）A4.5米 B6米 C7.2米 D8米【解析】GCDABD（两个角对应相等的两个三角形相似），设BC=x，则，同理，得，x=3，AB=6故选：B3、【2011深圳】如图，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ）A：1 B：1 C5：3 D不确定【解析】连接OA、OD，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，AOBC，DOEF，EDO=30，BAO=30，OD：OE=OA：OB=：1，DOE+EOA=BOA+EOA即DOA=EOB，DOAEOB，OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1故选：A4
20、、【2016深圳】如图，CB=CA，ACB=90，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S四边形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正确的结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【解析】FGAACD（AAS），AC=FG，正确；BC=AC，FG=BC，ACB=90，FGCA，FGBC，四边形CBFG是矩形，CBF=90，SFAB=FBFG=S四边形CBFG，正确；CA=CB，C=CBF=90，ABC=ABF=45，正确；FQE=DQB=ADC，E=C=90，ACDFEQ，AC：AD=FE：FQ，ADFE=AD2=FQAC，正确；故选：DS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 成比例线段 2、平行线分线段成比例3、 三角形相似的条件 4、利用三角形相似测高5、相似三角形的性质与位似 名师点拨 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型，掌握对应的性质，并多加练习和总结，是解决本章内容的关键；对于动点类的题，以不变的数量关系，列方程解决，克服畏难心理是前提。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14
