1、专题八二次函数的综合类型一 探究线段的数值或存在性 (2019温州二模)如图，抛物线yax2bx4与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中A(3，0)，B(8，0)，点D在x轴上，ACCD，过点D作DEx轴交抛物线于点E，点P，Q分别是线段CO，CD上的动点，且CPQD.(1)求抛物线的解析式；(2)记APC的面积为S1，PCQ的面积为S2，QED的面积为S3，若S1S34S2，求出点Q的坐标；(3)连结AQ，则APAQ的最小值为_(请直接写出答案)【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式即可；(2)作QNOD，根据等腰三角形的性质得出D(3，0)，进而求得E(3，5)，根据勾股定理求得CD5，
2、设PCQDx，由NQCODC得出NQ，根据S1S34S2，列出关于x的方程，即可求得x的值，进而求得NQ和ON，就求得点Q的坐标(3)连结AE，先证明ACPEQD，则APEQ，所以APAQEQAQ，利用三角形三边的关系得到EQAQAE(当且仅当点A，Q，E三点共线时取等号)，然后计算出AE即可【自主解答】1(2019贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(1，0)，且OAOC4OB，抛物线yax2bxc(a0)图象经过A，B，C三点(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及P
3、D的最大值类型二 探究角度的数量关系或存在性 (2019咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC时，求点D的坐标；(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标【分析】考查待定系数法，二倍角关系和平行四边形点存在类问题，将二倍角关系转化为等角关系是解题关键，根据平行四边形的性质，以OB为边和对角线是突破点解答步骤：(1)求得A，B两点坐标
4、，代入抛物线解析式，获得b，c的值，求得抛物线的解析式(2)通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标(3)B，O，E，F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EFOB的关系建立方程求解；当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E的坐标【自主解答】2(2019海南)如图，已知抛物线yax2bx5经过A(5，0)，B(4，3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD.(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B，C不重合)，设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面
5、积的最大值；该抛物线上是否存在点P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由类型三 探究二次函数中的几何变换 (2019宁波二模)如图，函数y1的图象经过向左或向右平移一次，再向上或向下平移一次，得到函数y2的图象，我们称函数y1为“基函数”，y2为“基函数”的“像”，左右、上下平移的路径称为平移路径，对应点之间的距离称为平移距离我们所学过的函数：二次函数yax2，正比例函数ykx和反比例函数y都可以作为“基函数”，沿着平移路径平移可以得到“像”如一次函数y2x5是基函数y2x的像，由y2x52(x1)3可知，平移路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，平移距
6、离.(1)一位同学经过思考后，为函数y2x5又找到了一条平移路径，由基函数y2x先向_个单位，再向下平移7个单位，相应的平移距离为_；(2)已知函数yx26x5是基函数yx2的像，请写出平移路径和相应的平移距离；(3)已知函数y是基函数y的像，求出平移路径，并求相应的平移距离【分析】(1)由条件可知，向左右平移即含x的项加一个数(左正右负)，向上下平移即整个函数式子加一个数(上正下负)故可设由基函数y2x先左右平移a个单位，再向下平移7个单位得y2x5，展开计算即求得a1，故向左平移1个单位，代入平移距离公式即求得平移距离为5.(2)把yx26x5进行配方得y(x3)24，根据平移规律可知是由
7、yx2向右平移3个单位，向下平移4个单位得到，代入平移距离公式即求得5.(3)把y进行分解，目标是分解到含x项的分式分子不含未知数，所以把3x4分解为3(x1)1，反用同分母分式加法法则计算得y3，含x的项1说明向左平移1个单位，整个式子3即向上平移3个单位，再计算平移距离【自主解答】3(2019黄石)如图，已知抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(5，0)(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；(3)定点D(0，m)在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运
