1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第13讲-相似三角形的性质、应用与位似授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握相似三角形的性质； 掌握利用相似三角形测高的常见模型； 了解位似及相关特征； 进一步提高综合分析问题的能力及将数学应用到实际生活中的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、知识框架 二、知识概念（一）黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC)，如果ACAB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，
2、黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个.（二）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（三）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”. 3、利用镜子原理测量物高 借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.（四）图形的位似 1、位似图形的定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶
3、点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2、图形位似的性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 （1）位似图形对应线段的比等于相似比； （2）位似图形的对应角都相等；（3）位似图形对应点连线的交点是位似中心； （4）位似图形面积的比等于相似比的平方；（5）位似图形高、周长的比都等于相似比； （6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上。典例分析 考点一：黄金分割例1、已知线段AB=8，点C是AB的黄金分割点，则AC= 【解析】根据黄金分割点的概念，应有两
4、种情况，当AC是较长线段时，AC=4=22；当AC是较短线段时，则AC=42+2=62故本题答案为：22或62例2、如图，在ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由【解析】点E是线段AB的黄金分割点证明（略）考点二：相似三角形的性质例1、两个相似三角形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个三角形的周长分别是（）A8cm和12cm B7cm和13cm C9cm和11cm D6cm和14cm【解析】A例2、以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFB
5、O2，如此作下去，则所作的第n个正方形的面积Sn= 【解析】正方形ABCD的边长为1， AB=1，AC=，AE=AO1=，则：AO2=AB=，S2=，S3=，S4=，作的第n个正方形的面积Sn=故答案为：考点三：利用三角形相似测高 例1、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。【解析】过点D作DEAB于E，根据题题意得：四边形BCDE是矩形，BE=CD=1.8m， 解得：AE=4，AB=AE+BE=4+1.8=5
6、.8（m），树高AB为5.8m例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度【解析】由题意可得：DEFDCA，则=，DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），旗杆的高度为11.5m例3、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜
7、，镜子与教学大楼的距离AE=20米当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）【解析】根据反射定律知：FEB=FED，BEA=DECBAE=DCE=90BAEDCE；CE=2.5米，DC=1.6米，； AB=12.8大楼AB的高为12.8米考点四：图形的位似 例1、对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P，Q，保持PQ=PQ，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（）A平移 B旋转 C轴对称 D位似【解析】位似变换的性质：位
8、似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，故选：D例2、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A（3，2） B（3，1） C（2，2） D（4，2）【解析】 正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图 形，且相似比为，=，BG=6，AD=BC=2，ADBG，OADOBG，=，=，解得：OA=1，OB=3，C点坐标为：（3，2），故选：AP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、将一个三角形改成与它相似的三角形，如果
9、面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A9倍 B3倍 C81倍 D18倍【解析】B2、己知两个相似三角形周长的比为3：2，其中较小的三角形面积为12，则较大的三角形的面积是（）A27 B24 C18 D16【解析】A3、已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为，则ABC与DEF对应中线的比为（）A B C D【解析】A4、如图，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，已知OB=3OB，则ABC与ABC的面积比为（）A1：3 B1：4 C1：5 D1：9【解析】OB=3OB，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，ABCABC，=，故选D5、如图，为了测量一水塔的高度，小强用
10、2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为10米【解析】BCAD，EDAD，BCDE，ABCADE，即，DE=10，即水塔的高度是10米6、两个相似三角形周长之比为49，面积之和为291，则面积分别是 。【解析】48 ； 2437、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的长度【解析】过N点作NDPQ于D，如图所示：，又AB=2，BC=1.6，DN=PM=1.2，NM=0.8，QD=
