五年级奥数第30讲-推理问题(教)

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1、学科教师辅导讲义学员编号:年级:五年级课时数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师:授课主题第30讲推理问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标学会对一个问题进行分析、推理;利用我们的推理来解决一些较简单的问题;通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理一、推理问题 解数学题,从已知条件到未知的结论,除了计算外,更重要的一个方面就是推理。通常,我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。二、解题策略 解答推理问题常用的方法有:排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面

2、考虑:1、选准突破口,分析时综合几个条件进行判断;2、根据题中条件,在推理过程中,不断排除不可能的情况,从而得出要求的结论;3、对可能出现的情况作出假设,然后再根据条件推理,如果得到的结论和条件不矛盾,说明假设是正确的;4、遇到比较复杂的推理问题,可以借助图表进行分析。典例分析例1、有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说:“兰兰做的比静静多。”兰兰说:“冬冬做的比静静多。”静静说:“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中,谁做的好事最多?谁做的好事最少?【解析】我们用“”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系:兰兰静静,冬冬静静,冬冬兰兰所以,冬冬兰兰静静,冬冬做的好事最多,静静做的最少。例2、卢

3、刚、丁飞和陈瑜一位是工程师,一位是医生,一位是飞行员。现在只知道:卢刚和医生不同岁;医生比丁飞年龄小,陈瑜比飞行员年龄大。问:谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员?【解析】卢刚和医生不同岁,所以卢刚不是医生,医生比丁飞年龄小,丁飞也不是医生,那么只有陈瑜是医生;由此为突破口,进行推理,找出各自的职业;卢刚和医生不同岁,所以卢刚不是医生;医生比丁飞年龄小,丁飞也不是医生,那么只有陈瑜是医生;陈瑜比飞行员年龄大,所以卢刚是飞行员;剩下的丁飞是工程师;所以丁飞是工程师,陈瑜是医生,卢刚是飞行员例3、有一个正方体,每个面分别写上汉字:数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这个正方体的每个汉字

4、的对面各是什么字? 【解析】如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难,可以换一种思维方式,想想某个汉字的对面不是什么字。从图(1)可知,“奥”的对面不是“林”、“匹”,从图(2)可知,“奥”的对面不是“数”、“学”。所以,“奥”的对面一定是“克”。从图(2)可知,“数”的对面不是“奥”、“学”;从图(3)可知,“数”的对面不是“克”、“林”,所以“数”的对面一定是“匹”,剩下“学”的对面一定是“林”。例4、甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃,甲说:“是丙打碎的。”乙说:“我没有打碎破璃。”丙说:“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话,到底是谁打碎了玻璃?【解析】由题意推出结论,必须符合他们中

5、只有一个人说了谎,推理时可先假设,看结论和条件是否矛盾。如果是甲打碎的,那么甲说谎话,乙说的是真话,丙说的是谎话。这样两人说的是谎话,与他们中只有一人说谎相矛盾,所以不是甲打碎的。如果是乙打碎的,那么甲说的是谎话,乙说的是谎话,丙说的是真话,与他们中只有一人说谎相矛盾,所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的,那么甲说的是真话,乙说的是真话,而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话,符合条件中只有一个人说的是谎话,所以玻璃是丙打碎的。例5、已知甲、乙、丙三人中,只有一人会开汽车。甲说:“我会开汽车。”乙说:“我不会开。”丙说:“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话,那么谁会开汽车?【解析】假设甲会

6、开车,那么,甲和乙说的是真话,所以和已知矛盾,所以甲不会开车; 假设乙会开车,那么甲和乙说的是假话,丙说的是真话,符合题意; 假设丙会开车,那么乙和丙说的是真话,也和题意矛盾; 所以,乙会开车。例6、甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后:甲说:“丙是第一名,我是第三名。”乙说:“我是第一名,丁是第四名。”丙说:“丁是第一名,我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时,大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗?【解析】推理时,必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析,我们可以借助图表进行分析。(1)乙说“我是第一名”也是错的,而乙说“丁是第四名”是对的。(2)由丁是第四

7、名推出丙说“丁是第二名”是错的,根据条件,丙说“我是第三名”是对的。(3)这样,丙既是第一名,又是第三名,自然是错的。重新推理: (1)由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的,而丙说的“我是第一名”是对的。(2)由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的,而乙说的“我是第一名”是对的。(3)从表中我们可看出:乙是第一名,丁是第二名,甲是第三名,丙是第四名。例7、甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛,赛前名次众说不一。有的说:“甲是第二名,丁是第三名。”有的说:“甲是第一名,丁是第二名。”有的说:“丙是第二名,丁是第四名。”实际上,上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名?

