1、第12讲二次函数(一)(参考用时:35分钟)A层(基础)1.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是(D)(A)图象与y轴的交点坐标为(0,1)(B)图象的对称轴在y轴的右侧(C)当x0时,y的值随x值的增大而减小(D)y的最小值为-3解析:y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,当x=0时,y=-1,故选项A错误;该函数的对称轴是直线x=-1,故选项B错误;当x-1时,y随x的增大而减小,故选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,故选项D正确.故选D.2.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,水面宽4 m.如图(2
2、)建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式是(C)(A)y=-2x2 (B)y=2x2(C)y=-12x2 (D)y=12x2解析:设此函数表达式为y=ax2,a0,那么点(2,-2)应在抛物线上.则-2=4a,即a=-12,y=-12x2.故选C.3.(2019自贡)一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是(A)解析:一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限,a0,-b2a0,二次函数y=ax2+bx+c开口向下,对称轴在y轴右侧.反比例函数y=cx的图象在第一、三象限,c0,二次函数与y轴的交点在x轴上方.满足上述条件的函数图象只有
3、选项A,故选A.4.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:x-1013y-3131下列结论:抛物线的开口向下;其图象的对称轴为直线x=1;当x1时,函数值y随x的增大而增大;方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有(B)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:由表格所给出的自变量与函数值变化趋势,随x值的增大,y值先增大后变小可知抛物线的开口向下,故正确;由对称性知其图象的对称轴为直线x=32,故错误,当x2,则y1与y2的大小关系是y1y2(填“”或“=”).解析:二次项系数-121,y1y2.7.(2019广元)如图,抛物线y=ax2+bx+c(
4、a0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值范围是-6M0,a0,即a+20,解得a-2,-2a0,M=4a+2(a+2)+2=6a+6,-6M0),-ab2(b0).如:1(-2)=-1(-2)2=-4,则函数y=2x的图象大致是(C)解析:y=2x=2x2(x0),-2x2(x0).当x0时,图象是y=2x2对称轴右侧的部分;当x0时,图象是y=-2x2对称轴左侧的部分,故选C.13.(2019南充)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0),顶点坐标为(12,m),给出下列结论:若点(n,y1)与(32-2n,y2)在该抛物线上,当 n
5、12时,则y1y2;关于x的一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解,那么(A)(A)正确,正确(B)正确,错误(C)错误,正确(D)错误,错误解析:顶点坐标为(12,m),点(n,y1)关于抛物线的对称轴x=12的对称点为(1-n,y1),点(1-n,y1)与(32-2n,y2)在该抛物线上,n12,32-2n12,(1-n)-(32-2n)=n-120,121-n0,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,y1y2,故正确;抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,抛物线y=ax2-bx+c与抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称,画出抛物线y=ax2-bx+c的图象如图,由图象可得,抛物线
6、y=ax2-bx+c与直线y=m-1无交点,方程ax2-bx+c=m-1无实数解,即一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解,故正确.故选A.14.(2019嘉兴)小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时有如下结论:这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x12m,则y1y2;当-1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m2.其中错误结论的序号是(C)(A) (B) (C) (D)解析:二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数),
7、顶点坐标为(m,-m+1)且当x=m时,y=-m+1,这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上,故结论正确;假设存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y=0,得-(x-m)2-m+1=0,其中m2m,x1+x22m,二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的对称轴为直线x=m,点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,x1x2,且-1y2,故结论错误;当-1x2时,y随x的增大而增大,且 -10,m的取值范围为m2.故结论正确.故选C.15.(2019贵港)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4,3),与y轴相交于点B(0,-5),对称轴为
8、直线l,点M是线段AB的中点.(1)求抛物线的表达式;(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式;(3)设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两点的坐标.解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+3,将点B(0,-5)代入,得a(0-4)2+3=-5,解得a=-12,故抛物线的表达式为y=-12x2+4x-5.(2)A(4,3),B(0,-5),点M是线段AB的中点,点M(2,-1),设直线AB的表达式为y=kx-5,将点A(4,3)代入,得3=4k-5,解得k=2,故直线AB的表达式为y=2x-5.(3)设点Q(4,n),点P(m,-12m2+4m-5),当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P(m,-12m2+4m-5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q(4,n),即m-2=4,-12m2+4m-5-4=n,解得m=6,n=-3,故点P,点Q的坐标分别为(6,1),(4,-3).当AM是平行四边形的对角线时,则4+2=m+4,3-1=-12m2+4m-5+n,解得m=2,n=1,故点P,点Q的坐标分别为(2,1),(4,1).综上所述,点P的坐标为(6,1)或(2,1),点Q的坐标为(4,-3)或(4,1).