11、1.5，PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+1=2.5（m）木竿PQ的长度为2.5m8、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上求这个正方形零件PQMN面积S.【解析】PN与AD交于点E，如图，设MN=xmm，易得四边形MNED为矩形，则ED=MN=x，AE=ADED=80x，PNBC，APNABC，=，即=，PN=（80x），PN=MN，（80x）=x，解得x=48故正方形零件PQMN面积S为：4848=2304（mm2）9、“福龙丽景”的居民筹集资金650
12、元，计划在楼前一块上底5m、下底10m的梯形（如图）空地上种植花草，美化环境（1）试求AED与BEC的面积比；（2）他们在AED和BEC地带上种康乃馨，单价为10元/m2，共花250元若其余地带（ABE和DCE）可种兰花或茉莉花，单价分别为20元/m2、15元/m2，那么应选择种哪种花，刚好用完所筹集资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形（如图），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APBDPC，SAPD=SBPC，并说明理由【解析】（1）梯形ABCD的边ADBC，AEDBEC，AED与BEC的面积比=（AD：BC）2=（5：10）2=1：4；（2）设AED的边AD上的高为h，AED
13、BEC，BEC的边BC上的高为h=2h，5h+102h=25010，解得h=2，梯形的高为h+2h=2+22=6，ABE和DCE的面积之和=（5+10）625010=4525=20m2，所种花的单价=（650250）20=20元/m2，答：选择种兰花，刚好用完所筹集资金；（3）APBDPC，点P在对称轴上，AD=5cm，BC=10cm，SAPD=SBPC，点P到AD的距离等于到BC的距离的2倍，点P的位置如图所示 课后反击1、如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB，若AB=1，则AP长约为（） A1 B0.618 C0.5 D0.382【解析】由于P为线段AB=1的黄金分割点，且AP是
14、较长线段； 则AP=AB=0.6182、两个相似三角形，他们的周长分别是36和12周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）A52 B54 C56 D58【解析】B3、已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（） A45cm，65cm B90cm，110cm C45cm，55cm D70cm，90cm【解析】B4、如图，M是RtABC 的斜边BC上一点（M不与B、C重合），过点M作直线截ABC，所得的三角形与ABC相似，这样的直线共有（）A0条 B2条 C3条 D无数条【解析】C5、
15、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，6），B（9，3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点A的对应点A的坐标是（）A（1，2） B（9，18）C（9，18）或（9，18） D（1，2）或（1，2）【解析】A（3，6），B（9，3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，点A的对应点A的坐标为（3，6）或3（），6（）即A点的坐标为（1，2）或（1，2）故选D6、如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是48mm【解析】正方形PQMN的QM
16、边在BC上，PNBC，APNABC，设ED=x，PN=MN=ED=x，解得：x=48，这个正方形零件的边长是48mm故答案为：487、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为10米【解析】1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米8、为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案已知测
17、量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高【解析】过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G， 由题知，FGEH，AFGAEH，=，又因为AG=BC=2，AH=BD=2+6=8，FG=FCGC=3.21.6=1.6，所以=，解得：EH=6.4，则ED=EH+HD=6.4+1.6=8（m）树ED的高为8米9、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并
18、测得HB=6m（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长为m（直接用n的代数式表示）【解析】如图（2）ABHC，GHHC，ABGH，ABCGHC，AB=1.6m，BC=3m，HB=6m，GH=4.8（m）（3）同理A1B1C1GHC1，设B1C1长为x（m），则，解得：（m），即（m）同理，解得B
19、2C2=1（m），解得：直击中考 1、【2012 深圳】 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（） A. （6+）米 B.12米 C. （42）米 D. 10米【解析】A2、【2012重庆】已知，ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为_【解析】9:13、【2009陕西】小明想利用太阳光测量楼高他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，
20、具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）【解析】过点D作DGAB，分别交AB、EF于点G、H，ABCD，DGAB，ABAC，四边形ACDG是矩形，EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，EFAB，由题意，知FH=EFEH=1.71.2=0.5，解得，BG=18.75，AB=BG+AG=18.75+1.2=19.9520.0 楼高AB约为20.0米S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、三角形相似的性质 2、利用三角形相似测高的三种模型 3、图形位似的概念及位似图形的性质名师点拨 在应用三角形相似的知识解决实际问题时，从实际模型中找出相似三角形是解题的关键，从而利用对应边成比例来计算出高。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 13