8、【解析】第一甲,第二丙,第三丁,第四乙。(1)假如甲说丙第一名是对的,那么甲说:“我是第三名”是对的,乙说“我是第一名”也是错的,而乙说的“丁是第四名”是对的。(2)由丁是第四名排出丙说丁是第二名是错的,据条件,丙说“我是第三名”是对的。(3)这样,丙既是第一名,又是第三名,自然是错的。所以重新推理得:第一甲,第二丙,第三丁,第四乙。例8、A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛,每两人都赛一盘,比赛一段时间后统计:A赛了4盘,B赛了3盘,C赛了2盘,D赛了一盘。问小强已经赛了几盘?【解析】用五个点表示这5个人,如果某两个之间已经进行了比赛,就在表示这两个人的点之间画一条线。现在A赛4盘,

9、所以A应该与其余4个点都连线。B赛了3盘,由于D只赛了1盘,是和A赛的,所以B应该与C连。(B、A已连线)C已连了2条线,小强也连了2条线,所以小强已赛了2盘。例9、有8个球编号是(1)(8),其中有6个球一样重,另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球,用天平称了3次,结果如下:第一次:(1)+(2)比(3)+(4)重;第二次:(5)+(6)比(7)+(8)轻;第三次:(1)+(3)+(5)与(2)+(4)+(8)一样重。那么,两个轻球分别是几号?【解析】 从第一次看,(3)、(4)两球中有一个轻;从第二次看,(5)、(6)两球中有一个轻;从第三次看,(1)、(3)、(5)中有一个轻,(2)、

10、(4)、(8)中也有一个轻。综合上面的分析可以推出,两个轻球的编号分别是(4)和(5)。例10、甲、乙、丙、丁四个人中,乙不是最高,但他比甲和丁高,而甲不比丁高。请说出他们各是几号。 【解析】一共有四人,乙不是最高的,但它比甲、丁高,所以乙的身高在四人中数第二,丙是第一;甲丁的身高处于后两位,甲不比丁高即丁高,甲矮,所以丁是第二,甲最矮.据此即可解答:由乙不是最高的,但它比甲、丁高可知:乙的身高在四人中数第二,丙是第一;由甲不比丁高可知:丁是第三,甲最矮.所以甲是3号,乙是4号,丙是2号,丁是1号.例11、小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中,每人都获得了其中的一门第一名,一门第二

11、名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成绩的第一名,小明获得了数学第二名。获得英语成绩第一名的是谁?【解析】因为小英获得了语文第一名,所以,小明获得的第一名只能是英语或数学,而小明已获得了数学第二名,不可能再获得数学第一名,因此,获得英语第一名的一定是小明。例12、有6只盒子,每只盒内放有同一种笔,6只盒子所装笔的支数分别是11支、13支、17支、20支、28支、43支。在这些笔中,水彩笔支数是圆珠笔的2倍,铅笔的支数是水彩笔的一半,其中有一只盒子放的是钢笔。这盒钢笔共有多少支?【解析】因为水彩笔是圆珠笔的2倍,而铅笔是水彩笔的一半,即水彩笔也是铅笔的2倍,所以,水彩笔、圆珠笔和铅笔的总支数

12、一定是4的倍数。11+13+17+20+28+43=132支,132正好是4的倍数,说明那一盒钢笔也正好是4的倍数,而满足条件的只有20和28。(1)当钢笔是20支时:(13220)4=28支,17+11=28支,43+13=56支符合条件;(2)当钢笔是28支时:(132-28)4=26支,题中没有一盒或2盒的和是26,不符合条件。所以, 盒钢笔有20支。例13、小明看一本书,如果看过的页数每天比前一天增加一倍,7天正好看完。已知这本书一共96页,他第几天看到了12页?【解析】 由于他每天看过的页数比前一天增加一倍,7天正好看完,也就是说第7天能看到96页。由此往前推:第6天看到了962=4

13、8页,第5天看到了482=24页,第4天看到了242=12页。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、小李、小徐和小张是同学,大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师:小张年龄比工程师大;小李和数学家不同岁;数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师?【解析】(1)小张年龄比工程师大:小张不是工程师,(2)小李和数学家不同岁:小李不是数学家,(3)数学家比小徐年龄小:小徐也不是数学家.由(2)、(3)得:小张是数学家.进一步推出小徐是教师,小李是工程师.因此,小徐是教师,小张是数学家,小李是工程师.2、一个正方体,六个面分别写上A、B、C、D、E、F,你能