8、动，求定点D与动点P之间距离的最小值d.(用含m的代数式表示)类型四 探究二次函数的最值存在问题 (2019台州)已知函数yx2bxc(b，c为常数)的图象经过点(2，4)(1)求b，c满足的关系式；(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；(3)若该函数的图象不经过第三象限，当5x1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值【分析】(1)将点(2，4)代入yx2bxc得c2b；(2)m，n，得n4mm2；(3)yx2bx2b(x)22b，当b0时，c0，函数不经过第三象限，则c0；此时yx2，最大值与最小值之差为25；当b0时，c0，函数不经过第三象
9、限，则0，得0b8当5x1时，函数有最小值2b，当52时，函数有最大值13b，当21时，函数有最大值253b；当最大值为13b时，13b2b16，b6；当最大值为253b时，b2.【自主解答】4(2019滨州中考改编)如图1，抛物线yx2x4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D.(1)求直线AD的函数解析式；(2)如图2，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点，当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离类型五 探究二次函数中相似问题 (2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线yx3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x1的抛物
10、线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连结AC.(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、解直角三角形、三角形相似等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏(1)yx3，令x0，则y3；令y0，则x6，故点B，C的坐标分别为(6，0)，(0，3)，即可求解；(2)PHPGcos (x2x3x3)，即可求解；(3)分点Q在x轴上方
11、、点Q在x轴下方两种情况，分别求解【自主解答】5(2018鄂州)如图，已知直线yx与抛物线yax2bxc相交于A(1，0)，B (4，m)两点，抛物线yax2bxc交y轴于点C(0，)，交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式及点M的坐标；(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当PAB的面积最大时，求此时PAB的面积及点P的坐标；(3)点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当QMNMAD(点Q与点M对应)，求Q点坐标类型六 探究二次函数中特殊四边形的存在性 (2019鹿城区一模)如图，抛物线yx2bxc过等腰RtOAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A(0，
12、3)(1)求b，c的值(2)P是AB上方抛物线上的一点，作PQAB交OB于点Q，连结AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)根据题意得到点B的坐标，把A，B的坐标代入二次函数解析式，列出关于系数b，c的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；(2)由条件可知OAPQ，则PQ3时，四边形OAPQ为平行四边形，设P(m，m23m3)，Q(m，m)，可得关于m的方程，求出m的值即可求解【自主解答】6(2019通辽)已知，如图，抛物线yax2bxc(a0)的顶点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(3，7)和B(3，m)的直线交抛物线
13、的对称轴于点C.(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式；(2)在抛物线上A，M两点之间的部分(不包含A，M两点)，是否存在点D，使得SDAC2SDCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)抛物线yax2bx4与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中A(3，0)，B(8，0)，C(0，4)，设抛物线的解析式为ya(x3)(x8)，代入C点的坐标得424a，a，y(x3)(x8)，抛物线的解析式为yx2x4.(2)ACCD，COAD
14、，ODOA3，D(3，0)，E点的横坐标为3，把x3代入yx2x4得y5，E(3，5)OD3，OC4，CD5.设PCQDx，如图，作QNOD，交OC于N，NQCODC，即，NQ.S1S34S2，x3534x，解得x10(舍去)，x2，QD.CQ5.，NQ，CN2，ON4CN2，Q(，2)(3)如图，连结AE，ACCD，COAD，CO平分ACD，ACODCO.EDOC，DCOCDE.DECDAC5，CPQD，ACPEDQ，APEQ，APAQEQAQ.而EQAQAE(当且仅当点A，Q，E三点共线时取等号)，EQAQ的最小值，AQAP的最小值为，故答案为.跟踪训练1解：(1)OAOC4OB4，故点A