14、根据这个正方体不同的摆法,求出A、B、C相对的面的字母是什么吗? 【解析】根据中间图和右边的图可以看出,与C相邻的有面A、B、D和E,由此可知,C的对面一定是F;根据左图和右图可以看出,与A相邻的有B、E、C,由于C的对面是F,因此,F也与A相邻,所以,A的对面一定是D;由左图和中图可知,与B相邻的有A、D、C,由于C的对面是F,因此,F也与B相邻,所以,B的对面一定是E。根据分析:A的对面是D; B的对面是E;C的对面是F3、某学校为表扬好人好事核实一件事,老师找了A、B、C三个学生。A说:“是B做的。”B说:“不是我做的。”C说:“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话,这件好事是谁做

15、的?【解析】此题有A、B说的话入手,而人说的话相互矛盾,因此必有一人说了真话,根据这三个学生中只有一人说了实话,那么C说的话比为假话,因此,这件好事是C做的4、红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗,用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色。甲猜:“第二包紫色,第三包黄色。”乙猜:“第二名蓝色,第四包红色。”丙猜:“第三包蓝色,第五包白色。”丁猜:“第三包蓝色,第五包白色。”戌猜:“第二包黄色,第五包紫色。”结果每个人都猜对了一半,他们各猜对了哪种颜色的珠子?【解析】甲3黄 乙2蓝 丙1红 丁4白 戌5紫 这些是正确的。 假设甲说第二包是紫是正确的,那么看戌,则戌说

16、第二包是黄是错误的,同时他说第五包紫也是错误的(因为第2包是紫),从而戌没有说对任何一个,不合题意。 所以甲说的第二包是紫是错误的,第三包是黄是正确的。 后面的丁说第三包是蓝肯定错了,所以他说的第四包是白是正确的。 依次可以推出其他的说法。5、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议,见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手,冬冬握了4次手,兰兰握了5次手,静静握了2次,思思握了1次手。问毛毛握了几次手?【解析】毛毛一共握了3次手,分别是跟明明、冬冬和兰兰握的。思路:首先,明明五次,思思只有一次,也就是说思思这一次只是与明明握得,明明与五人各握一次,而思思已经有了一次,那么冬冬与

17、除了思思以外的四人都握过手,所以静静的另外一次就是与冬冬握的,此时静静和思思已经握完,不再考虑,那么兰兰的三次就是与明明、冬冬和毛毛握的,再加上冬冬与毛毛握的和明明与毛毛握的,毛毛一共握了三次!6、某商品编号是一个三位数,现有五个三位数:874,756,123,364,925,其中每一个数与商品编号恰好在同一个数位上有一个相同数字。这个商品的编号是多少?【解析】应该是这么表述:其中每一个数中的一个数字和位置与编号的同位置数字相同;先寻找个位数相同的,是364和874,在剩下的里面找十位数相同的为123和925,则百位数上只剩一个756;则此数个位是4、十位是2,百位是7。7、赵、钱、孙、李四位

18、老师分别教数学、语文、自然和体育中的一门功课。赵只能教语文或自然,钱只能教数学或体育,孙能教数学、语文或自然,李只能教自然。请问:这四人中只能派谁教数学?【解析】根据题意,只能是钱老师或孙老师去教数学。由于只有钱老师一人能教体育,所以孙老师只能派去教数学。8、有一种水草,水草生长的面积每天扩大2倍,10天后,这片水草的面积是42平方米。问:当水草长到第7天时,面积是多大?【解析】第九天面积是21,第八天10.5,第七天面积是5.25平方米。 课后反击1、江波、刘晓、吴萌三个老师,其中一位教语文,一位教数学,一位教英语。已知:江波和语文老师是邻居;吴萌和语文老师不是邻居;吴萌和数学老师是同学。请

19、问:三个老师分别教什么科目?【解析】吴是英语老师,江是数学老师,刘是语文老师。2、五个相同的正方体木块,按相同的顺序在上面写上数字16,把木块叠成下图,那么,4的对面是几?1的对面是几?5的对面是几?【解析】五个正方体木块有3个露出了4,并且4和1,6,5,3相邻,所以4的对面是2;1与4,5,6相邻,因为4与2相对,故1与2也相邻,所以1的对面是3;剩下的5与6相对3、A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说:“是C或D打碎的。”B说:“是D打碎的。”C说:“我没有打碎玻璃。”D说:“不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎,到底是谁打碎了玻璃?【解析】假设A说的是实话,“是C或D打碎的”,

20、则C、D中有一个说了实话,一个说了谎话,所以B说的就是实话,打碎玻璃的是D,C说的也是实话,与他们中只有一个人说了谎话符合;假设B说的是实话,则D说的也就是谎话,A、C说的也是实话,所以打碎玻璃的是D,与他们中只有一个人说了谎话符合;假设C说的是实话,则A、B、D中有一人撒谎,若D说的是实话,则A、B两人都撒谎,所以不符合只有一人说谎,所以D说谎,故打碎玻璃的是D;假设D说的是实话,则B说谎,所以C也说了实话,所以打碎玻璃的应是A或B,所以A也说谎,与只有一个人说了谎话矛盾,所以D说谎故打碎玻璃的是D4、甲、乙、丙、丁比赛乒乓球,每两人都要赛一场。结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。

21、问丁胜了几场?【解析】四人比赛乒乓球,每两人要赛一场,则每人都要和其他三人赛一场,每人要赛三场,共比赛6场,由于没有平局,则每场都有一队胜,一队负.由干甲,乙,丙三人胜的场数相同,若甲,乙,丙各胜1场,则丁胜3场,即丁全胜,不台题意(甲胜了丁).若甲,乙,丙各胜2场,则丁胜0场,即丁全输,符台题意.5、小王、小张、小李三人在一起,其中一位是工人、一位是战士、一位是大学生。现在知道:小李比战士年龄大,小王和大学生不同岁,大学生比小张年龄小。他们三人中,谁是工人?谁是战士?谁是大学生?【解析】很据小李比战士年龄大,所以:小李是大学生或工人;因为小王和大学生不同岁,所以:王是工人或战士;因为:大学生

22、比小张年龄小,所以:张是工人或战士;又因小张年龄比战士大,所以张是工人。所以三人:小张是工人,小李是大学生,小王是战士。6、甲、乙、丙、丁四人住在一个宿舍里,一天晚上,他们中间最晚回来的哪位同学忘了关灯,第二天宿舍管理员查问谁回来最晚。(1)甲说:我回来时,丙还没回来;(2)乙说:我回来时,丁已经睡了,我也就睡了;(3)丙说:我进门时,乙正在床上;(4)丁说:我回来就睡了,别的没注意。他们说的都是实话,你知道谁回来最晚吗?【解析】回来最晚的是甲。根据题意,甲说的话意思是丙在甲前面回来,所以肯定不是丙最晚,乙说的话意思是丁在乙前面回来,所以肯定不是丁,丙说的话意思乙在丙前面,所以肯定不是乙,综上

23、所述,回来最晚的是甲。7、图书员在整理图书,他把同一类书叠一叠,一共叠好了7叠,其中只有一叠是连环画,其余都是故事书和科技书,且故事书是科技书的6倍。已知这7叠书分别有3、4、5、16、21、25和38本。问:连环画有多少本?【解析】科技书有4+5=9本, 故事书有16+38=54本, 连环画有3+21+25=49本。8、有一条毛毛早由幼虫长到成虫,每天长一倍,30天能长到20厘米。问:长到5厘米时要用多少天?【解析】28天, 29天10厘米, 28天就是5厘米啊。直击赛场1、下边是一个六位数乘以一个一位数的算式,不同的汉字表示不同的数,相同的汉字表示相同的数,其中的 六位数是_ 。 (第一届

24、小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第1试)【解析】 小学希望杯赛 赛=999999 ,考察个位数字 赛赛的个位数字是9,所以赛等于7或3;当赛=3时,小学希望杯赛=333333,但这六个不同的字应该表示不同的数字,舍去. 当赛=7时,小学希望杯赛=142857,符合题意. 综上所述,答案为142857。2、甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。甲说:“我会开。”乙说:“我不会开。”丙说:“甲不会开。”三人的话只有一句是真话。会开车的是_ 。(第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第1试)【解析】假设甲会开车,那么,甲和乙说的是真话,所以和已知矛盾,所以甲不会开车;假设乙会开车,那么甲和乙说的是假话,丙说的是真话,符台题意;假设丙会开车,那么乙和丙说的是真话,也和题意矛盾,所以,乙会开车.S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾(1)学会对一个问题进行分析、推理;(2)利用我们的逻辑推理来解决一些推理的问题;名师点拨重点和难点突破:(1)理解每一个题的逻辑关系;(2)掌握推理的一般方法。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是

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