15、，C的坐标分别为(4，0)，(0，4)(2)抛物线的解析式为ya(x1)(x4)a(x23x4)，即4a4，解得a1，故抛物线的解析式为yx23x4.(3)直线CA过点C，设其函数解析式为ykx4.将点A坐标代入上式并解得k1，故直线CA的解析式为yx4，如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC4，OACOCA45，PHy轴，PHDOCA45.设点P(x，x23x4)，则点H(x，x4)，PDHPsinPHD(x4x23x4)x22x.0，PD有最大值，当x2时，其最大值为2，此时点P(2，6)类型二【例2】 (1)在yx2中，令y0，得x4.令x0，得y2，A(4，0)，B(0，2)
16、把A(4，0)，B(0，2)，代入yx2bxc得解得抛物线的解析式为yx2x2.(2)如图1，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为点F.图1BEx轴，BACABE.ABD2BAC，ABD2ABE，即DBEABE2ABE，DBEABE，DBEBAC.设D点的坐标为(x，x2x2)，则BFx，DFx2x，tanDBE，tanBAC，即，解得x10(舍去)，x22，当x2时，x2x23，点D的坐标为(2，3)(3)如图2，当BO为边时，OBEF，且OBEF，图2设E(m，m2)，F(m，m2m2)，EF|(m2)(m2m2)|2，解得m12，m222，m322.如图3，当B
17、O为对角线时，OB与EF互相平分，图3过点O作OFAB，直线OF：yx交抛物线于点F(22，1)和(22，1)，求得直线EF的解析式为yx1或yx1，直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为22或22.综上，E点的坐标为(2，1)或(22，1)或(22，1)或(22，3)或(22，3)跟踪训练2解：(1)将点A，B坐标代入二次函数解析式得解得故抛物线的解析式为yx26x5，令y0，则x1或5，即点C(1，0)(2)如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，图1将点B，C的坐标代入一次函数解析式并解得直线BC的解析式为yx1，设点G(t，t1)，则点P(t，t26t5)，SPBCPG(xCxB)
18、(t1t26t5)t2t6.0，SPBC有最大值，当t时，其最大值为.如图2，设直线BP与CD交于点H，图2当点P在直线BC下方时，PBCBCD，点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为(，)，过该点与BC垂直的直线的k值为1，设BC的中垂线的解析式为yxm，将点(，)代入上式并解得直线BC中垂线的解析式为yx4，同理直线CD的解析式为y2x2，联立并解得x2，即点H(2，2)同理可得直线BH的解析式为yx1，联立并解得x或4(舍去4)故点P(，)；当点P(P)在直线BC上方时，PBCBCD，BPCD，则直线BP的解析式为y2xs，将点B的坐标代入上式并解得s5，即直线BP的解析式为y2x5
19、，联立并解得x0或4(舍去4)，故点P(0，5)综上，点P的坐标为(，)或(0，5)类型三【例3】 (1)15提示：设由基函数y2x先左右平移a个单位，再向下平移7个单位得y2x5，y2(xa)72x5，2x2a72x5，a1，即y2(x1)7，向左平移1个单位，平移距离5.(2)yx26x5(x3)24，是基函数yx2的像，平移路径为：向右平移3个单位，向下平移4个单位，平移距离5.(3)y3，是基函数y的像，平移路径为：向左平移1个单位，向上平移3个单位，平移距离.跟踪训练3解：(1)函数的解析式为y(x1)(x5)(x24x5)x2x，点M坐标为(2，3)(2)当x8时，y(x1)(x5
20、)9，即点C(8，9)，S四边形AMBCAB(yCyM)6(93)36.(3)y(x1)(x5)(x24x5)(x2)23，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线解析式为yx2，则定点D与动点P之间距离PD.0，PD有最小值，当x23m时，PD值最小，当m时，d|m|，当m时，d.类型四【例4】 (1)将点(2，4)代入yx2bxc得2bc0，c2b.(2)m，n，n，n2bm24mm2.(3)yx2bx2b(x)22b，对称轴为直线x，当b0时，c0，函数不经过第三象限，则c0；此时yx2，当5x1时，函数的最小值是0，最大值是25，最大值与最小值之差
21、为25；(舍去)当b0时，c0，函数不经过第三象限，则0，0b8，4x0，当5x1时，函数有最小值2b，当52时，函数有最大值13b，当21时，函数有最大值253b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值为13b时，13b2b16，b6或b10，4b8，b6；当最大值为253b时，253b2b16，b2或b18，2b4，b2.综上所述b2或b6.跟踪训练4解：(1)当x0时，y4，则点A的坐标为(0，4)，当y0时，0x2x4，解得x14，x28，则点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(8，0)，OAOB4，OBAOAB45，将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90，OAD45
22、，ODA45，OAOD，点D的坐标为(4，0)，设直线AD的函数解析式为ykxb，则解得即直线AD的函数解析式为yx4.(2)如图，作PNx轴交直线AD于点N，作PHAD于点H，设点P的坐标为(t，t2t4)，则点N的坐标为(t，t4)，PN(t2t4)(t4)t2t，PNx轴，PNy轴，OADPNH45，则PHN90，PHPN(t2t)t2t(t6)2，当t6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为(6，)，即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是(6，)，最大距离是.类型五【例5】 (1)yx3，令x0，则y3；令y0，则x6，故点B，C的坐标分别为(6，0)，(0，3)，抛物线的对称轴为
23、直线x1，则点A(4，0)，则抛物线的解析式为ya(x6)(x4)a(x22x24)，即24a3，解得a，故抛物线的解析式为yx2x3.(2)如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PHBC于点H，图1则HPGCBA，tanCBAtan ，则cos ，设点P(x，x2x3)，则点G(x，x3)，则PHPGcos (x2x3x3)x2x，0，PH有最小值，此时x3，则点P(3，)(3)当点Q在x轴上方时，则以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC全等，此时点Q与点C关于抛物线的对称轴对称，则点Q(2，3)当点Q在x轴下方时，如图，以Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似，则ACBQAB，当ABCA
24、BQ时，直线BC的解析式的k值为，则直线BQ的解析式的k值为，设直线BQ的解析式为yxb，将点B的坐标代入上式并解得直线BQ的解析式为yx3，联立并解得x6或8(舍去6)，故点Q(Q)坐标为(8，7)当ABCAQB时，同理可得直线BQ的解析式为yx，联立并解得x6或10(舍去6)，故点Q(Q)的坐标为(10，12)综上，点Q的坐标为(2，3)或(8，7)或(10，12)跟踪训练5解：(1)把点B(4，m)代入yx中得m，B(4，)，把点A(1，0)，B(4，)，C(0，)代入抛物线中得 解得抛物线的解析式为yx2x.yx2x(x1)22，点M的坐标为(1，2)(2)点P为直线AB下方抛物线上一
25、动点，1x4，如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H，图1设点P的坐标为(m，m2m)，则点H(m，m)，SPABHP(xBxA)(m2m2)5(m)2，当m时，S取得最大值，最大值为，此时点P(，)(3)如图2所示，图2令y0，解得x11，x23，D(3，0)，M(1，2)，A(1，0)，AMD为等腰直角三角形，设点N的坐标为(n，n2n)，QENMFQ(AAS)，FQEN2，MFEQn2n，n2n1n2，解得n5或1(舍)，点Q的坐标为(7，0)，同理，可知另一个点Q的坐标为(5，0)，当Q(1，0)时，QMNMAD，综上所述，点Q的坐标为(7，0)或(5，0)或(1，0)类型六【例
26、6】 (1)A(0，3)，等腰RtOAB，AB3OA，B(3，3)，将点A，B的坐标代入yx2bxc得(2)存在B(3，3)，直线OB的解析式为yx.yx23x3，设P(m，m23m3)，Q(m，m)，PQAB，OAAB，OAPQ，若四边形APQO是平行四边形，PQm23m3m3，解得m10(舍去)，m22，当m2时，y4635，P(2，5)，即当P(2，5)时，四边形APQO是平行四边形跟踪训练6解：(1)二次函数解析式为ya(x1)29，将点A的坐标代入上式并解得a1，故抛物线的解析式为yx22x8，则点B(3，5)，将点A，B的坐标代入一次函数解析式并解得直线AB的解析式为y2x1.(2
27、)存在理由：二次函数对称轴为直线x1，则点C(1，1)，如图，过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D(x，x22x8)，点H(x，2x1)，SDAC2SDCM，则SDACDH(xCxA)(x22x82x1)(13)(91)(1x)2，解得x1或5(舍去5)，故点D(1，5)，(3)设点Q(m，0)，点P(s，t)，ts22s8，当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位长度，向下平移16个单位长度得到A，同理，点Q(m，0)向左平移4个单位长度，向下平移16个单位长度为(m4，16)，即为点P，即m4s，16t，而ts22s8，解得s6或4，故点P(6，16)或(4，16)当AM是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得ms2，t2，而ts22s8，解得s1，故点P(1，2)或(1，2)综上，点P(6，16)或(4，16)或(1，2)或(1，2)
